三角函數(shù)公式的推導(dǎo)及公式大全-文檔

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·誘導(dǎo)公式記憶口訣

·同角三角函數(shù)基本關(guān)系

·同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

·兩角和差公式

·倍角公式

·半角公式

·萬(wàn)能公式

·萬(wàn)能公式推導(dǎo)

·三倍角公式

·三倍角公式推導(dǎo)

·三倍角公式聯(lián)想記憶

·和差化積公式

·積化和差公式

·和差化積公式推導(dǎo)

誘導(dǎo)公式

★誘導(dǎo)公式★

常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：

公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈z)\o"返回頁(yè)首"誘導(dǎo)公式記憶口訣

※規(guī)律總結(jié)※

上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：

對(duì)于k·π/2±α(k∈z)的個(gè)三角函數(shù)值，

①當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變；

②當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇變偶不變）

然后在前面加上把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。

（符號(hào)看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4為偶數(shù)，所以取sinα。

當(dāng)α是銳角時(shí)，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號(hào)為“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的記憶口訣是：

奇變偶不變，符號(hào)看象限。

公式右邊的符號(hào)為把α視為銳角時(shí)，角k·360°+α（k∈z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶

水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。

各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦；三為切；四余弦”．

這十二字口訣的意思就是說(shuō)：

第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“＋”；

第二象限內(nèi)只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限內(nèi)切函數(shù)是“＋”，弦函數(shù)是“－”；

第四象限內(nèi)只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

其他三角函數(shù)知識(shí)：\o"返回頁(yè)首"同角三角函數(shù)基本關(guān)系

⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1

商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)\o"返回頁(yè)首"同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接）

構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。

（1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；

（2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。

（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。\o"返回頁(yè)首"兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ\o"返回頁(yè)首"倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)\o"返回頁(yè)首"半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα\o"返回頁(yè)首"萬(wàn)能公式

⒌萬(wàn)能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)\o"返回頁(yè)首"萬(wàn)能公式推導(dǎo)

附推導(dǎo)：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))*，

（因?yàn)閏os^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。\o"返回頁(yè)首"三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)\o"返回頁(yè)首"三倍角公式推導(dǎo)

附推導(dǎo)：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα\o"返回頁(yè)首"三倍角公式聯(lián)想記憶

記憶方法：諧音、聯(lián)想

正弦三倍角：3元減4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角減3元（減完之后還有“余”）

☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。\o"返回頁(yè)首"和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式

α＋β

α－β

sinα＋sinβ＝2sin—·cos—

2

2

α＋β

α－β

sinα－sinβ＝2cos—·sin—

2

2

α＋β

α－β

cosα＋cosβ＝2cos—·cos—

2

2

α＋β

α－β

cosα－cosβ＝－2sin—·sin—

2

2\o"返回頁(yè)首"積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]\o"返回頁(yè)首"和差化積公式推導(dǎo)

附推導(dǎo)：

首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式.我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)利用變角思想.

A=(A+B)/2+(A-B)/2B=(A+B)/2-(A-B)/2

sinA+sinB=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]

=sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]+sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]

=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]

其它的同理可得回答：2008-09-2115:32提問(wèn)者對(duì)答案的評(píng)價(jià)：其他回答共1條回答評(píng)論┆舉報(bào)

SBB55

[學(xué)長(zhǎng)]sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb兩式求和得

sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式從右往左即為積化和差

令a+b=x.a-b=y,則a=(x+y)/2,b=(x-y)/2得

sinx+siny=1/2*[sin(x+y)/2cos(x-y)/2]這就是和差化積

仿此可得其余6個(gè)公式三角函數(shù)相關(guān)公式大全關(guān)鍵詞：三角公式

三角函數(shù)

最近復(fù)習(xí)微積分,幾個(gè)三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換弄得我暈頭轉(zhuǎn)向,本來(lái)高中的時(shí)候就沒(méi)記熟,現(xiàn)在又得記一遍了=.=好郁悶,進(jìn)度太慢了...1三角函數(shù)的定義1.1三角形中的定義

圖1在直角三角形中定義三角函數(shù)的示意圖

在直角三角形ABC，如下定義六個(gè)三角函數(shù)：正弦函數(shù)

余弦函數(shù)

正切函數(shù)

余切函數(shù)

正割函數(shù)

余割函數(shù)

1.2直角坐標(biāo)系中的定義

圖2在直角坐標(biāo)系中定義三角函數(shù)示意圖

在直角坐標(biāo)系中，如下定義六個(gè)三角函數(shù)：正弦函數(shù)

余弦函數(shù)

正切函數(shù)

余切函數(shù)

正割函數(shù)

余割函數(shù)

2轉(zhuǎn)化關(guān)系2.1倒數(shù)關(guān)系2.2平方關(guān)系2和角公式

3倍角公式、半角公式3.1倍角公式3.2半角公式3.3萬(wàn)能公式4積化和差、和差化積4.1積化和差公式4.2和差化積公式

三角函數(shù)公式大全三角函數(shù)1.=1\*GB3①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：=2\*GB3②終邊在x軸上的角的集合：=3\*GB3③終邊在y軸上的角的集合：=4\*GB3④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：=5\*GB3⑤終邊在y=x軸上的角的集合：=6\*GB3⑥終邊在軸上的角的集合：=7\*GB3⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：=8\*GB3⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：=9\*GB3⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：=10\*GB3⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ．1°＝≈0.01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：.扇形面積公式：4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任取（異于原點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則；；；；；..5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函數(shù)線正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.7.三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù)定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：9、誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組二公式組三公式組四公式組五公式組六（二）角與角之間的互換公式組一公式組二公式組三公式組四公式組五,,,.10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：（A、＞0）定義域RRR值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）注意：=1\*GB3①與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.=2\*GB3②與的周期是.=3\*GB3③或（）的周期.的周期為2（，如圖，翻折無(wú)效）.=4\*GB3④的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱軸方程是（），對(duì)稱中心（）；的對(duì)稱中心（）.=5\*GB3⑤當(dāng)·；·.=6\*GB3⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則.=7\*GB3⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（×）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].=8\*GB3⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）=9\*GB3⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：.=10\*GB3⑩有.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來(lái)的倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：α=（α+β）－β，β=－等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例1．已知，求（1）；（2）的值.解：（1）；(2).說(shuō)明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。例2．求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的值域?yàn)?。?．已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。解：(1)所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，因?yàn)?，，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。例4．已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說(shuō)明：本題是2000年全國(guó)高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin(ωx+)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx≠0時(shí)，y=+1=+1化簡(jiǎn)得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：≤y≤∴ymax=，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}例5．已知函數(shù)（Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.解：（Ⅰ）由=0即即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域?yàn)?綜上所述，，值域?yàn)?說(shuō)明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決函數(shù)值域的問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。例6．在中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。三角函數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1．已知點(diǎn)P（tanα，cosα）在第三象限，則角α的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．集合M＝{x|x＝eq\f(kπ,2)±eq\f(π,4)，k∈Z}與N＝{x|x＝eq\f(kπ,4)，k∈Z}之間的關(guān)系是（）A.MN B.NMC.M＝N D.M∩N＝3．若將分針撥慢十分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度是（）A.60° B.－60°C.30° D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是()A.（1）（2） B.（2）（3）C.（1）（3） D.（2）（4）5．設(shè)a＜0，角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（）A.eq\f(2,5) B.－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D.－eq\f(1,5)6．若cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)π＜α＜2π，則sin(2π－α)等于（）A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.±eq\f(\r(3),2)7．若α是第四象限角，則π－α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角8．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）A.2 B.eq\f(2,sin1)C.2sin1 D.sin29．如果sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，且0＜x＜π，那么cotx的值是（）A.－eq\f(4,3) B.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)C.－eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)10．若實(shí)數(shù)x滿足log2x＝2＋sinθ，則|x＋1|＋|x－10|的值等于（）A.2x－9 B.9－2xC.11 D.9二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)11．tan300°＋cot765°的值是_____________.12．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，則sinαcosα的值是_____________.13．不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集為_____________.14．若θ滿足cosθ＞－eq\f(1,2)，則角θ的取值集合是_____________.15．若cos130°＝a，則tan50°＝_____________.－16．已知f(x)＝eq\r(eq\f(1－x,1＋x))，若α∈(eq\f(π,2)，π)，則f(cosα)＋f(－cosα)可化簡(jiǎn)為___________.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（本小題滿分12分）設(shè)一扇形的周長(zhǎng)為C(C＞0)，當(dāng)扇形中心角為多大時(shí)，它有最大面積？最大面積是多少？18．(本小題滿分14分）設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P（x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，求sinα與tanα的值.19．(本小題滿分14分)已知eq\f(π,2)≤θ≤π，sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，求m的值.20．(本小題滿分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3－eq\f(3,2)lg2，求cos3α－sin3α的值.21．(本小題滿分15分)已知sin(5π－α)＝eq\r(2)cos(eq\f(7,2)π＋β)和eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.三角函數(shù)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1．下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是（）A.y＝sin2x B.y＝coseq\f(x,2)C.y＝sin2x＋cos2x D.y＝eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)2．設(shè)函數(shù)y＝cos(sinx)，則（）A.它的定義域是［－1，1］B.它是偶函數(shù)C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函數(shù)3．把函數(shù)y＝cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，然后把圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為（）A.y＝2sin2x B.y＝－2sin2xC.y＝2cos(2x＋eq\f(π,4)) D.y＝2cos(eq\f(x,2)＋eq\f(π,4))4．函數(shù)y＝2sin(3x－eq\f(π,4))圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是（）A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.π D.eq\f(4π,3)5．若sinα＋cosα＝m，且－eq\r(2)≤m＜－1，則α角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．函數(shù)y＝|cotx|·sinx（0＜x≤eq\f(3π,2)且x≠π）的圖象是（）7．設(shè)y＝eq\f(cos2x,1＋sinx)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但無(wú)最小值C.y有最小值但無(wú)最大值D.y既無(wú)最大值又無(wú)最小值8．函數(shù)y＝sin（eq\f(π,4)－2x)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.［kπ－eq\f(3π,8)，kπ＋eq\f(π,8)］(k∈Z)B.［kπ＋eq\f(π,8)，kπ＋eq\f(5π,8)］(k∈Z)