《線性代數(shù)及其應(yīng)用》課件 Ch1-2-矩陣初等變換及線性方程組通解

求解線性方程組例1解線性方程組對應(yīng)的增廣矩陣一、矩陣的初等變換交換方程組的第一個方程和第二個方程對應(yīng)的增廣矩陣正好是交換第一行和第二行1把方程組的第一個方程乘以-2加到第二個方程和第三個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第一行的每個元素乘以

-2分別加到第二行、第三行對應(yīng)位置的元素上2第二個方程乘以-1加到第三個方程上，第三個方程乘以-1對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第二行的每個元素乘以-1加到第三行對應(yīng)位置的元素上，第三行每個元素乘以-13第三個方程乘以2

加到第二個方程上，第二個方程乘以

4對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以2加到第二行對應(yīng)位置的元素上，第二行每個元素乘以行階梯形矩陣第三個方程乘以-1加到第一個方程上，第二個方程乘以1加到第一個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以-1，第二行的每個元素乘以

1，都加到第一行對應(yīng)位置的元素上5最后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

行最簡形矩陣由此可見，對矩陣實施這些變換是十分必要的，為此，我們引入如下定義：將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行，用

表示將矩陣第

行的

倍加到第

行.稱為矩陣的初等行變換定義1下面三種矩陣的變換：交換矩陣的某兩行，我們用表示交換矩陣的第，兩行;矩陣的某一行乘以非零數(shù),用

表示矩陣的第

行元素乘以非零數(shù)

；(1)(2)(3)將上面定義中的“行”換成“列”（記號由“r”換成“c”，就得到了矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.在例1中，線性方程組(3)、(4)、(5)對應(yīng)的增廣矩陣有一個共同特點，就是：可畫一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行，臺階數(shù)就是非零行的行數(shù)；每一非零行的第一個非零元素位于上一行首元的右側(cè)，

即這樣的矩陣，我們稱為行階梯形矩陣.對于最后一個矩陣，它的非零行的第一個非零元素全為

1，并且這些非零元素所在的列的其余元素全為零，這樣的階梯形矩陣，我們稱為行最簡形矩陣.

試用矩陣的初等行變換將矩陣

先化為行階梯形矩陣，再進(jìn)一步化為行最簡形矩陣.例3解行階梯形矩陣行最簡形對于行最簡形矩陣再實施初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣.

例如，將上面的行最簡形矩陣再實施初等列變換最后一個矩陣

稱為矩陣

的標(biāo)準(zhǔn)形，寫成分塊矩陣的形式，則有二、線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組齊次線性方程組其中增廣矩陣定理

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,則線性方程組有非零解的充分必要條件是例：求解齊次線性方程組解：對該線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，由于，所以線性方程組有非零解.行最簡型對應(yīng)的方程組為令則原方程的解為：或定理

設(shè)

為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，

表示其增廣矩陣，則非齊次線性方程組有解的充分必要條件是時,方程組有無窮多解.且當(dāng)時,方程有唯一解；解方程組例解對該線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換，從而