向量組的線性組合

關(guān)于向量組的線性組合(一)、向量組的線性組合1。向量組：2。向量組的線性組合與線性表示定義1

對于向量組a1，a2，

，am

，如果有一組數(shù)k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，則稱向量b是向量組a1，a2，

，am的一個線性組合，或稱b可由向量組a1，a2，

，am線性表示。定義：若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．第2頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1．設(shè)a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，則∴b=(2,-1,1)是向量組a1，a2，a3的一個線性組合，也就是b可由a1，a2，a3線性表示?！遙=2a1-a2+a3=2(1,0,0)-(0,1,0)

(0,0,1)=(2,-1,1)，定義1對于向量組a1，a2，

，am

，如果有一組數(shù)k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，則稱向量b是向量組a1，a2，

，am的一個線性組合，或稱b可由向量組a1，a2，

，am線性表示。。下頁注意：（1）向量組a1，a2，a3的線性組合有無窮多個（2）一個向量b有可能可由向量組a1，a2，a3的線性表示；也有可能不能由向量組a1，a2，a3的線性表示。第3頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

例2．任何一個n維向量a=(a1,a2,

,an)T都是n維向量組e1=(1,0,

,0)T，e2=(0,1,

,0)T，

，en=(0,0,

,1)T的線性組合。這是因為a=a1e1

a2e2

an

en。向量組e1，e2，

，en稱為n維單位向量組或n維基本向量組下頁定義1對于向量組a1，a2，

，am

，如果有一組數(shù)k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，則稱向量b是向量組a1，a2，

，am的一個線性組合，或稱b可由向量組a1，a2，

，am線性表示。結(jié)論：任何一個n維向量a=(a1,a2,

,an)都可由n維單位向量組或n維基本向量組線性表示第4頁,共29頁，2024年2月25日，星期天5例：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有第5頁,共29頁，2024年2月25日，星期天6n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．第6頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例3．零向量是任何一組向量的線性組合。下頁定義1對于向量組a1，a2，

，am

，如果有一組數(shù)k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，則稱向量b是向量組a1，a2，

，am的一個線性組合，或稱b可由向量組a1，a2，

，am線性表示。例4．向量組a1，a2，

，am中的任一向量i(1

i

m)都是此向量組的線性組合。注意：對k1，k2，

，km未加任何限制；特別是未限制k1，k2，

，km不全為零。這是因為o=0

a1

0

a2

0

am這是因為ai=0

a1

+1

ai

0

am

。第7頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

定理

n維列向量b可由n維列向量組a1，a2，

，am線性表示的充分必要條件是：以x1，x2，

，xm為未知量的線性方程組

x1a1

x2a2

xm

am

b有解。

討論：上述線性方程組在什么情況下有解？提示：線性方程組

x1a1

x2a2

xm

am

b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，即矩陣(a1

a2

am)與矩陣(a1

a2

am

b)的秩相等。下頁3。b可由a1，a2，

，am線性表示的判定方法：a11x1+

a12x2+

+

a1mxm

=b1a21x1+

a22x2+

+

a2mxm

=b2an1x1+

an2x2+

+

anmxm

=bn

x1a1

x2a2

xm

am

b

第8頁,共29頁，2024年2月25日，星期天定理

n維列向量b可由n維列向量組a1，a2，

，am線性表示的充分必要條件是：以x1，x2，

，xm為未知量的線性方程組

x1a1

x2a2

xm

am

b有解。

推論：下頁3。b可由a1，a2，

，am線性表示的判定方法：（1）

n維列向量b可由n維列向量組a1，a2，

，am線性表示秩(a1

a2

am)=秩(a1

a2

am

b)定理′

n維行向量b可由n維行向量組a1，a2，

，am線性表示的充分必要條件是：以x1，x2，

，xm為未知量的線性方程組

x1a1T

x2a2T

xm

amT

bT有解。

（2）

n維行向量b可由n維行向量組a1，a2，

，am線性表示秩(a1T

a2T

amT)=秩(a1T

a2T

amT

bT)第9頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例5設(shè)判斷向量b是否為向量組a1

，a2，

a３

的線性組合。若是，寫出表示式。解：設(shè)x1a1

x2a2

x３a３

b由此可得線性方程組解此線性方程組第10頁,共29頁，2024年2月25日，星期天∵增廣矩陣（a1a2a３b）因為線性方程組有解，所以b

可由a1，a2，a３線性表示又因解為x1

７，

x2

５，x３

０所以b

７a1

５a2

０a３第11頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

例6．判斷向量b1=(4,3,-1,11)T與b2=(4,3,0,11)T是否各為向量組a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的線性組合。若是，寫出表示式。

解：(1)考慮線性方程組x1a1

x2a2

b1。因為2-13-11-15111124(a1

a2

b1)=

0-5-50330-9-9124

011000000124秩(a1

a2

b1)=秩(a1

a2)，所以b1可由a1，a2線性表示。因為線性方程組的解為x1

2，

x2

1，所以使2a1

a2

b。

011000000102，下頁第12頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

例6．判斷向量b1=(4,3,-1,11)T與b2=(4,3,0,11)T是否各為向量組a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的線性組合。若是，寫出表示式。

解：(2)考慮線性方程組x1a1

x2a2

b2。因為2-13-1105111124(a1

a2

b2)=

0-5-50340-9-9124

011034000124秩(a1

a2

b2)

秩(a1

a2)，所以b2不能由a1，a2線性表示。

011001000124，下頁第13頁,共29頁，2024年2月25日，星期天

例7．設(shè)向量a1=(1,2,3)，a2=(0,1,4)，a3=(2,3,6)b=(-1,1,5)，證明b由向量組a1，a2，a3線性表示并寫出具體的表示式。解：考慮線性方程組x1a1T

x2a2T

x3a3T

bT。因為(a1T

a2Ta3T

bT)秩(a1T

a2Ta3T

bT)=秩(a1T

a2Ta3T)，所以b可由a1，a2，a3線性表示。因為線性方程組的解為x1

1，

x2

2，x3

-1，所以b

a12a2-a3

第14頁,共29頁，2024年2月25日，星期天15例：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．第15頁,共29頁，2024年2月25日，星期天16行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．第16頁,共29頁，2024年2月25日，星期天17結(jié)論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解P.83定理1的結(jié)論：第17頁,共29頁，2024年2月25日，星期天18定義：設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個向量都能由向量組

A

線性表示，則稱向量組

B

能由向量組

A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．4。向量組的等價．第18頁,共29頁，2024年2月25日，星期天例1．向量組a1=(1,2)T

，a2=(1,1)T

，a3=(2,3)T可以由基本向量組e1=(1,0)T，e2=(0,1)T

線性表示；同時因為向量組e1=(1,0)T=-a1T+2a2T，e2=(0,1)T=a1T-a2T，即向量組e1，e2可由向量組a1，a2，線性表示；所以向量組a1，a2與向量組e1，e2等價第19頁,共29頁，2024年2月25日，星期天20設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣第20頁,共29頁，2024年2月25日，星期天21設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=k11a1+k21

a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=k12a1+k22

a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=k1la1+k2la2+…+kmlam第21頁,共29頁，2024年2月25日，星期天22若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．第22頁,共29頁，2024年2月25日，星期天23若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．第23頁,共29頁，2024年2月25日，星期天24口訣：左行右列定理：設(shè)A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在

A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.結(jié)論：若C=AB，那么矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（A

在左邊）矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（B

在右邊）第24頁,共29頁，2024年2月25日，星期天25A經(jīng)過有限次初等列變換變成B存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

階可逆矩陣

P，使得AP=B矩陣B

的列向量組與矩陣A

的列向量組等價矩陣B

的行向量組與矩陣A

的行向量組等價同理可得口訣：左行右列.把

P

看成是線性表示的系數(shù)矩陣第25頁,共29頁，2024年2月25日，星期天26向量組

B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.85定理3）

推論：向