2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分二十五推理能力提升（解析版）

2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分專題二十五推理能力提升（解析版）

（時(shí)間：90分鐘滿分120分）

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（2019?山西太原五中初三月考）如圖，在AABC中，點(diǎn)D在AB上，BD=2AD,DE〃BC交AC于E,則下

列結(jié)論不正確的是（）

CE1

A.BC=3DEB.c,——c.△ADE?AABCD.SADE=TABC

BACAA3

2.（2019?上海中考模擬）下列圖形中一定是相似形的是（

A.兩個(gè)菱形B.兩個(gè)等邊三角形C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)直角三角形

3.（2019?陜西中考模擬）如圖，在ABC中，點(diǎn)D,E分別為AB,AC邊上的點(diǎn)，且。E//BC,CD、BE

相較于點(diǎn)。，連接A。并延長(zhǎng)交。E于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

AGAEODAEAGAC

B.-----=------D.

ABECGFBDOCACAFEC

4.（2019?哈爾濱市第六十九中學(xué)校初三月考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=6,BD=8,AE^BC于點(diǎn)E,

,12,2448

A.5B.—C.—D.—

555

5.（2019?福建初一期中）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的短直角邊和含45。角的三角板

的一條直角邊重合，則N1的度數(shù)為（

0O

A.75°B.60°D.30°

6.（2019?寧波華茂國(guó)際學(xué)校初三期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZDAB=90°.AD//BC,BC=-AD,

2

AC與BD交于點(diǎn)E,AC1BD,貝!ItanNBAC的值是（

旦

7.（2019?浙江初三）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC=2w，E為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BE,將矩形ABC。

沿AE所在的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)處，P,Q分別是AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PQ的

最小值為（）

A.6

8.（2019?山東初二期中）把一副三角板如圖甲放置，其中NACB=NDEC=90。，NA-45。，ZD=30",斜邊AB=6,

DC=7,把三角板DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到△DiCEi（如圖乙），此時(shí)AB與CDi交于點(diǎn)。，則線段ADi

的長(zhǎng)度為（）

B

圖甲圖乙E\

A.3亞B.5C.4D.V31

9.（2020?山東初二期末）如圖，在A48C中，點(diǎn)M為8C的中點(diǎn)，AO平分NBAC,且AD于點(diǎn)。，

延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)N.若AB=4,?！?1,則AC的長(zhǎng)為（）

10.（2019?重慶西南大學(xué)附中初三月考）如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,NA=90。，/ADC=120。，連

接BD,把AABD沿BD翻折，得到AA，BD,連接AC,若AB=3,ZABD=60°,則點(diǎn)D到直線AC的距離為

A.y/jB.—spjC.—y/lD.—V7

V1477

11.（2019?南通市八一中學(xué)初二月考）如圖，在菱形A8CD中，ZABC=60°,AB=1,E為BC的中點(diǎn)，則對(duì)

角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到E、C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為（）

.也。出6?1

A.—B.—C.—D.—

4322

12.（2019?重慶初三期末）如圖，將小正方形AEFG繞大正方形A8CD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（其

中0WaS90。），連接BG、DE相交于點(diǎn)。，再連接A。、BE、DG.王凱同學(xué)在探究該圖形的變化時(shí)，提出了

四個(gè)結(jié)論：

①BG=OE；②8G_LDE；（3）ZDOA=ZGOA；@ShADG=ShABE,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.（2019?河南初三期中）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將AABE向上折疊,

使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn).若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，貝1JAD=

14.（2019?銀川外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，在△ABC中，DE〃BC,BF平分/ABC,交DE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,若AD=1,BD=2,BC=4,貝！|EF=.

EF

15.（2019?河北初三期末）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3,ZADE=60",則AE的長(zhǎng)為

16.（2019?陜西初三期末）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊

AB、AC±.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是.

GN___\F

BDEC

17.（2019?湖北中考真題）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)。，點(diǎn)。在A3

CF

上，ZBAC=ZDEC=30\AC與DE交于點(diǎn)F,連接AE,若30=1,AD=5f則==.

18.（2019?山東初三）如圖，點(diǎn)C為RtAACB與RtADCE的公共點(diǎn)，ZACB=ZDCE=90°,連接AD、BE,

EG

過點(diǎn)C作CF1AD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FC交BE于點(diǎn)G,若AC=BC=25,CE=15,DC=20,則0的值為

BG

三、解答題（每小題6分，共12分）

19.（2019?四川中考真題）如圖，線段AC、相交于點(diǎn)=,BE=CE.求證：NB=NC.

AD

20.（2019?江蘇初二期末）如圖，在小BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。的一條直線分別交

AD,BC于點(diǎn)E,F.求證：AE=CF.

四、解答題（每小題8分，共16分）

21.(2019?黑龍江初三)如圖，矩形A8C。中，48=6,BC=4,過對(duì)角線BD中點(diǎn)。的直線分別交AB,CD邊

于點(diǎn)E,F.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng).

22.(2019?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí))如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE_LBC,垂足為E,連接DE,F

為線段DE上一點(diǎn)，且NAFE=NB

(1)求證：AADFSADEC；

(2)若AB=8,AD=6jLAF=473?求AE的長(zhǎng).

五、解答題(每小題9分，共18分)

23.(2019?山東初三期中)如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,A8上，AGJ_BC于點(diǎn)G,

AFJ_DE于點(diǎn)F,NEAF=NGAC.

(1)求證：△ADEs△ABC；

(2)若AD=3,48=5,求——的值.

AG

24.(2019?湖州市第五中學(xué)初三)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12.點(diǎn)D在直線CB上，以CA,CD為邊

作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G,

(1)如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).

②若DG=GF,求BC的長(zhǎng).

(2)已知BC=9,是否存在點(diǎn)D,使得ADFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說

明理由.

六、解答題(每小題10分，共20分)

的三角形.

(2)如圖(2),將NMDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)

A不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.

(3)在圖(2)中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的,時(shí)，求線段EF的長(zhǎng).

4

26.(2019?江蘇初三期中)如圖，在AAO8中，NAOB為直角，OA=6,06=8,半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)

。出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1

個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5)以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的(DP與AB、OA

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連結(jié)CD、QC.

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

(2)當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求。P被OB截得的弦長(zhǎng).

(3)若。P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍.

2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分專題二十五推理能力提升（解析版）

（時(shí)間：90分鐘滿分120分）

一、選擇題（每小題3分，共36分）

1.（2019?山西太原五中初三月考）如圖，在AABC中，點(diǎn)D在AB上，BD=2AD,DE〃BC交AC于E,則下

列結(jié)論不正確的是（）

D.

B

BDCE1

~BA~~CAC.AADE-AABCD.S./SAABC

【答案】D

【解析】

DEAD1

解：：BD=2AD,，AB=3AD,.DE//BC,??------=-------=一；.BC=3DE,A結(jié)論正確;

BCAB3

BDCE

：DE〃BC,------------,B結(jié)論正確;

BACA

VDE/7BC,.'△ADE?△ABC,C結(jié)論正確;

:DE〃BC,AB=3AD,.".SDE=-SBC.D結(jié)論錯(cuò)誤,

AA9AA

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例及相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相關(guān)性質(zhì)定理是本題的解題關(guān)鍵.

2.（2019?上海中考模擬）下列圖形中一定是相似形的是（)

A.兩個(gè)菱形B.兩個(gè)等邊三角形C.兩個(gè)矩形D.兩個(gè)直角三角形

【答案】B

【解析】

解：?.?等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等,

.??兩個(gè)等邊三角形?定是相似形,

又?.?直角三角形，菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，

二兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)菱形、兩個(gè)矩形都不一定是相似形，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似多邊形的識(shí)別.判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)是；對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，兩個(gè)條件必須

同時(shí)具備.

3.（2019?陜西中考模擬）如圖，在A8C中，點(diǎn)D,E分別為AB,AC邊上的點(diǎn)，ADE//BC,CD、BE

相較于點(diǎn)。，連接A。并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中一定正確的是（)

ADAEAGAEOPAEAGAC

\------=-------B------=-------

ABEC'GFBDOC-AC~AF~~EC

【答案】C

【解析】

解：A.VDE//BC,

ADAE

*___________，故不正確;

'AB~AC

B.'：DE//BC,

.AG_AE

，故不正確;

~GF~~EC

C.-：DEIIBC.

：.ADEsABC,DEO^CBO,

DEAEDEOP

'BC~AC~BC~~OC'

OPAE

故正確；

"~OC~~\C

D.'：DEIIBC,

AGAE_.&

----=，故不正確;

AFAC

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?哈爾濱市第六十九中學(xué)校初三月考）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=6,BD=8,AE_L8c于點(diǎn)E,

則AE的長(zhǎng)是（）

BEC

122448

A.5B.—D.—

5y5

【答案】C

【解析】

?四邊形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm,

A0=C0=3cm,B0=D0=4cm,NBOC=90。，

?*-BC=742+32=5(cm),

/.AExBC=BOxAC

故5AE=24,

24

解得：AE=y-.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于結(jié)合勾股定理得出BC的長(zhǎng)

5.（2019?福建初一期中）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的短直角邊和含45。角的三角板

的一條直角邊重合，則N1的度數(shù)為（

C.45°D.30°

【答案】A

【解析】

解:由題意可得：/2=60。,/5=45。,

N2=60°,

oo

???Z3=180-90°-60=30°/

，Z4=30°z

Z1=Z4+Z5=30o+45o=75°.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

6.（2019?寧波華茂國(guó)際學(xué)校初三期末）如圖，在四邊形A8CD中,ZDAB=90°，AD//BC,BC=-AD,

2

AC與BD交于點(diǎn)E,ACVBD,貝!JtanN3AC的值是（)

B夜1

A.c3D.

4423

【答案】c

【解析】

VAD//BC,ZDAB=90°.

/?ZABC=1800-ZDAB=90°，ABAC+NEAD=90°，

???AC1BD,

???NAEO=90°，

二ZADB+ZEAD^90°?

，ZBAC=NADB,

：.7ABCKDAB,

ABBC

：.一=一,

DAAB

?：BC=-AD,

2

.*AD=2BC,

AB2=BCxAD=BCx2BC=2BC2>

AB=y/2BC^

在RtAABC中，tanABAC=——=下—=—：

AB叵BC2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)；熟練掌握解宜角三

角形，證明:角形相似是解題的關(guān)鍵.

7.（2019?浙江初三）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC=27LE為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BE,將矩形A8CD

沿AE所在的直線折疊，點(diǎn)8恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B，處，P,Q分別是A8,AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PQ的

最小值為（）

,D

BEc

A.73B.2C.1D.3

【答案】B

【解析】

,/BC=3BE,

二EC=2BE,

???折疊，

/.BE=B'E,ZABC=ZAB'E=90°,NBAE二=ZEAC,

B'E1

?sinNACB=------二一,

EC2

/.ZACB=30°,

在RSABC中，AC=26,/ACB=30。，

；.AB=6，BC=&AB=3,ZBAC=60°,

...NBAE=NEAC=30°,

如圖

作點(diǎn)E關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)F,連接AE',PE',

；PE+PQ=PE'+PQ,

...當(dāng)Q,P,F三點(diǎn)共線，且E'Q_L4:時(shí)，

PE+PQ的值最小，

VBC=3,BC=3BE,

：.8E=1,

E兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱，

：.BE'=BE=1,NEA8=NE'48=30°,且N8AC=60°,

NFAC=90°,

即PE+PQ的最小值為AF的值，

'：ZBAE'=30",BF=1,AB1CB,

：.AF=2,

：.PE+PQ的最小值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查折疊的性質(zhì)，利用三角函數(shù)值求角度，直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，垂線段最

短的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì).

8.（2019?山東初二期中）把一副三角板如圖甲放置，其中/ACB=NDEC=90。，NA-45。，ND=30。，斜邊AB=6,

DC=7,把三角板DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15。得到ADiCEi（如圖乙），此時(shí)AB與CD1交于點(diǎn)O,則線段AD1

的長(zhǎng)度為（）

BB

圖甲圖乙Ei

A.3亞B.5C.4D.V31

【答案】B

【解析】

由題意易知：ZCAB=45°,ZACD=30°,

若旋轉(zhuǎn)角度為15。，則NACO=3（T+15°=45。.

二ZAOC=1800-ZACO-ZCAO=90".

在等腰RtAABC中，AB=6,則AC=BC=34.

同理可求得：AO=OC=3.

在R3AOD：1.中，OA=3,ODi=CDi-OC=4,

由勾股定理得：ADi=5.故選B.

9.（2020?山東初二期末）如圖，在A4BC中，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，AO平分NBAC,且A。于點(diǎn)。，

延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)N.若A3=4,DM=1,則AC的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】

解：平分N3AC,且8。LAD

AABAD=ANAD,AADB=NADN

在ZkADB和AADN中，

/BAD=NNAD

<AD=AD

NADB=NADN

/.△ADB^AADN(ASA)

；.BD=DN,AN=AB=4,

???點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

；.NC=2DM=2,

，AC=AN+NC=6,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三

邊的一半.

10.(2019?重慶西南大學(xué)附中初三月考)如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,NA=90。，Z4DC=120",連

接BD,把“8D沿8D翻折，得至！UAB。，連接AC,若AB=3,NA8D=60。，則點(diǎn)D到直線A七的距離為

()

A'

A.5/7B.—C.—D.—y/1

N1477

【答案】C

【解析】

過點(diǎn)D作DE_LAC于E,過A作AF_LCD于F,如圖所示：

'：AD//BC,

；.NADB=NDBC,ZADC+ZBCD=180°,NBCD=180°-120°=60°,

■:NA8D=60°,

：.ZADB=30°,

：.BD=2AB=6,AD=6AB=35ZBDC=ZADC-ZADB=120°-30°=90°,NDBC=30。,

，8=tanND8c?8D=tan30°x6=走X6=25

3

由折疊的性質(zhì)得：NA'D8=NAD8=30。，AD=AD=3百，

，ZA'DC^120°-30°-30。=60。，

'：A'F±CD,

，/DAF=30°,

13A/3r9

ADF=—A'D=^—,A'F=J3DF=-,

222

存

.?.AC=JA/2+c尸2=

'：A4'CD的面積=，A'CXDE=LCDXAF,

22

2&39s,

A'CV21-7

即D到直線AC的距離為2互:

7

故選：C.

A'

【點(diǎn)睛】

此題考查折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，直角三角形的30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

11.（2019?南通市八一中學(xué)初二月考）如圖，在菱形ABCD中，NA8C=60。，48=1,E為BC的中點(diǎn)，則對(duì)

角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到E、C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為（）

【答案】C

【解析】

解：：四邊形ABC。為菱形,

C關(guān)于8D對(duì)稱，

.,.連AE交8。于P,

則PE+PC=PE+AP=AE,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值.

8c=60。，AB=BC

二△ABC為等邊三角形，

又?.?8E=CE=4BC,

2

：.AEYBC,

2

，AE=A/AB2-BE2=與-

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查最短距離問題，掌握勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)及菱形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

12.（2019?重慶初三期末）如圖，將小正方形AEFG繞大正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（其

中0出上90。），連接BG、DE相交于點(diǎn)O,再連接AO、BE、DG.王凱同學(xué)在探究該圖形的變化時(shí)，提出了

四個(gè)結(jié)論：

①BG=DE；②8G_LDE；③NDOA=/GOA；@SAADG=SAABE,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】

'：ZDAB=ZEAG=90°,

，N￡ME=N8AG,

又，；AD=AB,AG=AE,

:./\DAE出4BAG(S45),

：.BG=DE,ZADE^ZABG,

故①符合題意，

如圖1,設(shè)點(diǎn)DE與AB交于點(diǎn)P,

VZADE=ZABG,ZDPA=ZBPO,

，N￡MP=N8OP=90°,

：.BGLDE,

故②符合題意，

如圖1,過點(diǎn)A作AM_LDE,ANLBG,

?；4DAE出4BAG,

SACWE=5A8AG，

11

:.—DExAM=-xBGxAN,

22

又?：DE=BG,

：.AM=AN,h.AMIDE,AN±BG,

，A。平分NDOG,

二ZAOD^ZAOG,

故③符合題意，

如圖2,過點(diǎn)G作GH_LAD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EQ_LAD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

：.ZEAQ+ZAEQ=90°,ZEAQ+ZGAQ=90",

：.ZAEQ=ZGAQ,

又；AE=AG,ZEQA=ZAHG=90",

AAEQ^AGAH(AAS)

，AQ=GH,

11

二-ADxGH^-ABxAQ,

22

SAADG=S&ABE，

故④符合題意,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題

的關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共18分）

13.（2019?河南初三期中）如圖，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將AABE向上折疊,

使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn).若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，貝！|AD=

【答案】亞士！

2

【解析】

沿AE將AABE向上折疊，使8點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn),

...四邊形A8EF是正方形，

V/AB=1,

設(shè)八。二x,則FO=x-l,FE=1,

四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

.EFAD

??,

FDAB

1x

x-11

解得刈=上至M=拽（負(fù)值舍去），

22

經(jīng)檢驗(yàn)X產(chǎn)應(yīng)1是原方程的解.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)及相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

14.（2019?銀川外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，在AABC中，DE〃BC,BF平分NABC,交DE的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)F,若AD=1,BD=2,BC=4,貝！］EF=.

【解析】

DE//BC,

：.ZF=ZFBC,

平分NABC,

：.ZDBF=ZFBC,

；.NF=NDBF,

DB=DFf

*：DE//BC,

ADDE口“1DE

..----------=----,乜|，------=----

AD+DBBC1+24

,4

解得：。￡二§，

?；DF=DB=2,

42

：.EF=DF-DE=2--=-,

33

故答案為I".

3

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由DE〃8C可得出△ADES/^ABC.

15.（2019?河北初三期末）如圖，在邊長(zhǎng)為9的正三角形ABC中，BD=3,NADE=60。，則AE的長(zhǎng)為

【答案】7

【解析】

「△ABC是等邊三角形，.,.ZB=ZC=60°,AB=BC.

，CD=BC—BD=9—3=6,；NBAD+/ADB=120°.

?；NADE=60°,.".ZADB+ZEDC=120°.AZDAB=ZEDC.

XVZB=ZC=60°,.,.△ABD^ADCE,

.ABDC96

即1=-^-nCE=2.

"BD-CE3CE

AE=AC-CE=9—2=7.

16.（2019?陜西初三期末）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在AABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊

AB、AC上.如果BC=4,AABC的面積是6,那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是

【答案】—

【解析】

作AH_LBC于H,交GF于M,如圖,

,.?△ABC的面積是6,

-BC?AH=6,

2

2x6

，AH=--------=3,

4

設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為X,則GF=x,MH=x,AM=3-x,

VGF/7BC,

/.△AGF^AABC,

GFAM,x3—x

—=——，即一=——解得x=亍,

BCAH43

I?

即正方形DEFG的邊長(zhǎng)為一,

7

故答案為—.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線求出BC邊上的高是解題的關(guān)鍵.

17.（2019?湖北中考真題）如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)。，點(diǎn)。在

CF

上，ZBAC=ZDEC=30\AC與DE交于點(diǎn)F,連接AE,若8。=1,AD=5,則工=.

【解析】

解：如圖，過點(diǎn)。作CM于點(diǎn)M,過點(diǎn)E作ENJ.AC于點(diǎn)N,

二AB=BD+AD=6,

?.?在中，ZBAC=3(f,ZB=90°-ZR4C=60°,

BC=、AB=3,AC=摳BC=36，

2

在Rt\BCA4Rt\DCE中，

,/N84C=N￡>￡C=30°，

tanNBAC=tan/DEC,

.BCDC

"~AC~~EC'

ZBCA=ZDCE=90°.

ZBCA-ZDCA=NDCE-ZDCA,

Z.ZBCD=ZACE,

：.\BCD^^ACE,

.。.BCBD

??Z.CAE=Z.B=60，-?——=——?

ACAE

。。。31

AZDAE=ZDAC+ZCAE=30+60=90，~/==—

3V3AE

???AE=6,

在RtMDE中，

DE=y/AD2+AE2=6+（何=2幣,

在RfADCE中，ZD￡C=30，

AZEDC=60.DC=LDE=E,

2

在RtkDCM中，

6八個(gè)向

MC=—DC=------，

22

在RtMEN中，

yfi3

NE=—AE=—，

22

/MFC=4NFE,NFMC=NFNE=90,

\MFCs^NFE,

V21

.CF_MC_V21

"~EF~NE3

2

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是能夠通過作適當(dāng)?shù)妮o助線

構(gòu)造相似三角形，求出對(duì)應(yīng)線段的比.

18.（2019?山東初三）如圖，點(diǎn)C為RtAACB與RtADCE的公共點(diǎn)，ZACB=ZDCE=90°,連接AD、BE,

EG

過點(diǎn)C作CF±AD于點(diǎn)F,延長(zhǎng)FC交BE于點(diǎn)G,若AC=BC=25,CE=15,DC=20,則力；的值為

BG

AH

3

【答案】-

4

【解析】

如圖，過E作EH±GFTH,過B作BP±GFTP,則NEHG=NBPG=90°,

又；NEGH=NBGP,

.,.△EHG^ABPG,

.EGEH

VCF1AD,

AZDFC=ZAFC=90",

AZDFC=ZCHF,ZAFC=ZCPB,又；NACB=/DCE=90°,

AZCDF=ZECH,ZFAC=ZPCB,

.,.△DCF^-ACEH,AACF^ACBP,

.EHCEBPBCt

"CF-DC'CF-C4-'

3

，EH=—CF,BP=CF,

4

?EH3

?.二f

BP4

.EG3

??—，

BG4

3

故答案為—■

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

進(jìn)行推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（每小題6分，共12分）

19.（2019?四川中考真題）如圖，線段AC、BD相交于點(diǎn)E,AE=DE,3E=CE.求證：NB=NC.

【答案】詳見解析

【解析】

證明：在AAEB和ADEC中,

AE=DE

<ZAEB=ZDEC

BE=CE

.".△AEB^ADEC

故N8=NC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形中角邊角的判定，軸對(duì)稱型全等三角形的模型，掌握即可解題.

20.（2019?江蘇初二期末）如圖，在口ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的一條直線分別交

AD,BC于點(diǎn)E,F.求證：AE=CF.

【答案】證明見解析.

【解析】

V°ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,

.".AO=CO,AD〃BC,

AZEAC=ZFCO,

ZEAO=NFCO

在AAOE和ZkCOF中（AO^OC,

NAOE=ZCOF

.,.△AOE^ACOF（ASA）,

；.AE=CF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

四、解答題（每小題8分，共16分）

21.（2019?黑龍江初三）如圖，矩形ABCD中，48=6,BC=4,過對(duì)角線BD中點(diǎn)。的直線分別交AB,CD邊

于點(diǎn)E,F.

（1）求證：四邊形8EDF是平行四邊形;

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，求EF的長(zhǎng).

D

AE

【答案】(1)證明見解析；(2)

3

【解析】

(1)證明：?.?四邊形ABCD是矩形，。是BD的中點(diǎn)，

ZA=90",AD=BC=4,AB〃DC,OB=OD,

/.ZOBE=ZODF,

在ABOE和ADOF中，

NOBE=NODF

<OB=OD

ZBOE=ZDOF

/.△BOE^ADOF(ASA),

EO=FO,

???四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，BD1EF,

設(shè)BE=x,貝I」DE=x,AE=6-x,

在R3ADE中，DE2=AD?+AE2,

.\X2=42+(6-X)2,

13

解得：x=—,

,?,BD=7AD2+AB2=2屈,

：.0B=—BD=713，

VBD1EF,

AEO^^BE2-OB~=,

.,.EF=2EO=^1.

3

點(diǎn)睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的

性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵

22.(2019?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí))如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEJ_BC,垂足為E,連接DE,F

為線段DE上一點(diǎn)，且/AFE=NB

（2）若AB=8,AD=6jLAF=4石，求AE的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析（2）6

【解析】

解：（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AD〃BC

AZC+ZB=180",ZADF=ZDEC

VZAFD+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

/.ZAFD=ZC

在AADF與ADEC中，VZAFD=ZC,ZADF=ZDEC,

/.△ADF^ADEC

（2）二?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.CD=AB=8.

由（1）知△ADFS/XDEC,

.ADAF

??二,

DECD

.ADCD6^x8..

??DE=------------=--------r=—=12

AF473

在Rt^ADE中，由勾股定理得：AE=VDE2-AD2=J122-（673）2=6

五、解答題(每小題9分，共18分)

23.(2019?山東初三期中)如圖，在銳角三角形A8C中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,A8上，AG,8c于點(diǎn)G,

AF_LDE于點(diǎn)F,NEAF=NGAC.

(1)求證：AADES^ABG

(2)若4D=3,48=5,求——的值.

AG

E

/I

-----------------——1^\

GC

3

【答案】(1)證明見解析；(2)y.

【解析】

(1)VAG±BC,AF±DE,

ZAFE=ZAGC=90",

VZEAF=ZGAC,

/.ZAED=ZACB,

；/EAD=NBAC,

/.△ADE^AABC,

(2)由(1)可知：AADEs/XABC,

.AD_AE

"AB-AC-5

由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,

AZEAF=ZGAC,

.,.△EAF^ACAG,

.AF_AE

?，府一就‘

*AF3

?■—

AG5

考點(diǎn)：相似三角形的判定

24.(2019?湖州市第五中學(xué)初三)在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12.點(diǎn)D在直線CB上，以CA,CD為邊

作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G,

(1)如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).

②若DG=GF,求BC的長(zhǎng).

(2)已知BC=9,是否存在點(diǎn)D,使得ADFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說

明理由.

E

【答案】(1)①2石，②126；(2)等腰bDFG的腰長(zhǎng)為4或20或84+4M^或二84+48巧理由

77

見解析.

【解析】

(1)①在正方形ACOE中，DG=GE=6,

在RtAAEG中，AG=A/A￡2+EG2=6君，

EG//AC,

WCFsbGEF,

,FGEG

"~AF~~AC'

.FG_6_T

"~AF~n~2'

：.FG=-AG=2y/5,

3

②如圖1中，

圖1

正方形ACOE中，AE=ED,NAEF=NDEF=45。,

EF=EF,

AAEF三\DEF,

.-.Z1=Z2,設(shè)Nl=N2=x,

AE!IBC,

NB—ZX—x,

GF=GD,

N3=N2=x,

在AOB/中，Z3+ZF￡>B+Zfi=180°,

.?.x+(x+90°)+x=180°,

解得x=30。，

NB=30°,

???在RtAABC中，BC=------=12V3.

tan30°

(2)在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=V122+92=15'

如圖2中，

圖2

當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，此時(shí)只有GE=GO,

DG//AC,

kBDGskBCA,

設(shè)8O=3x,則OG=4x,BG=5x,

GF=GD=4x,則AF=15-9x,

AE//CB,

AEAF

??--------=----------f

BC