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第3章圓的基本性質(zhì)3.3垂徑定理(7大題型)分層練習(xí)考查題型一垂徑定理的概念1.(2023春·黑龍江大慶·九年級大慶外國語學(xué)校??茧A段練習(xí))下列命題是假命題的是()A.平行四邊形的對角線互相平分 B.平分弦的直徑垂直于弦C.垂直于弦的直徑平分這條弦 D.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形2.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))下列幾個命題:①圓是軸對稱圖形;②垂直于弦的直徑平分這條弦;③平分弦的直徑垂直于這條弦;④三點確定一個圓.其中是真命題的是(
)A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④3.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))請完善本課時的知識結(jié)構(gòu).垂徑定理(1)定理:如果圓的一條直徑垂直于一條弦,那么這條直徑,并且.∵是直徑,,垂足為點,∴,∴.
4.(2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末)用準(zhǔn)確的文字語言描述“垂徑定理”:垂直于弦的直徑平分.5.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))如圖,的兩條弦(AB不是直徑),點E為AB中點,連接EC,ED.(1)直線EO與AB垂直嗎?請說明理由;(2)求證:.考查題型二垂徑定理的推論1.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))下列說法中正確的個數(shù)有()①平分弦的直徑一定垂直于弦;②圓是軸對稱圖形,每一條直徑都是對稱軸;③直徑是弦;④長度相等的弧是等弧A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))下列語句中不正確的有()
①長度相等的弧是等??;②垂直于弦的直徑平分弦;③圓是軸對稱圖形,任何一條直徑都是它的對稱軸;④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的??;⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.A.5個 B.4個 C.3個 D.2個3.(2023春·九年級課時練習(xí))垂徑定理推論:平分弦(不是直徑)的直徑,并且平分弦所對的.4.(2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B,C都在格點上,過A,B,C三點作一圓弧,則圓心的坐標(biāo)是.5.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))如圖,已知在半圓中,,,,求的長.考查題型三利用垂徑定理求值1.(2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末)如圖,的半徑為5,弦,,垂足為點P,則CP的長等于(
)
A.2 B.2.5 C.3 D.42.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))已知的半徑為5,是的弦,點P在弦上,若,則()A. B. C. D.3.(2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末)已知的直徑為,圓心O到弦AB的距離為,則.4.(2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末)如圖,是的直徑,弦,垂足為,連接,若,,則弦的長為.
5.(2023·江蘇·九年級假期作業(yè))如圖,是的一條弦,點是的中點,連接并延長交劣弧于點,連接,.若,,求的面積.考查題型四利用垂徑定理求平行弦問題1、(2021春·九年級課時練習(xí))如圖,A,B,C,D是⊙O上的四個點,AD∥BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是()A.弧AB=弧CD B.弧AB>弧CD C.弧AB<弧CD D.無法確定2.(2022春·九年級課時練習(xí))如圖,點,,,在圓上,弦和交于點,則下列說法正確的是()A.若平分,則 B.若,則平分C.若垂直平分,則圓心在上 D.若圓心在上,則垂直平分3.(2023·全國·九年級專題練習(xí))在半徑為10的中,弦,弦,且,則與之間的距離是.4.(2022·九年級單元測試)設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦,ABCD.若⊙O的半徑為13,AB=24,CD=10,則AB與CD之間的距離為.5.(2021春·九年級課時練習(xí))如圖,已知⊙O的半徑長為R=5,弦AB與弦CD平行,它們之間距離為5,AB=6,求弦CD的長.考查題型五利用垂徑定理求同心圓問題1.(2023春·九年級課時練習(xí))已知△ABC的邊BC=,且△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O,則∠A的度數(shù)是()A.60° B.120° C.60°或120° D.90°2.(2022春·九年級課時練習(xí))將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如圖所示,已知水杯內(nèi)徑(圖中小圓的直徑)是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水面AB的寬度是()cm.A.6 B. C. D.3.(2021·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題)如圖,在⊙O中,弦的長為4,圓心到弦的距離為2,則的度數(shù)為.4.(2022浙江杭州·九年級)如圖,兩個同心圓的半徑分別為2和4,矩形的邊和分別是兩圓的弦,則矩形面積的最大值是.5.(2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí))如圖,在兩個同心圓中,大圓的弦與小圓相交于C,D兩點.(1)求證:.(2)若,大圓的半徑,求小圓的半徑r.考查題型六利用垂徑定理求解其他問題1.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖所示,一圓弧過方格的格點,試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系,使點的坐標(biāo)為,則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是()
A. B. C. D.2.(2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題)如圖,是銳角三角形的外接圓,,垂足分別為,連接.若的周長為21,則的長為(
)
A.8 B.4 C.3.5 D.33.(2022·浙江·九年級專題練習(xí))如圖所示一個圓柱體容器內(nèi)裝入一些水,截面AB在圓心O下方,若⊙O的直徑為60cm,水面寬AB=48cm,則水的最大深度為cm.4.(2022春·九年級課時練習(xí))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,4),(5,4),(1,﹣2),則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是.5.(2022秋·江西南昌·九年級深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,中,,,,以為半徑的交于D,求的長.考查題型七垂徑定理的實際應(yīng)用1.(2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí))小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了(如圖),其中四塊碎片如圖所示,為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子,小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是(
)
A.① B.② C.③ D.④2.(2022秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中)如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時的畫面,“圖上”太陽與海平線交于,兩點,他測得“圖上”圓的半徑為10厘米,厘米.若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為16分鐘,則“圖上”太陽升起的速度為(
)
A.厘米/分 B.厘米/分 C.厘米/分 D.厘米/分3.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問:徑幾何?”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是:如圖,是的直徑,弦,垂足為E,寸,寸.則直徑的長為寸.
4.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))課堂上,師生一起探究用圓柱形管子的內(nèi)徑去測量球的半徑.嘉嘉經(jīng)過思考找到了測量方法:如圖,把球置于圓柱形玻璃瓶上,測得瓶高,底面內(nèi)徑,球的最高點到瓶底的距離為,則球的半徑為.
5.(2022秋·山東臨沂·九年級臨沂第九中學(xué)??计谥校┩曹囀俏覈糯l(fā)明的一種水利灌溉工具,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理,如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖2,已知圓心O在水面上方,且⊙O被水面截得的弦為6米,⊙O半徑長為4米.若點C為運行軌道的最低點,求點C到弦所在直線的距離.1.(2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模)如圖,是的直徑,是弦,于點,則下列結(jié)論中不成立的是(
)
A. B. C. D.2.(2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí))如圖,是的直徑,是的弦,且,垂足為,連接.若,,則的長為()
A.10 B.5 C. D.3.(2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí))如圖,的弦垂直于,點為垂足,連接.若,,則的值是()
A. B. C. D.4.(2023·陜西·統(tǒng)考中考真題)陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長,“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個“老碗”(圖①)的形狀示意圖.是的一部分,是的中點,連接,與弦交于點,連接,.已知cm,碗深,則的半徑為(
)
A.13cm B.16cm C.17cm D.26cm5.(2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題)如圖,是的外接圓,弦交于點E,,,過點O作于點F,延長交于點G,若,,則的長為(
)
A. B.7 C.8 D.6.(2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末)如圖,是的直徑,弦于點,,,則.
7.(2023秋·河北張家口·九年級張家口東方中學(xué)校考期末)如圖,的半徑為6cm,是弦,于點C,將劣弧沿弦折疊,交于點D,若D是的中點,則的長為.
8.(2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模)如圖,的半徑是,是的內(nèi)接三角形,過圓心分別作,,的垂線,垂足為,,,連接.若,則.9.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖,已知是⊙O的內(nèi)接三角形,⊙O的半徑為2,將劣?。ㄌ摼€)沿弦折疊后交弦于點D,連接.若,則線段的長為.
10.(2023·廣東東莞·虎門五中校聯(lián)考一模)如圖,是直徑,點C在上,垂足為D,點E是上動點(不與C重合),點F為的中點,若,,則的最大值為.11.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦交小圓于C、D兩點,若,.
(1)求的長;(2)若大圓半徑為,求小圓的半徑.12.(2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模)已知:如圖,是的直徑,點C在上,請用無刻度直尺畫圖(保留作圖痕跡,不寫畫法).
(1)如圖①,若M是半圓的中點,且與C點在同側(cè),畫出的平分線.并說明理由;(2)如圖②,若,畫出的平分線.13.(2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末)“筒車”是一種以水流作動力,取水灌田的工具.如圖,“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓,已知圓心O始終在水面上方.且當(dāng)圓被水面截得的弦為6米時,水面下盛水筒的最大深度為1米(即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離).
(1)求該圓的半徑;(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時,則水面下盛水筒的最大深度為多少米?14.(2023春·吉林松原·八年級??茧A段練習(xí))如圖,有兩條公路相交成角,沿公路方向離點160米處有一所學(xué)校,當(dāng)重型運輸卡車沿道路方向行駛時,在以為圓心,100米為半徑的圓形區(qū)域
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