二元一次方程組及其解法

關于二元一次方程組及其解法誰的包裹多累死我了！你還累？這么大的個，才比我多馱了2個。

哼!我從你背上拿來1個，我的包裹數(shù)就是你的2倍！真的嗎？它們各馱了多少包裹呢？第2頁,共52頁，2024年2月25日，星期天小馬:你還累？這么大的個，才比我多馱了2個。

老牛:哼!我從你背上拿來1個，我的包裹數(shù)就是你的2倍！

解:設老牛馱了X個包裹,小馬馱了Y個包裹.根據(jù)題意得到方程:X-Y=2和X+1=2(Y-1)第3頁,共52頁，2024年2月25日，星期天昨天，我們一家8個人去紅山公園玩，買門票花了34元。哦，那你們家去了幾個大人？幾個小孩呢？真笨，自已不會算嗎？成人票5元每人，小孩3元每人啊!聰明的同學們，你能幫他算算嗎？第4頁,共52頁，2024年2月25日，星期天解：設有x個成人，y個兒童，由

此可列方程．

第5頁,共52頁，2024年2月25日，星期天思考:上面的方程有哪些相同點?含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.1：未知數(shù)的個數(shù)都是22：含有未知數(shù)的項最高次數(shù)是1次3：含有未知數(shù)的項是整式而不是分式（即分母不含有未知數(shù)）相同點第6頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

請判斷下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并說明理由。(1)2x+5y=10(2)2x+y+z=1(5)2a+3b=5(6)2x+10xy=0(3)x+y=202(4)x+2x+1=02第7頁,共52頁，2024年2月25日，星期天議一議:在上面的方程X-Y=2和X+1=2(Y-1)中,X，Y的含義分別相同嗎?

X,Y的含義分別相同.因而X,Y必須同時滿足方程X-Y=2和X+1=2(Y-1)把它們聯(lián)立起來,得:X-Y=2X+1=2(Y-1)

像這樣，把兩個一次方程合在一起后共有兩個未知數(shù)，這樣就組成了一個二元一次方程組第8頁,共52頁，2024年2月25日，星期天判斷下列方程組哪些是二元一次方程組？★在一個方程組中，共有兩個未知數(shù)，并且每個方程都是一次方程，這樣的方程組是二元一次方程組。第9頁,共52頁，2024年2月25日，星期天x012…18…22yX+y有哪些值滿足方程（1）且符合問題的實際意義呢？221220…4…0222222…22…22(1)(2)第10頁,共52頁，2024年2月25日，星期天使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程有無窮個解第11頁,共52頁，2024年2月25日，星期天x012…18…22yX+y在滿足方程（1）的解中有哪些值滿足方程（2）呢？222120…4…0222222…22…22(1)(2)第12頁,共52頁，2024年2月25日，星期天一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。你能告訴大家如何求它們的解嗎？二元一次方程組有且只有一組解。第13頁,共52頁，2024年2月25日，星期天..200克10克探究第14頁,共52頁，2024年2月25日，星期天y克..x克200克y克x克10克x+y=200y=x+10解二元一次方程組一元一次方程二元一次方程組消元用代入法x克10克(x+10)x+(x+10)=200①②x=95y=105∴方程組的解是y=x+10x+y=200x=95，y=105。

求方程組解的過程叫做解方程組轉化

將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法（substitutionmethod）。轉化探究第15頁,共52頁，2024年2月25日，星期天分析例1

解方程組2y–3x=1x=y-1解：①②把②代入①得：2y–3（y–1）=12y–3y+3=12y–3y=1-3-y=-2y=2把y=2代入②，得x=y–1=2–1=1∴方程組的解是x=1y=22y–3x=1x=y-1(y-1)談談思路第16頁,共52頁，2024年2月25日，星期天例1

解方程組2y–3x=1x=y-1①②變：2y–3x=1x–y=–1①②解：把②代入①得：2y–3（y–1）=12y–3y+3=12y–3y=1-3-y=-2y=2把y=2代入②，得x=y–1=2–1=1∴方程組的解是x=1y=2談談思路第17頁,共52頁，2024年2月25日，星期天例2

解方程組解：①②由①得：x=3+y③把③代入②得：3（3+y）–8y=14把y=–1代入③，得x=3+(-1)=21、將方程組里的一個方程變形，用含有一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)；2、用這個式子代替另一個方程中相應的未知數(shù)，得到一個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；3、把這個未知數(shù)的值代入上面的式子，求得另一個未知數(shù)的值；4、寫出方程組的解。用代入法解二元一次方程組的一般步驟變代求寫x–y=33x-8y=149+3y–8y=14–5y=5y=–1∴方程組的解是x=2y=-1說說方法第18頁,共52頁，2024年2月25日，星期天用代入法解二元一次方程組⑴

y=2x-33x+2y=8⑵2x-y=53x+4y=2練一練第19頁,共52頁，2024年2月25日，星期天解：把②

代入①得,3x-2(2x-3)=8

解得,x=2把x=2

代入②得y=2×2-3,y=1∴原方程組的解為x=2

⑴

y=2x-33x-2y=8②①y=1記得檢驗：把x=2,y=-1代入方程①和②得,看看兩個方程的左邊是否都等于右邊.第20頁,共52頁，2024年2月25日，星期天①②解:由①得,y=2x-5③∴原方程組的解為把③代入②得,3x+4(2x-5)=2解得,x=2把x=2代入③得,y=2×2-5,y=-1⑵2x-y=53x+4y=2y=-1x=2第21頁,共52頁，2024年2月25日，星期天搶答:

請舉手

1．方程-x+4y=-15用含y的代數(shù)式表示x（）

A．-x=4y-15B．x=-15+4yC.x=4y+15D．x=-4y+15

CB3.用代入法解方程組較為簡便的方法（）

A．先把①變形

B．先把②變形

C．可先把①變形，也可先把②變形

D．把①、②同時變形

B2．將y=-2x-4代入3x-y=5可得（）

A.3x-（2x+4）=5B.3x-（-2x-4）=5C.3x+2x-4=5

D.3x-2x+4=5

2x+5y=21x+3y=8第22頁,共52頁，2024年2月25日，星期天能力檢測2、如果∣y+3x-2∣+∣5x+2y-2∣=0，求x、y的值.1、若方程5x2m+n+4y3m-2n=9是關于x、y的二元一次方程，求m、n的值.

第23頁,共52頁，2024年2月25日，星期天通過本節(jié)課的研究,學習,你有哪些收獲？基本思路:一般步驟：

變形技巧：

選擇系數(shù)比較簡單的方程進行變形。知識梳理一元一次方程二元一次方程組轉化消元變形代入求解寫出第24頁,共52頁，2024年2月25日，星期天下列是用代入法解方程組①②的開始步驟，其中最簡單、正確的是（）（A）由①，得y=3x-2③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2)。（B）由①，得③，把③代入②，得。（C）由②，得③，把③代入①，得。（D）把②代入①，得11-2y-y=2，把(3x看作一個整體)D細心選一選第25頁,共52頁，2024年2月25日，星期天隨堂練習：y=2x⑴x+y=12⑵x=—y-524x+3y=65⑶x+y=11x-y=7⑷3x-2y=9x+2y=3x=4y=8x=5y=15x=9y=2x=3y=0你解對了嗎？1、用代入消元法解下列方程組第26頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2.鞏固練習⑴方程5X-3Y=7，變形可得X=_________，Y=__________.

⑵解方程組Y=X-3①2X+3Y=6②應消去____，可把_____代入_____.⑶方程Y=2X-3和方程3X+2Y=1的公共解是X=_____Y=_____⑸若是方程組的解，求k和m的值.X=2Y=1kX-mY=1mX+kY=8⑷若+（2X-3Y+5）=0，求X和Y的值.2Y①②1-1第27頁,共52頁，2024年2月25日，星期天和互為相反數(shù)……分析：

①②3x+5y+2x

－

5y＝10①左邊+②左邊=①右邊+②右邊5x＝10x=2（3x

＋5y）+（2x

－5y）＝21+(－11)等式性質(zhì)理解新知第28頁,共52頁，2024年2月25日，星期天思考聯(lián)系上面的解法，想一想怎樣解方程組4x+5y=3①2x+5y=－1②第29頁,共52頁，2024年2月25日，星期天②①①②①+②①－②第30頁,共52頁，2024年2月25日，星期天感悟規(guī)律揭示本質(zhì)

兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.第31頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2x-5y=7

①2x+3y=-1

②

觀察方程組中的兩個方程，未知數(shù)x的系數(shù)相等，都是2。把兩個方程兩邊分別相減，就可以消去未知數(shù)x，同樣得到一個一元一次方程。分析：舉一反三解方程組第32頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2x-5y=7

①2x+3y=－1

②解：將②－①得:8y＝－8y＝－1將y＝－1代入①，得：

2x－5×（－1）＝7解得:x＝1所以原方程組的解是x＝1y＝－1舉一反三第33頁,共52頁，2024年2月25日，星期天3x-2y=-1①6x+7y=9②運用新知拓展創(chuàng)新分析：1、要想用加減法解二元一次方程組必須具備什么條件？2、此方程組能否直接用加減法消元？第34頁,共52頁，2024年2月25日，星期天

用加減法解方程組:解：①×3得6x+9y=36③所以原方程組的解是①②③－④得:y=2將y＝2代入①，解得:x＝3②×2得6x+8y=34④用加減法先消去未知數(shù)y該如何解？解得的結果與左面的解相同嗎？第35頁,共52頁，2024年2月25日，星期天基本思路:主要步驟：加減消元:二元一元加減消去一個元求解分別求出兩個未知數(shù)的值加減消元法解方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？變形同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)寫解寫出方程組的解第36頁,共52頁，2024年2月25日，星期天用加減法解二元一次方程組。⑴7x-2y=39x+2y=-19⑵6x-5y=36x+y=-15

做一做x=-1y=-5x=-2y=-3第37頁,共52頁，2024年2月25日，星期天4s+3t=5

2s-t=-5s=-1t=35x-6y=9(2)

7x-4y=-5x=-3y=-4(1)

第38頁,共52頁，2024年2月25日，星期天1、已知是方程2x-4y+2a=3一個解，則a=_______；x=-3y=-212第39頁,共52頁，2024年2月25日，星期天2、若方程2x2m+3+3y3n-7=0是關于x、y的二元一次方程，則

m=______，n=______；思考：.求二元一次方程2X+Y=10的所有正整數(shù)解.-183第40頁,共52頁，2024年2月25日，星期天分別相加y3.已知方程組x+3y=172x-3y=6兩個方程就可以消去未知數(shù)分別相減4.已知方程組25x-7y=1625x+6y=10兩個方程就可以消去未知數(shù)x只要兩邊只要兩邊練習第41頁,共52頁，2024年2月25日，星期天5、若單項式與﹣3是同類項，求m、n的值。第42頁,共52頁，2024年2月25日，星期天6.暴風雨即將來臨,一群螞蟻正忙著搬家.其中有大螞蟻和小螞蟻,已知大小螞蟻總共有100只,小螞蟻一次只能搬一粒食物,大螞蟻一次能搬兩粒,一場忙碌過后,洞里的160粒食物剛好一次被安全轉移,求大小螞蟻各有幾只?第43頁,共52頁，2024年2月25日，星期天解:設小螞蟻有X只,大螞蟻有Y只,根據(jù)題意得到方程:X+Y=100和

X+2Y=160第44頁,共52頁，2024年2月25日，星期天7.今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？你現(xiàn)在能用學過的方法列出方程組嗎？返回雞兔同籠第45頁,共52頁，2024年2月25日，星期天分析：問題包含兩個條件(兩個相等關系)：大瓶數(shù):小瓶數(shù)＝2:5大瓶裝的消毒液＋小瓶裝的消毒液＝總生產(chǎn)量8.根據(jù)市場調(diào)查，某消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)，兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量的比(按瓶計算)是2:5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應該分裝大、小瓶裝兩種產(chǎn)品各多少瓶？第46頁,共52頁，2024年2月25日，星期天解：設這些消毒液應該分裝x大瓶、y小瓶。根據(jù)題意可列方程組：③①由得：把代入得：③②解得：x=20000把x=20000代入得：y=50000③答：這些消毒液應該分裝20000大瓶和50000