重慶市主城區(qū)2024屆高三下學(xué)期第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題

高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第二次）數(shù)學(xué)試卷本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（）1.設(shè)集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的值為（）A.20 B.512 C.1024 D.20484.民間娛樂(lè)健身工具陀螺起源于我國(guó)，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時(shí)代遺址中發(fā)現(xiàn).如圖，是一個(gè)陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積為（）A. B. C. D.5.過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交該拋物線于點(diǎn)，，已知點(diǎn)在第一象限，過(guò)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.6.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率為（）A. B. C. D.7.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，.則的值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域是，對(duì)任意的，，，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.若，則的最小值為11.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于于點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率為2B.當(dāng)時(shí)，面積為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為D.若，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是直線上任意一點(diǎn)，則______.13.有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）14.若函數(shù)在定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”.設(shè)，若是的一個(gè)“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的值為______；若為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過(guò)棱的中點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.（I）證明：；（II）若，求平面與平面所成角的正弦值.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（II）設(shè)函數(shù)的極大值為，求證：.17.（本小題滿分15分）某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下：選手依次參加第一、二、三關(guān)，每關(guān)闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為200元、400元、600元，獎(jiǎng)金可累加；若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)；若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手甲參加該闖關(guān)游戲，已知選手甲第一、二、三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，每一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.（I）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；（II）設(shè)選手甲所得總獎(jiǎng)金為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，兩焦點(diǎn)，與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，點(diǎn)在橢圓上.（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).①設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，求的最大值；②設(shè)，，證明：為定值.19.（本小題滿分17分）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其