圓的一般方程

關(guān)于圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo):

1．討論并掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)，并能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑

2．通過(guò)對(duì)圓的一般方程的特點(diǎn)的討論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；通過(guò)例題的分析講解，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力．第2頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天

教學(xué)重點(diǎn):

圓的一般方程的探求過(guò)程及其特點(diǎn)是教學(xué)。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)具體條件選用圓的方程。第3頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天

教學(xué)過(guò)程

一、復(fù)習(xí)引入師：請(qǐng)大家說(shuō)出圓心在點(diǎn)(a，b)，且半徑是r的圓的方程？生：(x－a)2+(y－b)2=r2．師：以前學(xué)習(xí)過(guò)直線，直線方程有哪幾種？生：直線方程有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式．第4頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天師：直線方程的一般式是Ax+By+C=0嗎？生A：是的．生B：缺少條件A2+B3≠0．師：好！那么圓的方程有沒(méi)有類似“直線方程的一般式”那樣的“一般方程”呢？第5頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、新課請(qǐng)思考：圓是否有一般方程？這是個(gè)未解決的問(wèn)題，我們來(lái)探求一下．大家知道，我們認(rèn)識(shí)一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過(guò)把特殊的公式(點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式……)展開(kāi)整理而得到的．想求圓的一般方程，怎么辦？其實(shí)我們可仿照直線方程試一試！把標(biāo)準(zhǔn)形式展開(kāi)，整理得第6頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．若令，D=－2a，E=－2b，F(xiàn)=a2+b2－r2，則有：x2+y2+Dx+Ey+F=0．(*)從(*)式的得來(lái)過(guò)程可知，只要是圓的方程就可以寫(xiě)成(*)的形式．那么能否下結(jié)論：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的方程呢？第7頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天不一定．還得考慮：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式．就像直線方程一樣，要有一定條件那么考慮考慮怎樣去尋找條件呢？——配方請(qǐng)大家動(dòng)手做，看看能否配成標(biāo)準(zhǔn)形式？第8頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天將（*）式配方得:(△)比較(△)式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知：(*)式示1.當(dāng)D2+E2－4F＞0時(shí)，第9頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.當(dāng)D2+E2－4F＞0時(shí)，（*）式只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即（*）式表示一個(gè)點(diǎn)（-,-）。3．當(dāng)D2+E2－4F＜0時(shí)，(*)式?jīng)]有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．第10頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天教師總結(jié)：當(dāng)D2+E2－4F＞0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圓的一般方程．師：圓的一般方程有什么特點(diǎn)？生A：是關(guān)于x、y的二元二次方程．師：剛才生A的說(shuō)法對(duì)嗎？生B：不全對(duì)．它是關(guān)于x、y的特殊的二元二次方程．師：特殊在什么地方？第11頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天師:1．x2，y2系數(shù)相同，且不等于零．

2．沒(méi)有xy這樣的二次項(xiàng)．

生：必要條件．

師：還缺什么？生：D2+E2－4F＞0．(追問(wèn))：這兩個(gè)條件是“方程表示圓”的什么條件？第12頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程我們知道：標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征明顯——能看出圓心、半徑；而一般方程的優(yōu)點(diǎn)是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程，給一般方程配方我們便能找出它所表示的圓的圓心和半徑。三、應(yīng)用舉例因此，兩種形式的方程各有特點(diǎn)，我們應(yīng)對(duì)具體情況作具體分析、選擇．第13頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例：一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(－4，0)和(4，0)，求它的外接圓方程？解：法一、設(shè)出一般方程，用待定系數(shù)法．(由三角形性質(zhì)知：頂點(diǎn)為(0，5))

法二設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)式x2+(yb)2=r2．(由三角形性質(zhì)知：頂點(diǎn)為(0，5)，且圓心在y軸上)

兩種方法都很簡(jiǎn)單同學(xué)們自己進(jìn)行求解。第14頁(yè),共16頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意一般式的特點(diǎn)：1°x2，y2系數(shù)相等且不為零；2°沒(méi)有xy這樣的項(xiàng)；3°D2