2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-第二章　圓錐曲線復(fù)習(xí)提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1對圓錐曲線方程理解不到位致錯(cuò)

22

1.（多選）（2021江蘇徐州沛縣調(diào)研）若方程為+占=1所表示的曲線為C,則下面四

3—LL-1

個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若C為橢圓，則Kt<3

B.若C為雙曲線，則t〉3或

C.曲線C可能為圓

D若C為橢圓,且長軸在y軸上,則Kt<2

22

2.（2022山西大同第一中學(xué)校月考）若雙曲線E:^-凸=1的左、右焦點(diǎn)分別為

25144

F/2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF』=16,則|PFz|等于（）

A.26或6B.26C.6D.28

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略圓錐曲線的焦點(diǎn)位置致錯(cuò)

22

3.橢圓二十一=1的焦距是2,則m的值是

m4

4.（2020海南?？谒闹性驴迹佄锞€的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是坐標(biāo)軸,且它過點(diǎn)

P（-2,2或），求拋物線的方程.

易錯(cuò)點(diǎn)3混淆橢圓與雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系

22

5.（2021黑龍江哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校期中）已知雙曲線2=1（b＞。）的焦點(diǎn)與橢圓

4bz

22

^=1的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）

2516

A.4V2B.5C.3D.V5

易錯(cuò)點(diǎn)4求軌跡方程時(shí)不能正確剔除不合題意的點(diǎn)致錯(cuò)

6.如圖，圓E:（x+2T+y2=4,點(diǎn)F（2,0）,動圓P過點(diǎn)F,且與圓E內(nèi)切于點(diǎn)M,求動圓

P的圓心P的軌跡方程.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽略直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

中的特殊情況

7.（2021福建平潭新世紀(jì)學(xué)校月考）過點(diǎn)（0,1）且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)

的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.0條

8.（2020福建莆田第七中學(xué)期末）過雙曲線xc2-3^2=l的右焦點(diǎn)F作直線1,交雙曲

線于A,B兩點(diǎn),若|AB=4,則這樣的直線1有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條思想方法練

一、分類討論思想在解析幾何中的應(yīng)用

1.點(diǎn)M⑸3）到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.x2=-y

12

Bn.x2=1—y—或P*x2=-1y

1236

21

rC.x=--y

36

D.x2=12y或x2=-36y

2.（多選）（2021黑龍江省學(xué)業(yè)水平考試）已知。ER,則方程x2+3cos。-y2=l所

表示的曲線可能為（）

A.雙曲線B.拋物線

C.橢圓D.圓

二、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

3.（2020浙江麗水四校期中）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,過點(diǎn)F的

直線交1于點(diǎn)A,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為B,且襦=-2而,則1AB|=（）

A.3B.6C.9D.12

22

4.（2021湖南永州第一中學(xué)月考）已知橢圓C：S+9=1,圓A:x2+y2-3x-y+2=0,P,Q

1612

分別為橢圓C和圓A上的點(diǎn),F（-2,0）,則|PQ|+1PF|的最小值為（）

A.B.8-3V2

C.4-V2D.8-V2

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的應(yīng)用

5.已知P（x。,y。）是橢圓C:?+y2=l上的一點(diǎn),儲,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn),若

4

PK?恒〈0,則X。的取值范圍是（）

A.（普孚）B.（一竽，竽）

22

6.（2020江西宜春宜豐中學(xué)月考）設(shè)P是橢圓號+2=1（a>b>0）上一點(diǎn),FF2分別是

azbzb

橢圓的左、右焦點(diǎn)，I是△PFE的內(nèi)心,若APFFz的面積是△IFF2面積的3倍,則

該橢圓的離心率為（）

A.—B.—C.—D.-

3222

四、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

22

7.（2021四川成都樹德中學(xué)階段檢測）設(shè)FI,F2分別是橢圓C:弋+2=1（a>b>0）的左、

azbz

右焦點(diǎn)，過Fi的直線1交橢圓于A,B兩點(diǎn)，1在y軸上的截距為1,若|AF」=3|FiB|,

且AF2，x軸,則此橢圓的長軸長為（）

A.—B.3C.V6D.6

3

丫2

8.（2021江蘇南京期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C:=-

az

（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M,N在雙曲線C上,若四邊形OFMN為菱形,則雙

bz

曲線C的離心率為（）

A.V3-1B.V5-1

C.V3+1D.V5+1

c\，2

9.（2020安徽皖西南名校聯(lián)考）已知點(diǎn)P（5,0）,若雙曲線C:x2-^-=l的右支上存在

兩動點(diǎn)M,N,使得加，麗,則前?麗的最小值為

答案與分層梯度式解析

易混易錯(cuò)練

22

1.AD若t>3,則方程可變形為占-三=1,它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;若t〈l,

L-lL-3

22

則方程可變形為-4=1,它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線;若2〈t<3,則0<3-t<t-

3—t1—r

22

1,故方程三+2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;若l<t<2,則0<t-K3-t,故方程

3—tL-1

2222

三+占=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓;若t=2,則方程為+占=1即為x2+y2=l,它表示

圓.故選AD.

2.B由題知a=5知=12,c=13,

由雙曲線的定義知IIPF1HPF2IUIO,

A116-PF2||=10,解得IPF2|=6或IPF2|=26.

XV|PF2|^c-a=8,|PF2|=26,故選B.

22

總結(jié)反思⑴對于形如二+匕=1的方程，當(dāng)m,n異號時(shí)，為雙曲線方程；當(dāng)m,n均

mn

為正且不相等時(shí)，才是橢圓方程.

(2)不少同學(xué)常把y=ax2這種形式的方程看成是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而解題錯(cuò)誤,

其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)為x2=-y.

a

22

⑶在雙曲線三-4=l(a>0,b>0)中，若Fi,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲

azbz

線右支上一點(diǎn)，則|PF21^c-a,|PFi|2c+a.

3.答案3或5

解析由題意得c2=l.

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在X軸上時(shí),a2=m,b2=4,則a2-b2=m-4=l,得m=5;

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),a2=4,b2=m,則a2-b2=4-m=l,得m=3.

綜上所述,m=5或m=3.

4.解析拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸是坐標(biāo)軸，需分類討論：

⑴對稱軸是x軸，即焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0),

將點(diǎn)P(-2,2V2)的坐標(biāo)代入,得8=4p,所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x.

⑵對稱軸是y軸，即焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0),

將點(diǎn)P(-2,2V2)的坐標(biāo)代入,得4=4V2p,所以p=^,所以拋物線的方程為x2=V2y.

綜上,所求拋物線的方程為y=-4x或x2=V2y.

總結(jié)反思對于從題意中無法確定焦點(diǎn)位置的圓錐曲線問題，需要分類討論，列

出所有的情況.

5.D由題意得4+b2=25-16,.*.b2=5,b=V5,因此該雙曲線的一條漸近線方程為

y=yx,即由x-2y=0.又雙曲線的焦點(diǎn)為⑶0)和(-3,0),所以雙曲線的焦點(diǎn)到其漸

近線的距離d=-^=V5.故選D.

總結(jié)反思在橢圓中，a,b,c之間的關(guān)系式為a2=b2+c2,而在雙曲線中，a,b,c之間

的關(guān)系式為c2-a2+b2,關(guān)系式不能搞混.

6.解析由已知,得圓E的半徑為2,設(shè)圓P的半徑為r,則

|PF|=|PM|=r,|ME|=2,|PE|=|PM|-|ME|=r-2,

所以|PFHPE|=2<|EF|=4,

由雙曲線的定義知,P的軌跡為雙曲線的左支，由題意得a=l,c=2,所以b=V3,

c修2

故動圓P的圓心P的軌跡方程為x2-^-=l(x<-l).

總結(jié)反思得出軌跡方程后，我們往往缺少一個(gè)驗(yàn)證的過程，需要結(jié)合條件認(rèn)真

分析變量x,y是否有限制條件，對于不符合題意的點(diǎn)要剔除.

7.C易知過點(diǎn)(0,1)且斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個(gè)

公共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+l,與y2=4x聯(lián)立,得k2x2+(2k-4)x+l=0,

當(dāng)k=0時(shí),方程有一個(gè)解,此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)kWO時(shí),令

A=(2k-4)2-4k2=0,解得k=l,此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).所以滿足題意的

直線有3條.故選C.

8.C若l，x軸,則AB為通徑,而通徑長度空正好是4,故存在直線1交雙曲線

a

于同支上的A,B兩點(diǎn)且|AB=4,這樣的直線只有一條.若1經(jīng)過頂點(diǎn),此時(shí)IAB=2,

故存在直線1交雙曲線于異支上的A,B兩點(diǎn)且|AB|=4,這樣的直線有且只有兩條.

故滿足IAB1=4的直線1有3條故選C.

總結(jié)反思(1)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可能是相切的位置關(guān)系，也可能是

直線與拋物線的對稱軸平行或重合.

(2)不要認(rèn)為雙曲線同一支上兩點(diǎn)連接的線段才是弦，左支和右支上的點(diǎn)連接而

成的線段也是弦.

(3)在過雙曲線焦點(diǎn)的弦中，如果弦的端點(diǎn)在同一支上，則通徑最短,如果在不同

支上，則連接兩頂點(diǎn)所得的弦最短.

思想方法練

1.D將y=ax2轉(zhuǎn)化為x2=-y.

a

當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,準(zhǔn)線方程為y=-點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為|3+

；=6,所以a=±所以拋物線方程為y三x；即x2=12y;當(dāng)a<0時(shí),拋物線開口向下,

準(zhǔn)線方程為y=-&，點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為|3+^|=6,所以a一喜所以拋物線

的方程為y--x2,即x2=-36y.綜上所述,拋物線的方程為x2=12y或x2=-36y,故選

36

D.

2.ACD-Kcos9<1,

由于。金R,所以對cos。的符號和取值進(jìn)行討論,從而確定曲線表示的圖形.

當(dāng)cos9=o時(shí),方程化為x=±1,表示兩條直線；當(dāng)0<cos90時(shí),方程化為

x?+呈=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)cos。1時(shí),方程化為x2+y2=l,表示圓；

3cos6

當(dāng)3cos。W1時(shí),方程化為x2+-^—=1,表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；當(dāng)TWcos

3cos6

c曾2

。<0時(shí),方程化為x2-^-=l,表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線.故選ACD.

3cos6

思想方法在解答圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)用圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)以及與

直線的位置關(guān)系解題會遇到多種可能情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求

解，然后綜合歸納得出問題的正確答案.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也

是一種重要的解題方法，分類時(shí)要做到不重復(fù)，不遺漏.

3.C拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F(l,0)和準(zhǔn)線1:x=-1,作圖如下：

由何=-2而，可得[FA|：|AB|=2：3,過B作BC4于C,設(shè)1與x軸交于D,則

|FD：|BC|=2：3,

結(jié)合圖形可發(fā)現(xiàn)三角形ADF與三角形ACB相似,則有對應(yīng)線段成比例.

因?yàn)閨FD|=2,所以|BC|=3,[FB|=3,|AB|=3|FB|=9,故選C.

4.D圓A:x2+y-3x-y+2=0可化為［-|)+(y-02=|.作出橢圓C與圓A如圖,F(-

2,0)為橢圓C的左焦點(diǎn),設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'(2,0),由橢圓的定義知

PFl+lPF)|=8,則|PQ|+|PF|=|PQ|+8-|PF'|=8-(|PF'HPQl),

結(jié)合圖形及橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解.

圓A過點(diǎn)F',要使|PQ|+|PF|最小，則|PF'HPQI最大，而|PF'HPQI最大為圓A

的直徑，即近.JIPQ|+1PF|的最小值為8-V2.故選D.

思想方法數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線中主要體現(xiàn)為：(1)以數(shù)研形，通過建立坐標(biāo)

系將數(shù)與形結(jié)合起來，如解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用二次方程的判別式判別直線

與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等；(2)以形助數(shù)，直接使用圖形的幾何性質(zhì)解題.

5.A巨瓦?布〈0可轉(zhuǎn)化為NF1PF2為鈍角.

如圖，設(shè)以。為原點(diǎn),半焦距c=g為半徑的圓x2+y2=3與橢圓交于A,B兩點(diǎn).由

2

%+y2=3,r-____________

.得x=±任，要使所?電＜0,即NFFF2為鈍角，那么點(diǎn)P在A,B之

匕+y=i，3

間，

6.D設(shè)△PFR內(nèi)切圓的半徑為r,

則1PFJ+1PF21+1FEI)?r=(a+c)?r,將大三角

形面積轉(zhuǎn)化為三個(gè)小三角形面積之和.

又S/X/FIF?—/FEI,r-c,r,二小尸也一3$加尸1尸2,

.??cl

??a+c=3c,??a=2c,??e二一二一,

a2

思想方法轉(zhuǎn)化與化歸是一種很有效的數(shù)學(xué)思維方式，在解析幾何中，求直線與

圓錐曲線相交的有關(guān)問題時(shí)，若要證明線段相等或求弦長，則直接求交點(diǎn)，再求長

度，這樣計(jì)算一般較復(fù)雜.此時(shí)，若能進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，便可簡化運(yùn)算.

7.DAF2，x軸，1在y軸上的截距為1,則A(c,2),又|AF1]=3|F1B]??.由相似三角

形可得B(-|c,-|),將A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,構(gòu)建關(guān)于a,b,c的方程組，

求a,b,c的值.

得栓:解得已6,

V9a29b2f

又|AF21=—=2,/.2a=6.故選D.

a

8.C由題意可知|OF|=c,由四邊形OFMN為菱形,可得|MN|=|OF|=c,設(shè)點(diǎn)M在F