2020-2021學(xué)年樂山市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年樂山市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1,若X,丫6%*比+3/是奇數(shù)，貝。，中一個(gè)是數(shù)，一是偶，

若久2-3x2=則=1或x=2/空/

x=y=0,則％2+yO/格/

給出下四個(gè)命：

那么下列說法確是（）

A.①的逆命題為真B.②的否命題為真

C.③的逆否命題為假D.④的逆命題為假

2.在三棱錐。一ABC中，CD，底面ABC,AE//CD,AABC為等邊三角形，AB=CD=AE=V3,

又知三棱錐D-ABC與三棱錐E-2BC的公共部分為一個(gè)三棱錐，則此公共三棱錐的外接球的表

面積為（）

7q

A.47rB.-TiC.37rD.-n

3.過三點(diǎn)*1,3）,5（4,2）,0（1,-7）的圓交y軸于M,N兩點(diǎn)，則|M|=（）

A.2癡B.8C.10D.4存

4.設(shè)a,￡為不重合的平面，m,ri為不重合的直線，則下列命題正確的是（）

A.若a1￡,aC\0=n,mln,則TH1a

B.若mca,nu0,mln,則九1a

C.若幾1a,n上0,7nl則zn1a

D.若血〃。，n“B,mln,則a1/7

5.如圖所示，正方形4BCD和正方形DEFG,原點(diǎn)。為4D的中點(diǎn)，拋物線f一_—

2Px（p>0）經(jīng)過C,F兩點(diǎn)，則直線BE的斜率為（）

DEx

C.2+V2

D.2-V2

6.如圖，正方體ABC?！狝/GA的棱長為2,點(diǎn)M是4B的中點(diǎn),

則直線DBi與直線CM所成角的余弦值為（）

A.一百

15

B.0

C.小

15

D.包

15

7.若直線狽+"+。=0與拋物線、2=2%交于「，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線PF,QF分別

交拋物線于點(diǎn)M,N,則直線MN的方程為（）

A.4cx—2by+a=0B.ax-2by+4c=0

C.4cx+2by+a=0D.ax+2by+4c=0

8.下列四個(gè)正方體圖形中，8為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、尸分別為其所在棱的中點(diǎn),

9.圓。1：/+丫2—6%+4y+12=0與圓。2：i+丫2—i4x—2y+14=0的位置關(guān)系是()

A.相離B.內(nèi)含C.外切D.內(nèi)切

10.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正方形，側(cè)視

圖是矩形，俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為（）

A.12兀B,12?r+16C.8兀D.

871+16

11.雙曲線>，=l（a>Q,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl?若雙曲線上存在一點(diǎn)P，滿足|P6I=2|Pa|,

則雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.(1,3]B.(1,3)C.(3,+8)D.[3,+oo)

12.8.下列命題為真命題的是

A.已知G,b&R,則“=<一2”是“&>0且5<0”的充分不必要條件

ab

B.已知數(shù)列沁)為等比數(shù)列，則“％〈%〈%”是的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面a,§,若兩條異面直線??%落滿足m二a,若u尸且館//p,許//CL,則

a//P

D.三與e(-x,0),使44%成立

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.給出下列命題：

(1)空間中點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(25,1),則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,舊,1)；

(2)若曲線法+鼻=1表示雙曲線，則k的取值范圍是(l,+8)u(—叫―4)；

⑶已知4(-5,0),B(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為，則點(diǎn)M的軌跡方程

為日+也=1；

25100

2

(4)已知雙曲線方程為/-?=1,則過點(diǎn)P(l,l)可以作一條直線/與雙曲線交于4B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P是

線段4B的中點(diǎn).

其中正確命題的序號是.

22

14.尸為橢圓'+多=1(4>3>0)上動(dòng)點(diǎn)，使A即圈為直角三角形的點(diǎn)P有且僅有4個(gè)，則離

ah

心率力的范圍是.

15.棱臺(tái)上、下底面面積比為1：9,則棱臺(tái)的中截面分棱臺(tái)成兩部分的體積之比是.

16.設(shè)F是雙曲線C：馬―1=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端

a2b2

點(diǎn)，則c的離心率為.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無3點(diǎn)共線.

(1)經(jīng)過這9個(gè)點(diǎn)可確定多少條直線？

(2)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可確定多少個(gè)三角形？

(3)以這9個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四邊形？

18.已知雙曲的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在久軸上，其離心率6=魚，已知點(diǎn)(2逐,0)到雙曲線上的點(diǎn)

的最短距離為2&，求雙曲線的方程.

19.如圖，正方體4BCD-4/16%的頂點(diǎn)C在平面a上，所有頂點(diǎn)都在平面a的同一側(cè)，且滿足4/

和&D與平面a所成角均為半

(I)求證：BD〃平面a；

(H)求直線/。與平面a所成角的余弦值.

20.如圖，已知拋物線C：V=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)G(2p,0)作

直線I交拋物線C于4,B兩點(diǎn)，設(shè)4(久1/1),S(x2,y2).

(1)若由?由=4,求拋物線C的方程；

(2)若直線［與力軸不垂直，直線2F交拋物線C于另一點(diǎn)M,直線BF交拋

物線C于另一點(diǎn)N.求證：直線Z與直線MN斜率之比為定值.

21.如圖，在三棱柱ABC—AiBiCi中，側(cè)面是菱形，^BAAr=60°,E是棱的中點(diǎn)，C4=

CB=1,F在線段4C上，且AF=2FC.

A1

(1)證明：CB1〃面&EF；

(2)若C4_LC8,ffiCXBL^ABB^,求三棱錐C-44#的體積

(x=-t

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為17用(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系無Oy的。點(diǎn)

(>Z=T+Tt

為極點(diǎn)，0%為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為P=2cos(。-今.

(1)求直線1的傾斜角；

(2)若直線I與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，求4B.

參考答案及解析

L答案：A

解析：解：對于，命題的逆命題是“x=l或x=2,則x2-+2=0是真命；

綜，選項(xiàng)說法正確的是.

對，命題的否命是“若x<,或xN3,則（X+2）（-3>0”是假命題；

于，該命題逆命是“若x,yeN*,y中個(gè)奇數(shù)一個(gè)是偶，則x+y是奇，"，它是真命題；

故選：

寫出該命的否并判斷真假；

判斷命題的從而得出它的逆否命題的真性；

寫出題的逆命題并判真假性.

本題考查了四種題的關(guān)系，也考查斷命題真假的問題，是基礎(chǔ).

2.答案：A

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積和表面積，其中根據(jù)已知，求出球的半徑，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

畫出滿足條件的圖形，可得此三棱錐的底面ABC是邊長為舊的等邊三角形，求出外接圓半徑，求出

球的半徑，可得答案.

解：如下圖所示：

三棱錐D-28C與三棱錐E-ABC的公共部分為三棱錐尸-ABC,

底面ABC是邊長為舊的等邊三角形，外接圓半徑為1,內(nèi)切圓半徑為

AF1CF,幾何體的外接球的球心在4C的垂直平分線上，因?yàn)?，△ABC為等邊三角形，所以它的外

接圓的圓心就是球心，外接圓的半徑就是球的半徑，

外接球的表面積S=4TT7?2=47r.

故選A.

3.答案：D

解析：設(shè)圓的方程為%2+y2+o%+Ey+F=o,則

'1-9-D-3E一尸=0

(16-4-4。-2七一尸=0，

l+49-D-7￡-F=0

???D=-2,E=4,F=-20,

.??%2+y2—2%+4y—20=0,

令第=0,可得y2+4y-20=0,

-**y=-2±2>/6"，

\MN\=4怖。

故選：Do

4.答案：C

解析：

本題考查線面、面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用線面、面面垂直的判定定理判斷.

解：對于4al/?,=時(shí)，若?！1TH,mu0,則?n1a,但題目中無條件??iu故A也不

一定成立；

對于8,由線面垂直的判定，一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則線面垂直，而選項(xiàng)8

中，只有ml幾，則幾1a,顯然不成立；

對于C,Tila,九1/7,貝！Ja〃/?,又mlS，則血_1_仇，結(jié)論成立；

對于O,m//a,n//p,mln,只能得到平面a里有一條直線垂直于平面口里的一條直線，不滿足面

面垂直的判定定理，故得不到a1￡,故不正確；

故選C.

5.答案：B

解析：

本題考查拋物線的方程，考查直線斜率的計(jì)算，求出B,E的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

設(shè)正方形48C。和正方形DEFG的邊長分別為a,b(a<b),求出8,E的坐標(biāo)，即可求出直線BE的斜

率.

解：設(shè)正方形2BCD和正方形OEFG的邊長分別為a,b(a<b),

-T)CL

y=2p(-+b),

解得a=p,b=(V2+l)p,

則B(一泉-a),E(^+b,0),

直線BE的斜率k=盤言=看=缶=1一1

故選艮

6.答案：C

解析：

本題考查了利用空間向量法求解異面直線所成角的余弦值，屬于基礎(chǔ)題.

先以。為原點(diǎn)，為支軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出DBi與CM所

成角的余弦值.此時(shí)要注意異面直線所成角的范圍.

解：以D為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為y軸，。必為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎襟w48CD-ABiGA的棱長為2,

則M(2,l,0),C(0,2,0),￡>(0,0,0),8式2,2,2),

西=(2,2,2),CM=(2,-1,0)，

設(shè)QB】與CM所成角為仇((?<0([),

'DB'I-CAI4-2+0v/15

則I

同IE5/T2-\/5IT,

???OB】與CM所成角的余弦值為誓.

故選c.

7.答案：A

解析：解：設(shè)尸01，乃），M（x2,y2）＞可。3，%），

由PM過焦點(diǎn)F,得月%=-1，久2=%則有P（襄，一：），

同理Q（專，-/）,

4%3y-i

將P點(diǎn)代入直線方程a%+by+c=0,有。?亳+人（一怖）+c=。，

兩邊乘以4%2,得?！?土■+4%2c=0,

2%2

又先=2%2，y-i=—＞

二a—2by2+4cx2=0,

同理a-2&y3+4CX3=0

故所求直線為a—2by+4cx=0.

故選：A.

設(shè)P（%i，yi）,M（x2,y2）＞N（%3，y3）,確定P,Q的坐標(biāo)，代入直線方程ax+by+c=0,即可求出直

線MN的方程.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定P,Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

8.答案：B

解析：

本題考查線線平行、線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題目.

解：對圖①，構(gòu)造/I邸,所在的平面，

即對角面，可以證明這個(gè)對角面與平面4瀛浮平行，

由面面平行的的性質(zhì)可得,哪手情平面盤瀛酎，

對圖④，通過證明,您常公等翦，

然后可得/I鼠抬平面4瀛部;

對于②、③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行.

故選艮

9.答案：D

解析：解：因?yàn)閳A。1的圓心01(3,—2),半徑萬=1；

圓。2的圓心。2(7,1),半徑上=6,

???|。1。2|=J(3_7)2+[(_2)_1]2

=5=r2-

所以兩圓內(nèi)切.

故選：D.

求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，通過弦心距與半徑的和與差的關(guān)系，判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.

本題考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷，求出圓心距與半徑和與差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.答案:B

解析:

本題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為半圓的圓柱體的一部分，結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，求出它的

表面積.

解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是底面為半圓的圓柱體的一部分，

且底面半圓的半徑為2,圓柱體的高為4；

.?.該幾何體的表面積為

S=2s底面+S側(cè)面+S截面

1,1

=2X-7T-22+--27T-2-4+4X4

=12兀+16.

故選：B.

1L答案：A

解析：

本題考查求解雙曲線的離心率.

解:由于|PF/=2|PF2|,即|PFi|>IPF2I，

根據(jù)雙曲線的定義可知|Pa|—IPF2I=2a,所以有IPF2I=2a,

而右支上的點(diǎn)離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為右頂點(diǎn)，

■■■2a>c—a,

???1<第3,即1<”3,

故答案為(1,3].

12.答案：C

解析：

選項(xiàng)X中，y<-2<=>+2=.S0oab<0是a>0且6<0的必要不

ababab

充分條件，所以/錯(cuò);

選項(xiàng)3中，由為<42cq得《外：°或彳：I<°可以推出；但若如<。5，則該

g>1y<Q<1

數(shù)列有可能是擺動(dòng)的等比數(shù)列，如：1,一1,1,-1,1,-1……，此時(shí)推不出色</<?，

4%42

所以3錯(cuò)；選項(xiàng)。中，當(dāng)x0<0時(shí)，n=(；尸。>(；)0=1=3"。>4%,所以。錯(cuò).

故答案為C.

13.答案:(2)

解析：解：(1)空間中點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為(2,弓，1),則久=2cos，=V^,y=2sin^=1,z=1,故不正

確；

22

(2)曲線￡+￡=1表示雙曲線，貝！](4+k)(l—k)<0,；.k的取值范圍是(l,+8)u(―8,—4),正

確；

⑶已知4(-5,0),5(5,0),直線2M,8M相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為—右則點(diǎn)M的軌跡方程

為會(huì)+篙=1(尤4±5),故不正確；

(4)設(shè)過點(diǎn)P(l,l)的直線方程為y=k(x-1)+1或x=1

①當(dāng)k存在時(shí)，聯(lián)立得(2—1)/+(2左2-2/<)%—l+2k—3=0,當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不

O

同點(diǎn)，則必有△=(21-2/<)2—4(2一1)(—左2+2k—3)>0,k<-

又方程的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)4B的橫坐標(biāo)，P是線段4B的中點(diǎn)，.??％1+亞=2,.?.k=2

fc=2,使2一卜2中0但使△<0

因此當(dāng)k=2時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解

故過點(diǎn)P(l,l)與雙曲線交于兩點(diǎn)4B且P為線段4B中點(diǎn)的直線不存在.

當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)P但不滿足條件，

綜上，符合條件的直線/不存在

故答案為：(2).

對四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng).

解析：解：由題意得，①當(dāng)PF］，》軸時(shí)，由兩個(gè)點(diǎn)P滿足APfiB為直角三角形；同理當(dāng)PF2，％軸

時(shí)，

由兩個(gè)點(diǎn)尸滿足小PF1F2為直角三角形????使△PaF2為直角三角形的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，

二以原點(diǎn)為圓心，C為半徑的圓與橢圓無交點(diǎn)，c<b,

c2<b2=a2-c2,■-e2<又e>0,解得0<e<四.

22

故答案為：

15.答案：春

解析：解：設(shè)棱臺(tái)的上下底面面積分別為1,9,則棱臺(tái)的中截面面積為4,設(shè)棱臺(tái)的高為2%,

中截面將棱臺(tái)分成的上下兩部分體積分別為匕，V2,

則匕=|(1+4+V4)/i=叫

?匕■=[

**v219,

故答案為高.

求出棱臺(tái)的中截面面積，代入棱臺(tái)的體積公式即可得出比值.

本題考查了棱臺(tái)的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：V5

解析：解：設(shè)F(c,O),P(m,n),(m<0),

設(shè)PF的中點(diǎn)為M(0,b),

即有租=—c,n=2b,

將點(diǎn)(—c,2b)代入雙曲線方程可得，

22

c14b—1《,

a2b2

“2

可得e2=—=5,

az

解得e=A/5.

故答案為：V5.

設(shè)尸(c,0),P(m,n),(m<0),設(shè)PF的中點(diǎn)為M(0,b),即有m=-以n=2b,將中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入

雙曲線方程，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，同時(shí)考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，

屬于中檔題.

17.答案：解：(1)可確定直線鬣—底+1=31(條)

(2)可確定三角形俏-盤=80(個(gè))

(3)可確定四邊形璃-酸-盤嗎=105(個(gè)).

解析：根據(jù)平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無3點(diǎn)共線，利用間接法求解即可.

本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：雙曲線的其離心率e=&，故雙曲線方程可設(shè)為/—*=下.Q分)

在雙曲線上任取一點(diǎn)?y)點(diǎn)(2逐,0)到雙曲線上的點(diǎn)的距離設(shè)為d

則d2=(%-2近產(chǎn)+y2=2無2-4A/5X+20-A2...(4分)

d2在區(qū)間久>4或％<—4上的最小值為8...(6分)

當(dāng)2W遮時(shí),^min==10—20+20—A2=10—A2=8,解得萬=2；….(8分)

22

當(dāng)4>近時(shí)，d^in=d，％=2萬-4V52+20-2=A-4V5A+20=8,

解得；I=2V5+2迎或4=2而-2企（舍）即〃=14+8V10;...（10分）

綜上：雙曲線的方程為/-y2=2或/一>2=14+8VTU...Q2分）

解析：雙曲線的其離心率e=VL故雙曲線方程可設(shè)為.在雙曲線上任取一點(diǎn)（無,y）點(diǎn)

（2逐,0）到雙曲線上的點(diǎn)的距離設(shè)為d,則彥=（%-2V5）2+y2=2x2-4A/5X+20-A2,d?在區(qū)間

x>2或工<-2上的最小值為8,即可求雙曲線的方程.

本題考查求雙曲線的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

19.答案：解：（I）證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB,CD,CCi所V

故瓦石=(0,1,1),西=(1,0,1),麗=(-1,1,0),設(shè)平面a的

法向量為記=(x,y,z),且|元|=1,

?！凇猏BA^-n\_\y+z\兀_8_］網(wǎng)司一\x+z\

32出名||宿V232IDZ1II宿V2

???|y+z|=^-f\x+z\=日’

不妨取y+z=y,x+z=y，故％=y,

???x2+y2+z2=1,

???可得1—/y—A—，,z=Q

―V6A/6V6

...n=QZ，EX

根據(jù)法向量的特點(diǎn)，不妨設(shè)平面a的一個(gè)法向量為記=（1,1,2）,

m-RD=0,

BD〃平面a；

（口）由（I）得當(dāng)=（1,0,1）,故瓦方=（-1,1,-1）,

設(shè)直線與平面a所成角的為。，貝必-9=船=熹=字

解析：（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面a的法向量，再利用數(shù)量積為0即可得證;

（□）利用空間向量的夾角公式即可求解.

本題考查立體幾何中的線面平行的判定定理、線面角、用空間向量解決空間角，考查空間想象能力,

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.答案：解：(1)設(shè)直線/的方程為x=my+2p,

代入y2=2Px得y2—2pmy-4p2=0,

則4=4p2(m2+4)>0,

且y/z=-4p2,xr-x2==4P2=4,得p=1.

???拋物線C的方程為好=4x.

(2)證明：M(x3,y3),W(x4,y4).

由(1)同理可得=-p2,y2y4=~P2-

又直線i的斜率=

xi-x2yi+y2

直線MN的斜率々MN=??=;,

%3T4丫3十丫4

出+正？

...旦_丫3+丫4_>十、2_-P,

??kMNyi+y2yi+y2y，2

又因y，2=—4p2,.?保=：,

故直線l與直線MN斜率之比為定值;.

y\

B

解析：(1)設(shè)直線/的方程為％=my+2p,代入y2=2p%,得y?一2pzny-4P2=0,利用韋達(dá)定理，

求解P，推出拋物線方程.

(2)M(%3,y3)?N(%4，y4)?由(1)同理可得為丫3=-。2，y2y4=-p2,求解斜率,利用斜率比值關(guān)系，化

簡求解即可.

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是難題.

21.答案：證明：(1)連結(jié)/當(dāng)交4E于點(diǎn)G,連結(jié)FG,

AGAA1仁