新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2知識點(diǎn)復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

《2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)系列》——高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用無論哪個省市的考題中可以看出，一定會重視對導(dǎo)數(shù)的考察，所以同學(xué)一定將導(dǎo)數(shù)學(xué)細(xì)學(xué)精！根底知識【理解去記】1．極限定義：〔1〕假設(shè)數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時，恒有|un-A|<ε成立〔A為常數(shù)〕，那么稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。2．極限的四那么運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)?g(x)]=ab,3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，那么稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。5．導(dǎo)數(shù)：假設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量Δx時〔Δx充分小〕，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).假設(shè)存在，那么稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)〔或變化率〕，記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。假設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，那么稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．【必背】八大常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔1〕=0〔c為常數(shù)〕；〔2〕〔a為任意常數(shù)〕；〔3〕(4);(5);(6);〔7〕；〔8〕7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么：假設(shè)u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,那么〔1〕；〔2〕；〔3〕〔c為常數(shù)〕；〔4〕；〔5〕。8．****【必會】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且〔f[(x)]=.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性：〔1〕假設(shè)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，那么f(x)在I上連續(xù)；〔2〕假設(shè)對一切x∈(a,b)有，那么f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；〔3〕假設(shè)對一切x∈(a,b)有，那么f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10．極值的必要條件：假設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，那么11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，〔1〕假設(shè)當(dāng)x∈(x-δ,x0)時，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時，那么f(x)在x0處取得極小值；〔2〕假設(shè)當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時，那么f(x)在x0處取得極大值。12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且?！?〕假設(shè)，那么f(x)在x0處取得極小值；〔2〕假設(shè)，那么f(x)在x0處取得極大值。13．【了解】羅爾中值定理：假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么存在ξ∈(a,b)，使[證明]假設(shè)當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，那么對任意x∈(a,b)，.假設(shè)當(dāng)x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，那么c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。二、根底例題【必會】1．極限的求法。例1求以下極限：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕[解]〔1〕=；〔2〕當(dāng)a>1時，當(dāng)0<a<1時，當(dāng)a=1時，〔3〕因?yàn)槎浴?〕例2求以下極限：〔1〕(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|<1)；〔2〕；〔3〕。[解]〔1〕(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)=〔2〕=〔3〕=2．連續(xù)性的討論。例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。[解]當(dāng)x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，那么x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時，令x+1=t，那么當(dāng)t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。[解]因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，那么，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過點(diǎn)〔2,0〕，所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.4．導(dǎo)數(shù)的計算。例5求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔1〕y=sin(3x+1)；〔2〕；〔3〕y=ecos2x；〔4〕；〔5〕y=(1-2x)x(x>0且)。[解]〔1〕3cos(3x+1).(2)〔3〕〔4〕〔5〕5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。[解]，因?yàn)閤>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.〔1〕當(dāng)a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；〔2〕當(dāng)a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在〔0，1〕內(nèi)單調(diào)遞增，在〔1，+∞〕內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；〔3〕當(dāng)0<a<1時，令，即x2+(2a-4)x+a2>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-<x<2-a+時，x2+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7設(shè)，求證：sinx+tanx>2x.[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，那么=cosx+sec2x-2，當(dāng)時，〔因?yàn)?<cosx<1〕，所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈時，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x.7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。[解]因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當(dāng)x∈(0,1)時，，所以f(x)在(0,1]上遞減；當(dāng)x∈(1,2)時，，所以f(x)在[1，2]上遞增；當(dāng)x∈(2,+∞)時，，所以f(x)在[2，+∞〕上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,當(dāng)時，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以；當(dāng)時，因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?<(1-y)x<x<π，所以g[(1-y)x]>g(x)，即，又因?yàn)?，所以?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0.其次，當(dāng)x=0時，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.當(dāng)y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時，f(x,y)=sinx≥0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。三、趨近高考【必懂】這些高考題取自2009-2010年各個熱門省市，同學(xué)一定重視，在此根底上，我會對這些高考題作以刪減，以便同學(xué)在最短時間內(nèi)理解明白！1.〔2009全國卷Ⅰ理〕直線y=x+1與曲線相切，那么α的值為()A.1B.2C.-1D.-2答案B解:設(shè)切點(diǎn)，那么,又.故答案選B2.〔2009安徽卷理〕函數(shù)在R上滿足，那么曲線在點(diǎn)處的切線方程是()A.B.C.D.答案A解析由得幾何，即，∴∴，∴切線方程，即選A3.〔2009江西卷文〕假設(shè)存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，那么等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A解析設(shè)過的直線與相切于點(diǎn)，所以切線方程為即，又在切線上，那么或，當(dāng)時，由與相切可得，當(dāng)時，由與相切可得，所以選.4.〔2009遼寧卷理〕假設(shè)滿足2x+=5,滿足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C解析由題意①②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)與②式比擬得t＝x2

于是2x1＝7－2x25.〔2009天津卷理〕設(shè)函數(shù)那么 ()A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)。B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)。C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)。D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。解析：由題得，令得；令得；得，故知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，在點(diǎn)處有極小值；又，應(yīng)選擇D。6.假設(shè)曲線存在垂直于軸的切線，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法〔別離變量法〕上述也可等價于方程在內(nèi)有解，顯然可得7.(2009陜西卷理)設(shè)曲線在點(diǎn)〔1，1〕處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，那么的值為.答案-28〔2010.全國1文〕．設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】：，由得，即或；由得即，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。由恒成立，大于的最大值。當(dāng)時，(1)當(dāng)時，為增函數(shù)，所以；(2)當(dāng)時，為減函數(shù)，所以；(3)當(dāng)時，為增函數(shù)，所以；因?yàn)椋瑥亩诙峦评砼c證明本章只需重視綜合法、分析法、反證法的特點(diǎn)。及數(shù)學(xué)歸納法的掌握！一、根底知識【理解去記】綜合法：“執(zhí)因?qū)Ч狈治龇ā皥?zhí)果導(dǎo)因”反證法:倒著推【不?？肌繗w納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點(diǎn)：特殊→一般.不完全歸納法:根據(jù)事物的局部(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)取第一個值時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)(，≥)時命題成立，證明當(dāng)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法的根本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)，如果當(dāng)時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)(，≥)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)，，…，命題都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：證明：當(dāng)取第一個值結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)(，≥)時結(jié)論正確，證明當(dāng)時結(jié)論也正確由，可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都正確.數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推根底不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時，兩步缺一不可；證題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).二、根底例題【必會】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明，一是要切實(shí)理解原理，二是嚴(yán)格按步驟進(jìn)行，格式要標(biāo)準(zhǔn)，從n=k到n=k+1時一定要用歸納假設(shè)，否那么不合理。用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2.證明點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo)n=k+1也成立時，證明不等式的常用方法，如比擬法、分析法、綜合法均要靈活運(yùn)用，在證明的過程中，常常利用不等式的傳遞性對式子放縮建立關(guān)系。同時在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式里應(yīng)特別注意從n=k到n=k+1過程中項(xiàng)數(shù)的變化量，容易出錯。用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被9整除。點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設(shè)成立的式子，然后證明剩下的式子也能被某式〔或數(shù)〕整除，拼湊式關(guān)鍵。第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)一、根底知識【理解去記】1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi〔a,b∈R〕的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對任意復(fù)數(shù)z=a+bi〔a,b∈R〕，a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部兩局部構(gòu)成；假設(shè)將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個點(diǎn)相對應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對應(yīng)唯一一個向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，那么a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。假設(shè)z=r(cosθ+isinθ)，那么θ稱為z的輻角。假設(shè)0≤θ<2π，那么θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，那么z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，假設(shè)z=a+bi，〔a,b∈R〕,那么a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；〔8〕|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；〔9〕假設(shè)|z|=1，那么。4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么：〔1〕按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法那么與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；〔2〕按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法那么；〔3〕按三角形式，假設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，那么z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；假設(shè)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.【局部省市考】棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.開方：假設(shè)r(cosθ+isinθ)，那么，k=0,1,2,…,n-1。7．單位根：假設(shè)wn=1，那么稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，那么全部單位根可表示為1,,.單位根的根本性質(zhì)有〔這里記，k=1,2,…,n-1〕：〔1〕對任意整數(shù)k，假設(shè)k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；〔2〕對任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；〔3〕xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：〔1〕兩個復(fù)數(shù)實(shí)部和虛局部別對應(yīng)相等；〔2〕兩個復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0〔且z≠0〕.10.代數(shù)根本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即假設(shè)z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，那么=a-bi也是一個根。12．假設(shè)a,b,c∈R,a≠0，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時方程的根為二、根底例題【必會】1．模的應(yīng)用。例1求證：當(dāng)n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。[證明]假設(shè)z是方程的根，那么(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。[解]因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復(fù)數(shù)相等。例3設(shè)λ∈R，假設(shè)二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。[解]假設(shè)方程有實(shí)根，那么方程組有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.假設(shè)λ=-1，那么方程x2-x+1=0中Δ<0無實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以當(dāng)λ≠2時，方程無實(shí)根。所以方程有兩個虛根的充要條件為λ≠2。3．三角形式的應(yīng)用。例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個？[解]由題設(shè)得，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個。4．******【?？肌慷?xiàng)式定理的應(yīng)用。例5計算：〔1〕；〔2〕[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100==)+()i，比擬實(shí)部和虛部，得=-250，=0。5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6以定長線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。[證明]設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，那么B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。[證明]用A，B，C，D表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，那么(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時成立。不等式得證。6．復(fù)數(shù)與軌跡。例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。[解]設(shè)外心M對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復(fù)數(shù)與三角。例9cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，那么z1+z2+z3=0。所以又因?yàn)閨zi|=1,i=1,2,3.所以zi?=1，即由z1+z2+z3=0得①又所以所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.[解]令w=cos200+isin200,那么w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,那么S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。例11f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).求證：一定存在一個復(fù)數(shù)z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.[證明]記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，那么方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個zi使得|zi|≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.9.單位根的應(yīng)用。例12證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。[證明]取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為，那么頂點(diǎn)A2A3…An對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對應(yīng)復(fù)數(shù)z,那么|z|=1,且=2n-=2n-命題得證。10．復(fù)數(shù)與幾何。例13如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。[證明]以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，那么C-Q=i(B-Q)，那么ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,假設(shè)p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。[證明]令u=，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時表示它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，那么p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=〔A2-A1〕u，這說明ΔA1A2A3為正三角形。三、趨近高考【必懂】1.(2009年廣東卷文)以下n的取值中，使=1(i是虛數(shù)單位〕的是 〔〕A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5【解析】因?yàn)?應(yīng)選C.答案C2.〔2009廣東卷理〕設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，那么對虛數(shù)單位， 〔〕A.8B.6C.4D.2【解析】，那么最小正整數(shù)為4，選C.答案C3.〔2009浙江卷理〕設(shè)〔是虛數(shù)單位〕，那么 ()A．B．C．D．【解析】對于答案D4.〔20