2015《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習(xí)題答案-沈恒范(第五版)

第一章隨機事件及其概率

習(xí)題一解答

1.1任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).設(shè)事件.4表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”,

事件5表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”.

（1）寫出試驗的樣本點及樣本空間：

（2）把事件.4及4分別表示為樣本點的集合；

（3）卜列事件：

分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點的集合.

解（1）任意拋擲顆骰子可以看作是一次隨機試驗，易知共有6個不同

的結(jié)果:“出現(xiàn)1點”來出現(xiàn)2點”,…,“出現(xiàn)6點”.設(shè)試驗的樣本點

3,="出現(xiàn)i點”，i=1,2,3,4,5,6；

則樣本空間

H-{40],3：,3?,3,，3$，36}?

（2）因為事件A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，即“出現(xiàn)2點、4點或6點”，所以有

A={/”叫，5}:

又因為事件B表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”,即“出現(xiàn)3點或6點"，所以

有

B={處?（o（,）.

（3）因為事件工是.4的對立事件，所以它表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，即“出現(xiàn)1點、

3點或5點點于是有

4={<0]，?3，35}：

因為事件后是H的對立事件，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被3整除”，即

“出現(xiàn)1點、2點、4點或5點”，「是有

8={3],如，叫，g}：

因為事件AU8是事件，4與B的并，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)或能被

3整除”，即“出現(xiàn)的點數(shù)能被2或3整除除F是有

第一章隨機事件及其概率

.4U/?={tt>2,w3,w4,w（））：

因為“件.44是任件.4與8的交，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，且能被3

整除”，即“出現(xiàn)的點數(shù)能被2和3整除”，「是有

因為事件IU萬是.4UH的對立事件，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被2或3

整除”，于是有

.4Ufi={o>|，g}.

1.2設(shè)4、8、C表示三個隨機事件,試將F列事件用A、8、C表示出來：

（1）僅A發(fā)生；

（2）A.B.C都發(fā)生;

（3）A、4、C都不發(fā)生：

（4）AJi,C不都發(fā)生：

（5）.4不發(fā)生，且S、C中至少有一事件發(fā)生：

（6）AJi,C中至少有一事件發(fā)生：

（7）4、/J、C中恰有-號件發(fā)生：

（8）A、B、C中至少有二事件發(fā)生;

（9）A,B,C中最多行一事件發(fā)生.

解（I）“僅.4發(fā)生”就是“,4發(fā)生，且4、C都不發(fā)生”，這是三事件.4、瓦下

的交，所以應(yīng)記作,4彳2；

（2）”,4、從C都發(fā)生”就是“從發(fā)生、4發(fā)生、6發(fā)生”，這是=3件.4、從C的

交，所以應(yīng)記作.48C：

_爐）“,4、從（：都不當匚蟹是".>1不發(fā)生、4不發(fā)生、C不發(fā)生”，這是三小件

工、瓦心的交,所以應(yīng)記作了方乙

（4）“A、8、C不都發(fā)生”就是“A、/3、C都發(fā)生”的對立事件，所以應(yīng)記作

AliCi

（5）“,4不與生，且從C中至少仃WT發(fā)生”就是事件I與事件BUC的

交，所以應(yīng)記作彳（8UC）；

（6）“4、8、C中至少有事件發(fā)生”就是三事件A、8、C的并，所以應(yīng)記作A

UBUG

（7）“A、E、C中恰有一事件發(fā)生”就是“僅4發(fā)生、僅8發(fā)生或僅C發(fā)生”,

這是三個互不相容事件.4BCjliC.AHe的井，所以應(yīng)記作

.47iC+AHC+AHc；

（8）“A、4、C中至少有二事件發(fā)生”就是“4B、AC、8c中至少有一事件發(fā)

生”，也就是孫AC.BC的并,所以應(yīng)記作

ABUACUBC；

習(xí)題解答?3?

（9）“4、B、C中最多有一事件發(fā)生”就是“4、B、C中至少有二事件發(fā)生”的

對立事件，所以應(yīng)記作

ABUACUBG

又這個事件也就是“4、4、C中至少有二事件不發(fā)生”，即為三事件彳瓦工MN工

的并，所以也可以記作

1.3袋中有10個球,分別寫有號碼1~10,其中1,2,3,4,5號球為紅球；6,

7,8號球為白球：9,10號球為黑球.設(shè)試驗為:

（1）從袋中任取一個球,觀察其顏色：

（2）從袋中任取?個球，觀察其號碼.

分別寫出試驗的基本事件及樣本空間，并指出樣本空間中的基本事件是否是等

可能的.

解（I）從袋中任取一個球，如果試驗是為了觀察取出的球的顏色，則因為

袋中有3種不同顏色的球，所以試驗的基本事件共有3個，它們是：

叫「="取出紅球”，3白="取出白球”，3工=“取出黑球”：

于是有樣本空間

/2|={3漢，30，3}-

因為袋中紂球、白球、黑球的個數(shù)不相等，所以上述3個基本事件不是等可能的.

（2）從袋中任取一個球，如果試驗是為了觀察取出的球的號碼，則因為袋中

<10個不同號碼的球，所以試驗的基本事件共有10個，它們是:

3,=”取出，號球"（i=1,2,…，10）：

F是有樣本空間

因為袋中1,2,…，10號的球各有一個，所以上述10個基本事件是等可能的.

1.4電話號碼由7個數(shù)字組成，每個數(shù)字可■以是0,1,2,…，9中的任一個

數(shù)字（但第?個數(shù)字不能為（）），求電話號碼是由完全不相同的數(shù)字組成的概率.

解由7個數(shù)字組成的電話號碼中，第一個數(shù)字不能為0,排列數(shù)為P；：其

余6個數(shù)字都可以是0,1,2,…,9中的任一個數(shù)字，排列數(shù)為10\總的排列數(shù)就

是P；?IO,.所以，基本事件的總數(shù)

N=P；?10。

設(shè)事件.4表示電話號碼由完全不相同的數(shù)字組成，則第?個數(shù)字的排列數(shù)

仍為P：,而其余6個數(shù)字的排列數(shù)為P：,這時的排列數(shù)就是P；?P：.所以，事件

,4包含的基本事件數(shù)

M=P；?焦.

第一章隨機事件及其概率

「是,按公式（1.22）①得所求概率

1.5把10本書任意地放在書架上,求其中指定的3本竹放在一起的概率.

解把10本書任意地放在書架上，共有P；：=1（）!種不同的排列法.所以,

基本事件的總數(shù)A=10!.

設(shè)事件4表示10本書中指定的3本書放在一起，則可以把這3本書作為1

個整體與其它7本書任意撰放，應(yīng)有P：=8!種不同的排列法：放在一起的這3

本書又有P；=3!種不同的排列法；從而共有8!x3!種不同的排列法.所以,

事件A包含的基本事件數(shù)4/=8!x3!.

「一是，按公式（1.22）得所求概率

1

P（.4）??x3臺1"0667.

1*j?ID

1.6為了減少比賽場次，把20個球隊任意分成兩組（每組10隊）進行比

賽，求最強的兩隊被分在不同組內(nèi)的概率.

解從20個球隊中任意選取10個隊分在第組內(nèi)（其余10個隊分在第二

組內(nèi)），共有（■種不同的分法.所以，基本任件的總數(shù)N=C；：；.

設(shè)事件A表示最強的兩隊被分在不同組內(nèi)，則可以先從這2個最強的隊中

任意選取1個隊分入第一組（另1個隊分入第：組），有C；種不同的分法；再從

其余18個隊中任意選取9個隊分入第?組（另9個隊分入第二組），有Ch種不

同的分法：從而共有C；?%種不同的分法.所以，事件.4包含的基本事件數(shù)

時=C；?C；.

「?是，按公式（1.22）得所求概率

C'?C'10

P（.4）=■5263.

619

1.7在橋牌比賽中，把52張牌任意地分發(fā)給東、南、西、北四家（每家13張

牌），求北家的13張牌中:

（1）恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花的概率：

（2）恰行大牌A、￡、QJ各1張，其余為小牌的概率.

解法-一副橋牌共有52張牌，按花色區(qū)分，有黑桃、紅心、方塊、草花各

13張牌：按大小區(qū)分，有大牌.4、￡、。、1與小牌10、9、…、3、2各4張牌.把52張

牌任意地分發(fā)給東、南、西、北四家（每家13張牌），如果考慮發(fā)牌的順序，則52

張牌的全排列共仃52!種不同的排列法.所以，基本事件的總數(shù)

I這里及以后的公式編號都是$概率論叮數(shù)理統(tǒng)計教程（第四版）》中的公式編號.

習(xí)題解答

N=52!.

當?shù)?張牌發(fā)給東家時，則北家得到的是第4、第8、…、第52張牌.

（1）設(shè)步件.4表示北家的13張牌中恰仃5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1

張草花，則不妨設(shè)想先從13張黑桃中任選5張、從13張紅心中任選4張、從13

張方塊中任選3張、從13張草花中任選1張，再把選出的這13張牌在上述13

個位置進行全排列，勺

?13!

種不同的排列法;同時,還應(yīng)考慮分發(fā)給其他三家的39張牌在其余39個位置上

的全排列，行39!種不同的排列法：從而共有

C；CC*：；3?13!?39!

種不同的排列法.所以，獷件.4包含的基本事件數(shù)

=C；3c：3（：：3（：：3T3!?39！.

「是,按公式（1.22）得所求概率

、C\C?Cj,C'?13!?39!

P（.4）=3---------=0.00539.

（2）設(shè)事件4表示北家的13張牌中恰有大牌.4、K、Q、J各1張，其余為小

牌，則不妨設(shè)想先從4張A、4張KA張。、4張1中分別任選1張，從36張小牌

中任選9張，再把選出的這13張牌在上述13個位置進行全排列，有

（C；）“工73!

種不同的排列法：同時，還應(yīng)考慮分發(fā)給其他三家的39張牌在其余39個位置上

的全排列，有39!種不同的排列法：從而共有

（C：）4C\?13!?39!

種不同的排列法.所以，事件月包含的基本事件數(shù)

必=（（：：尸（3?13!?39!.

「是,按公式（1.22）得所求概率

（Ci）4C；,?13!?39!

P（B）=------------------?0,03795.

52!

解法:如果不考慮發(fā)牌的順序，則把52張牌任意地分發(fā)給東、南、西、北

四家（每家13張牌），共有

I?r13rl3r13

種不同的分法.所以，基本事件的總數(shù)

（1）設(shè)事件A表示北家的13張牌中恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1

張草花，則不妨設(shè)想先從13張黑桃中任選5張、從13張紅心中任選4張、從13

張方塊中任選3張、從13張草花中任選1張（共13張牌）分給北家，有

第一章隨機事件及其概率

C"—

種不同的分法;再把其余39張牌分給東、南、西三家（每家13張牌），有

「13r13「13

種不同的分法：從而共仃

「5z-?<4z>3「I./>13/-?13z>13

匕|'|八，1八"35心％「13

種不同的分法.所以，步件A包含的基本事件數(shù)

If-C5「4「3「I?「13（，13rl3

-J]3l，l3l，”l，]3l，39l'26'r3?

F是,按公式（1.22）得所求概率

匕”匕13匕13M131-39匕26、13

/'（.4）「13.13（，13「13

c；34ctc%

一Hi廿a0（x）539.

「52

（2）設(shè)事件）表示北家的13張牌中恰有大牌4、K、Q、J各1張，其余為小

牌，則不妨設(shè)想先從4張.4、4張￡、4張Q、4張J中分別任選1張，從36張小牌

中任選9張（共13張牌）分給北家，有

（CF

種不同的分法:再把其余39張牌分給東、南、西三家（每家13張牌），有

/■?13「13r13

U39C26CI3

種不同的分法：從而共有

（C：）??（：；；（：；（：；；

種不同的分法.所以，事件B包含的基本事件數(shù)

必=（C：）*C；6?C恥恥：：.

「是,按公式（1.22）得所求概率

小A）-"：/服—恥恥:；

1（）一rl3rI3r13pl3

（c：）y

=—1---^=0.03795.

C$2

解法三注意到解法二的（1）及（2）的計算過程中都是先把分母與分子的

公約數(shù)C；；C：C；；約去，再進行計算，所以我們只需考慮從52張牌中任取13張分

發(fā)給北家的情況，而不必再考慮其余39張牌分發(fā)給其他二家的情況.

從52張牌中任取13張分發(fā)給北家，共有（■種不同的分法.所以，基本事

件的總數(shù)

N=C*

（1）設(shè)事件A表示北家的13張牌中恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1

張草花，則有

習(xí)題解答?7?

種不同的分法.所以，步件A包含的基本步件數(shù)

M]=C；3c[c：3c：3.

「是,按公式（1.22）得所求概率

（、‘H（"u'（、3uC1h

P（.4）=；=0.（X）539.

C52

（2）設(shè)事件“表示北家的13張牌中恰有大牌.4、A、Q、J各1張，其余為小

牌，則有

（G）4&

種不同的分法.所以，事件B包含的基本事件數(shù)

4

JW2=（C!）CL

「是,按公式（1.22）得所求概率

（（：：）"（工

P(B)==0.03795.

1.8將3個球隨機地投入4個盒子中，求卜列事件的概率：

（1）A——任意3個盒子中各有1個球：

（2）B——任意1個盒子中有3個球：

（3）C——任意1個盒子中有2個球，其它任意1個盒子中有1個球.

解將每?個球隨機地投入4個盒子中，各行4種不同的投法:將3個球隨

機地投入4個盒子”1則共有4,種不同的投法.所以，基本獷件的總數(shù)

A'=4'=64.

（1）我們可以用兩種方法計算事件4包含的基本獷件數(shù)：

（i）先從4個盒子中任意選定3個盒子，有C：種不同的選法;再將3個球分

別投入這3個盒子中，有P；種不同的投法：從而共有C：?P；種不同的投法.所

以，事件A包含的基本事件數(shù)

=C：?P；=24.

（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任1個盒子，有4種不同的投法；第二

個球只能投入其余3個盒子中的任1個盒子，仃3種不同的投法:第三個球只能

投入其余2個盒子中的任1個盒子，有2種不同的投法:從而共有4x3x2種不

同的投法.所以，步件,4包含的基本事件數(shù)

[%=4x3x2=24.

「是，按公式（1.22）得事ftA的概率

P（A）=棄24=0.375.

64

（2）我們也可以用兩種方法計算事件B包含的基本事件數(shù):

第一章隨機事件及其概率

（i）先從4個盒子中任意選定1個盒子，有C：種不同的選法;再將3個球都

投入這個盒子中，行1,種投法：從而共仃C：x1,種不同的投法.所以，力件8包

含的基本事件數(shù)

必=（：：xl3=4.

（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任1個盒子中，有4種不同的投法：第

二、第三個球只能都投入這個盒子中，有1種投法;從而共有4x1種不同的投

法.所以,事件5包含的基本事件數(shù)

必=4xl2=4.

「是，按公式（1.22）得事件4的概率

4

P（B）=—=0.0625.

64

（3）我們也可以用兩種方法計算事件C包含的基本事件數(shù):

（i）先從4個盒子中任選1個盒子，從3個球中任選2個球，再將這2個球

都投入選定的這個盒廣中，有x「種不同的投法;將最后1個球隨機地投

入其余3個盒子中的任1個盒子中，有3種不同的投法：從而共有C：C；x『x3

種不同的投法.所以，任件C包含的基本事件數(shù)

,%=C：C；x12x3=36.

（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任1個盒子中，有4種不同的投法：第

二個球可以與第一個球投入同1個盒『中，也可以投入其余3個盒子中的任1

個盒子中，如果是前一種情況，則第三個球應(yīng)投入其余3個盒子中的任1個盒子

中，有1x3種不同的投法：如果是后一種情況，則第三個球應(yīng)投入已有球的2個

盒子中的任1個盒子中，行3x2種不同的投法；從而共有

4（Ix3+3x2）

種不同的投法.所以，事件C包含的基本事件數(shù)

=4（1x3+3x2）=36.

「是，按公式（1.22）得事件C的概率

P（C）=?=（）.5625.

64

1.9同時擲四個均勻的骰子,求F列事件的概率：

（1）A——四個骰子的點數(shù)各不相同；

（2）H---恰有兩個骰子的點數(shù)相同；

（3）C——四個骰子的點數(shù)兩兩相同，但兩對的點數(shù)不同：

（4）D——恰有三個骰子的點數(shù)相同：

（5）E——四個骰子的點數(shù)都相同.

解擲-個骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有6種不同的情形：同時擲四個骰子，出現(xiàn)的

習(xí)題解答?9?

點數(shù)共有64種不同的情形.所以，基本事件的總數(shù)

N=64=1296.

（1）四個骰子的點數(shù)各不相同，有6x5x4x3種不同的情形.所以，事件A

包含的基本拿件數(shù)

;Wi=6x5x4x3=360.

「是,按公式（1.22）得所求概率

火4=部3778.

（2）為了使恰有兩個骰子的點數(shù)相同，不妨從四個骰子中任選兩個骰子配

成一對，有C：種不同的選法：這對骰!■的點數(shù)相同,但與其余兩個骰子的點數(shù)各

不相同，療6x5x4種不同的情形：從而共有C：x6x5x4種不同的情形.所

以，事件4包含的基本事件數(shù)

必=C：x6x5x4=720.

于是,按公式（1.22）得所求概率

720

P（B）=-^-=0.5556.

1296

（3）為了使四個骰子的點數(shù)兩兩相同，不妨把四個骰子任意選配成兩對，有

/《（：；種不同的選法；每一對骰子的點數(shù)相同，但兩對的點數(shù)不同，有6x5種不

同的情形；從而共仃5：湍x6x5種不同的情形.所以，加件C包含的底本獷

件數(shù)

=；（：：《x6x5=90.

F是,按公式（1.22）得所求概率

（V）

P（C）0694.

1296

（4）為了使恰有三個骰子的點數(shù)相同，不妨從四個骰子中任選三個骰子組

成?組，仃C：種不同的選法：這組骰子的點數(shù)相同，但與其余一個骰子的點數(shù)不

同，有6x5種不同的情形：從而共仃C：x6x5種不同的情形.所以，事件1）包

含的基本事件數(shù)

;l/4=C；x6x5=12（）.

「是，按公式（1.22）得所求概率

。（。）0926.

（5）因為四個骰子的點數(shù)都相同，只有6種不同的情形，所以事件￡包含的

?10?第一章隨機事件及其概率

基本事件數(shù)

;1/5=6.

F是,按公式(1.22)得所求概率

P(E)0.0046.

,1.10在半徑為K的圓內(nèi)畫平行弦.如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點

在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度大「R的概率.

解如圖1.1,設(shè)垂直「直徑AH的弦CD與直徑AH的交點的橫坐標為X,

則所有基本事件可以用區(qū)間(-投,/?)內(nèi)的點表示出來，按題意它們是等可能的.

圖1.I

設(shè)事件￡表示弦CD的長度大「七則￡包含的基本事件可以用那些橫坐

標x滿足卜,面不等式的點表示出來：

\ci)\=2JR--A->R.

即

「是，按公式(1.24),所求概率就等『區(qū)間的長度/與區(qū)間

(-/?,/?)的長度L之比，即

P(E)===866.

L2R2

,1.11把長度為"的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率.

解設(shè)長度為“的棒被折成二段后，其中兩段的長度分別為X及y,則第三

段的長度為“-x-y.我們有

0<.r<a90<<a90<</-x-y<a：

即

習(xí)題解答?11?

0<x<a?0<y<a?0<x+y<

把（x,>）看作平面上一點的電角坐標，則所仃的基本事件可以用圖1.2中大三

角形區(qū)域內(nèi)的點表示出來.

設(shè)事件八表示被折成的二段可以構(gòu)成一個三角形，則因為：角形的任意兩

邊之和大第三邊，所以應(yīng)有

y+（a-x-y）>x,x+（.a-x-y）>y.x+y>a-x-y：

即

aaa

x<—?y<k，x+v>—.

2'2,2

因此，事件A包含的基本事件可以用圖1.2中陰影部分內(nèi)的點表示出來.

「是，按公式（1.24）,所求概率就等「圖1.2中陰影部分的面積s與大三角

形的面積S之比，即

,1.12甲乙兩艘輪船駛向?個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在

晝夜內(nèi)到達的時刻是等可能的.如果甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊

時間是兩小時,求它們中的任何一艘都不需等候碼頭空出的概率.

解設(shè)甲乙兩艘輪船到達碼頭的時刻分別是x及y,則按題意有

0WxW24,0W,W24.

把（心y）看作平面上一點的直角坐標，則所仃基本事件可以用圖I.3中邊長為

24的正方形區(qū)域內(nèi)的點表示出來.

設(shè)事件A表示兩艘輪船中的任何一艘都不需等候碼頭空出，則有卜述兩種

可能情形:

（1）如果甲船先到達碼頭（即x<y）,則應(yīng)有

?12?第一章隨機事件及其概率

y-X注1；

(2)如果乙船先到達碼頭(即)<x),則應(yīng)行

x-y^2.

因此，事件A包含的基本事件可以用圖1.3中陰影部分內(nèi)的點表示出來.

「是，按公式(1.24),所求概率就等J-m1.3中陰影部分的面積s與正方形

區(qū)域的面積S之比：

y-x23'!+-yx222

P(A)=』=---------------=0.879.

S24'

1.13某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共10()個，其中有5個次品.從這批產(chǎn)品中

任取一半來檢重，求發(fā)現(xiàn)次品不多r-1個的概率.

解從這批產(chǎn)品中任取?半(即50個產(chǎn)品)來檢查，基本事件的總數(shù)

%=(湍.

設(shè)事件4表示檢查時發(fā)現(xiàn)次品不多J--1個，則A可以分解為兩個互不相容事件

的并：

.4=.4()+4,

其中事件兒表示檢查時未發(fā)現(xiàn)次品，事件4表示檢查時發(fā)現(xiàn)I個次品.易知事

件.4°,包含的基本事件數(shù)分別是

/%=C；端,

按公式(1.22)得

/、()「50

P(.40)=，后二=0.0281,

Joo

汽4)=警=81529.

"oo

r是,按概率加法公式(i.25)得所求概率

P(.4)=P(A0+4)=P(An)+P(4)

=0.0281+0.1529=0.181.

1.14袋內(nèi)放行2個伍分的錢幣，3個貳分的錢幣，5個壹分的錢幣.任取

其中5個，求總數(shù)超過一角的概率.

解從袋內(nèi)的10個錢幣中任取5個，基本事件的總數(shù)

N=C：o=252.

設(shè)事件.4表示任取5個錢幣的總數(shù)超過一角，則A可以分解為F列三個互不相

容事件的并：

+A2+.43，

習(xí)題解答?13?

其中丁一取得2個伍分及其它任意3個錢幣，

A2—取得1個伍分、3個試分及1個壹分的錢幣，

A3——取得1個伍分、2個貳分及2個壹分的錢幣.

易知事件L,,4”&包含的基本事件數(shù)分別是

弧=C；C；=56,

M2=ClCjC,=1(),

;W,=C；C；C；=60.

卜是,按概率加法公式(1.25)得所求概率

P(A)=P(.4)+.4,+.43)=?(.1!)+P(A,)+P(.43)

561060126八

=-LC+T--+——-=——=0.Jc.

252252252252

1.15在橋牌比賽中，定約人(南家)及其同伴(北家)共有9張黑桃，求其

余4張黑桃在防守方(東、西兩家)手中各種分配情況的概率：

(1)“2—2”分配的概率：

(2)“1-3”或“3—I”分配的概率:

(3)“0—4”或“4-0”分配的概率.

解定約人(南家)雖然已經(jīng)看到了南、北兩家的26張牌，但是不知道K余

26張牌在東、西兩家的分配情況.因此，討論其余4張黑桃在東、西兩家的分配

時,還應(yīng)考慮其余22張其它花色的牌的分配.與習(xí)題1.7的解法三類似，我們

只需討論東家從其余26張牌中分得13張牌的情況，所以基本叮件的總數(shù)

瞬噓，

(1)設(shè)事件A表示其余4張黑桃在東、西兩家是“2—2”分配，即東家分得2

張黑桃及11張其它花色的牌，則.4包含的基本事件數(shù)

F是,按公式(1.22)得所求概率

P(A)=-^?0.407.

(2)設(shè)事件4表示其余4張黑桃在東、西兩家是“1-3”或“3—1”分配，則

B可以分解為兩個互不相容事件的并：

H=Ht+Ii2,

其中事件與表示黑桃是“1-3”分配，即東家分得1張黑桃及12張其它花色的

牌；M件外表示黑桃是“3—1”分配，即東家分得3張黑桃及10張其它花色的

牌.易知事件從，從包含的基本事件數(shù)分別是

Mi=C：C*%=C；磔.

「是,按概率加法公式(1.25)得所求概率

?14?第一章隨機事件及其概率

0(4)=。(4+/)=。(4)+P(/)

「?「i2「3「io

,「22497.

13

26或

(3)設(shè)事件C表示其余4張黑桃在東、西兩家是“0—4”或“4-0”分配，則

C可以分解為兩個互不相容事件的并：

C=C,+(：2,

其中事件G表示黑桃是“0-4”分配，即東家分得0張黑桃及13張其它花色的

牌；事件自表示黑桃是“4一0”分配，即東家分得4張黑桃及9張其它花色的牌.

易知事件g,心包含的基本事件數(shù)分別是

,%=C：C量必=解咯.

「是，按概率加法公式(1.25)得所求概率

0(C)=P(a+C2)=P(C,)+P(C2)

=-77TT-+-^*0-()96-

1.16一批產(chǎn)品共20件，其中一等品9件，二等品7件，三等品4件.從這

批產(chǎn)品中任取3件，求：

(1)取出的3件產(chǎn)品中恰仃2件等級相同的概率：

(2)取出的3件產(chǎn)品中至少仃2件等級相同的概率.

解從這批產(chǎn)品(共20件)中任取3件產(chǎn)品，基本事件的總數(shù)

N=C^o=1140.

(1)設(shè)事件4表示取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級相同，則A可以分解為

三個互不相容步件的并:

A=.41+.42+.43,

其中步件I…J?，&分別表示取出的3件產(chǎn)品中恰仃2件等品，恰仃2件二等

品，恰行2件三等品.易知事件4，心,4包含的基本事件數(shù)分別是

弧=C；C；|=396,

/%=C；C；3=273,

,%=C：C；6=96.

「?足，按概率加法公式(1.25)得所求概率

J

P(A)=。(4+.4,+.43)=P(.41)+P(.4,)+/(.43)

39627396765人「

=1140+1140+1140=1140^,

(2)設(shè)事件/,表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同，則我們可以用

兩種方法計算事件4的概率：

(i)把事件B分解為兩個互不相容事件的并：

習(xí)題解答

li=A+C,

其中任件.4就是上述(1)中的獷件.4，*件C表示取出的3件產(chǎn)品的等級都相

同.事件C又可以分解為三個互不相容事件的并：

c=G+G+C,，

其中事件G，G，G分別表示取出的3件產(chǎn)品都是等拈，都是二等拈.都是二

等品.易知事件G，G，G包含的基本事件數(shù)分別是

Mi=C：=84,:\12=(：；=35,.)/,=C：=4.

按概率加法公式(L26)得

p(c)=p(ct+c2+G)=。(G)+。()+p(c,>

84354123nin0

=114<)+114()+114()=1140~"

于是，按概率加法公式(1.25)得所求概率

P(8)=。(.4+C)=P(.4)+P(C)

765123888

二內(nèi)+后二巾”A….

(ii)考慮事件B的時立事件瓦即取出的3件產(chǎn)品的等級各不相同，也就是

取出的3件產(chǎn)品中恰有1件等品、1件二等品、1件三等品.易知事件及包含的

基本事件數(shù)

財=C；C；C：=252,

按公式(1.22)得

—252

「是,按公式(L28)得所求概率

P(B)=1-0.221=0.779.

1.17設(shè)P(.4)>0,P(8)>0,將下列四個數(shù):

P(4),P(4B),P(AUfi)?P(A)+KB),

按由小到大的順序排列，用符號W聯(lián)系它們，并指出在什么情況卜可能有等式成

AL.

解因為

AHQAQAUU,

所以由概率的性質(zhì)知：

P(AB)WP(.4)WP(.4U4).

又因為P(A840,所以由公式(1.29)知:

P(4UB)CP(4)+P(H).

于是,我們有

第一章隨機事件及其概率

。(AB)W。(A)WP(AU%)WP(.4)+P(8).

如果AU8,則45=A,這時有P(4B)=P(A)；

如果8“則”5=4,這時有「(.4)=P(AUB);

如果.48=0,則P(AB')=0,這時有P(4UB)=P(.4)+P(B).

1.18已知夕(.4)=0.5,P(4)=0.7,則

(1)在怎樣的條件卜,P(，44)取得最大值？最大值是多少？

(2)在怎樣的條件卜,P(.A4)取得最小值？最小值是多少？

解(1)因為

AHQA,AHQB,

所以由概率的性質(zhì)知：

P(A8)WP(A),P(.W(8).

I1J此可知P(.48)不大rP(此與P(8)中的較小者.已知P(4)=0.5,P(8)=

0.7,所以應(yīng)有

P(45)wP(A)=0.5.

因為當.4U＞時有/1〉=A,從而P(AB)=〃(.4),所以這時為.44)取得最大值0.

5.

(2)按公式(1.29)得

P(4U?)=0.5+0.7-Pl.AH)=1.2-0(.44),

即

P(A8)=1.2-P(.4UB).

因為P(AU4)WI,所以有

P(AH)20.2.

E口此可知：當.4U4=〃，即P(.AU8)=1時,。(.44)取得最小值0.2.

1.19在1~100共一百個數(shù)中任取個數(shù)，求這個數(shù)能被2或3或5整除

的概率.

解設(shè)事件A表示任取的這個數(shù)能被2整除，事件4表示任取的這個數(shù)能

被3整除，力件C表示任取的這個數(shù)能被5整除，則事件4U4UC表示任取的

這個數(shù)能被2或3或5整除.易知：事件.43表示任取的這個數(shù)能被2和3整

除，即被6整除：事件AC表示任取的這個數(shù)能被2和5整除，即被10整除；事件

/"；表示任取的這個數(shù)能被3和5整除，即被15整除；事件.4/“；表示任取的這個

數(shù)能同時被2、3和5整除，即被30整除.

因為在1~10()這100個數(shù)中，能被2整除的有50個，能被3整除的仃33

個，能被5整除的行20個，能被6整除的有16個，能被10整除的有10個，能被

15整除的有6個，能被30整除的有3個,所以有

習(xí)題解答?17?

P(4)=靛=().5,P(H)=葛=。.33,P(C)=20(一

而二0.2,

=—=0.16.IKAC)=—=0.1.P(HC)=—=0.()6,

10()10()100

P(ABC)=而=。.03.

「是，按概率加法公式(1.31)，當"=3時，得所求概率

P(/lU^UC)=P(.4)+P(B)+P(C)

-P(Ali)-P(.4C)-P(BC)+P(ABC)

=0.5+0.33+0.2-0.16-0.1-0.06+0.03

=0.74.

1.20在習(xí)題1.7中，求北家分到的13張牌中:

(1)至少缺一種花色的概率：

(2)四種花色都行的概率.

解(1)設(shè)事件4,分別表示北家分到的13張牌中缺黑桃，缺紅

心,缺方塊，缺草花，則事件

.4=.4)U.4,U.4,U.44

表示北家分到的13張牌中至少缺一種花色.

如果北家分到的13張牌中缺某?種花色,則這13張牌只能從其余三種花

色的牌(共39張)中任意選取，所以有

(、口

P(.4,)=-7T，7=123,4：

C52

如果北家分到的13張牌中缺某兩種花色，則這13張牌只能從其余兩種花色的

牌(共26張)中任意選取,所以有

p(44)=_,1—

4r2

如果北家分到的13張牌中缺某三種花色，則這13張牌只能從第四種花色的牌

(共13張)中取得，所以有

C13

。(,4兒*兒/*)=IJ爺lwy1<Aw4；

L52

又事件兒小兒兒是不可能事件,所以有

P(A{A2A3AA)=0.

丁?是，按概率加法公式(1.31)，當〃=4時，得所求概率

P(.4)nPTiU&U&UA」)

=yp(.4-yp(AA,)

i2IICi

?18?第一章隨機事件及其概率

+￡P(guān)(4ML)-P(AAA.A)

</<AGt24

「13「Bp13

LaoI，”、ia

=4x舟-6x甫+4x得_()=0.()511.

“2U52

(2)設(shè)事件S表示壬家2?到的13張牌中四種花色都有，則B與上述(1)*1'

的.4是對立事件，即4=1或萬=兒我們有