北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題16難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題(原卷版+解析)(3大動(dòng)態(tài))

專題16難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題】 1【考點(diǎn)二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題】 7【考點(diǎn)三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題】 13【典型例題】【考點(diǎn)一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題】例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)___________秒時(shí)，和全等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，與全等．2．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖,在中,．點(diǎn)在直線上,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),分別過點(diǎn)和作直線于直線于．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為___________秒時(shí),與全等．3．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2cm的速度從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1cm的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求證：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，當(dāng)t取何值時(shí)，△DEP與△DFQ全等．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且，求此時(shí)t的值；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得APB與BQC全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．【考點(diǎn)二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊中，是的平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為__________．2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)B為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)D為射線上的動(dòng)點(diǎn)，，且，與所在的直線交于點(diǎn)P，若，則_____．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段長(zhǎng)度的最小值是______．【考點(diǎn)三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題】例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）如圖，在中，．點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若，直接寫出的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰直角三角形ABC中，，，P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AP右側(cè)作等腰直角三角形PAD，使，連接CD．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BP和CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．2．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（不和重合），于，交直線于．(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，①證明：；②證明：；(2)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探索這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，畫出圖形并證明你的結(jié)論．3．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)泉州七中校考期中）如圖，中，，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作且．(1)①如圖1，過F點(diǎn)作交AC于D點(diǎn)，求證：；②如圖2，在①的條件下，連接BF交AC于G點(diǎn)，若E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，求證：；(2)當(dāng)直線BF與直線AC交于G點(diǎn)，若，請(qǐng)求出的值．專題16難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題】 1【考點(diǎn)二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題】 7【考點(diǎn)三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題】 13【典型例題】【考點(diǎn)一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題】例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)___________秒時(shí)，和全等．【答案】2或14##14或2【分析】分三種情況：點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，不是直角三角形，∴和全等不可能成立，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：2或14．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵是選擇合適的方法證明三角形全等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·景山中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，，垂足為，cm，cm，射線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，與全等．【答案】0或2或4或6【解析】【分析】根據(jù)題意可分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意得：CP=2tcm，①當(dāng)t=0時(shí)，即點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，滿足△ACB≌△NBP，②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm，∵，∴，∵CP=2tcm，∴，即，解得：；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm，則，∴，即，解得：；④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足BC=BP=6cm，則，∴，即，解得：；綜上所述：當(dāng)或0或4或6秒時(shí)，與全等．故答案為0或2或4或6．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖,在中,．點(diǎn)在直線上,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),分別過點(diǎn)和作直線于直線于．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為___________秒時(shí),與全等．【答案】2或6##6或2【分析】對(duì)點(diǎn)P和點(diǎn)Q是否重合進(jìn)行分類討論，通過證明全等即可得到結(jié)果；【詳解】解：如圖1所示：與全等，，，解得∶；如圖2所示：點(diǎn)與點(diǎn)重合，與全等，，解得∶；故答案為∶或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2cm的速度從A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1cm的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求證：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，當(dāng)t取何值時(shí)，△DEP與△DFQ全等．【答案】（1）見解析；（2）t=4或【分析】（1）利用直接證明△AED≌△AFD即可；（2）先求解再分三種情況討論，①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在線段AE上，點(diǎn)Q在線段CF上，②當(dāng)5≤t＜6時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，點(diǎn)Q在線段CF上，③當(dāng)6≤t＜12時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，點(diǎn)Q在線段AF上，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等建立方程，解方程即可得到答案.【詳解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠BAD=∠CAD，AD=AD．∴△AED≌△AFD(AAS)．（2）∵△AED≌△AFD∴DE=DF，AF=AE=10．∴CF=6若△DEP與△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，∴EP=FQ，①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在線段AE上，點(diǎn)Q在線段CF上，∴EP=10﹣2t，F(xiàn)Q=6﹣t∴10﹣2t＝6﹣t，∴t=4；②當(dāng)5≤t＜6時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，點(diǎn)Q在線段CF上，∴EP=2t-10，F(xiàn)Q=6﹣t∴2t-10=6﹣t，∴t=

③當(dāng)6≤t＜12時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，點(diǎn)Q在線段AF上，∴EP=2t-10，F(xiàn)Q=t﹣6∴2t-10=t-6，∴t=4（不合題意，舍去）．綜上所述，當(dāng)t=4或時(shí)，△DEP與△DFQ全等．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，動(dòng)態(tài)三角形全等問題，清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且，求此時(shí)t的值；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得APB與BQC全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，或【分析】（1）①先證Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分線的定義得∠BAM＝∠BAC，等量代換即可證明；（2）①作BH⊥AM，垂足為M．先證△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，結(jié)合P，Q運(yùn)動(dòng)方向及速度即可求解；②分“點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上”，以及“點(diǎn)P沿射線AM反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長(zhǎng)線上”兩種情況討論，利用三角形全等得出AP與CQ的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD⊥AC，∴，在Rt△BDA和Rt△BDC中，∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下圖所示，作BH⊥AM，垂足為M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝S△BQC，∴，∴，∴，∴．②存在，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，如下圖所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P沿射線AM反向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AC延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴當(dāng)AP＝CQ時(shí)，△APB≌△CQB，∴，∴．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△APB和△CQB全等．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法，并注意分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題】例題：（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【分析】在上取一點(diǎn)，使，連接，判斷出，得出，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)C，E，在同一條線上，且時(shí)，最小，即最小，其值為，最后用面積法，即可求出答案．【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，平分，，，∴，，，∴當(dāng)點(diǎn)C，E，在同一條線上，且時(shí)，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，三角形的面積公式，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊中，是的平分線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為__________．【答案】60°##60度【分析】由題意可知點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，連接AE交BD于點(diǎn)P，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，PA＝PC，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，AE即為PE+PC的最小值，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠EPB＝60°，再通過△BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，BD是∠ABC的平分線，∴點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，BD⊥AC，∴點(diǎn)A、點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱，如圖，連接AE，交BD于P，線段AE的長(zhǎng)即為PE+PC最小值，∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠PBE＝30°，∴∠BPE＝60°，∵在△BPE和△CPE中，，∴△BPE≌△CPE（SAS），∴∠EPC＝∠BPE＝60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)B為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，以為邊作等邊，以為底邊作等腰三角形，則的最小值為______．【答案】2【分析】連接，證明，得，從而點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，再利用垂線段最短解決問題．【詳解】解：連接,∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，證明點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在等腰中，，點(diǎn)D為射線上的動(dòng)點(diǎn)，，且，與所在的直線交于點(diǎn)P，若，則_____．【答案】【分析】作，交的延長(zhǎng)線于H，利用證明，得，，再證明，得，從而解決問題．【詳解】解：作，交的延長(zhǎng)線于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，設(shè)，則，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．4．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為9的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段長(zhǎng)度的最小值是______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可以證明，可得，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，即最短，由直角三角形的性質(zhì)可求得線段長(zhǎng)度的最小值．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)G，連接，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是等邊三角形，∴，即，∴，∵是等邊三角形的高，∴，∴，又∵旋轉(zhuǎn)到，∴，在和中，，∴（），∴，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，即最短，此時(shí)，∴，∴，∴．∴線段長(zhǎng)度的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【考點(diǎn)三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題】例題：（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期末）如圖，在中，．點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A，E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若，直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】(1)CE+CD=BC，證明見解析(2)CE=BC+CD，證明見解析(3)CE=4【解析】【分析】（1）根據(jù)條件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到CE+CD=BC；（2）根據(jù)已知條件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根據(jù)BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；（3）根據(jù)條件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可解決問題．(1)解：如圖1，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BC=BD+CD=CE+CD，(2)線段BC，CD與CE之間存在的數(shù)量關(guān)系為BC=CE-CD．理由：如圖2中，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴BD=BC+CD，即CE=BC+CD．(3)如圖3，由（1）同理可得，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠EAC，同理，△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵CD=10，BC=6，∴DB=DC-BC=4，∴CE=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西新余·八年級(jí)校考階段練習(xí)）等腰直角三角形ABC中，，，P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AP右側(cè)作等腰直角三角形PAD，使，連接CD．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BP和CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，用SAS即可進(jìn)行證明；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵在等腰直角三角形BAC與等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD與△BAP中，∴．（2）∵在等腰直角三角形BAC與等腰直角三角形PAD中，·∴，∴在△CAD與△BAP中，∴，∴，∠PBA=∠DCA，∵∠PBA+∠BCA=90°，∴∠DCA+