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文檔簡(jiǎn)介

2020-2021學(xué)年贛州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題,共60.0分)

1,定義兩種運(yùn)算a十6=ab,ab=a+b,則函數(shù)/(久)=久便)2-2十%是()

A.非奇非偶函數(shù)且在(-8,+8)上是減函數(shù)

B.非奇非偶函數(shù)且在(-8,+8)上是增函數(shù)

C.偶函數(shù)且在(-8,+8)上是增函數(shù)

D.奇函數(shù)且在(-8,+8)上是減函數(shù)

2.設(shè)集合力={川—1<乂<1},集合8={幻。<%<2},則403等于()

A.{x|-1<%<0}B.{x|0<x<1}

C.{x|l<x<2}D.{%|-1<%<2]

3,下列大小關(guān)系正確的是()

A.皿郎*:瞥喈Y蚓翦第B.額案趴:購(gòu)弟Y瓷

C.幽浦*:艇翦如:警寤D.蜘翦整y警淆7好限

4.設(shè)TH為不小于2的正整數(shù),對(duì)任意幾GZ,若幾=qm+r(其中q,丁GZ,且0<r<m),則記篇(九)=

r,如上(3)=1,%(8)=2,下列關(guān)于該映射篇:ZTZ的命題中,不正確的是()

A.若a,beZf則篇(a+b)=篇(。)+篇(b)

B.若a,b,kEZ,且篇(。)=篇9),則篇(加)=篇(地)

C.若a,b,c,deZf且篇(。)二篇(力),fm(c)=fm(d),則源(a+c)=篇(力+d)

D.若a,b,c,dEZ,且篇(。)=篇(匕),fm?=貝明i(ac)=篇(bd)

5.已知某扇形的弧長(zhǎng)為等圓心角為全則該扇形的面積為()

A27r?—47r、8兀

A.yB.7TC.yD.y

6,函數(shù)/(x)=(*x—小零點(diǎn)的取值范圍是()

A.(0,》B.(葭)C,(|)|)D,(|(1)

7.函數(shù)/(%)=ln|%-2|的圖象是()

8.若不等式Tn/++1>0的解集為夫,則相的取值范圍是()

A.RB.(0,4)

C.[0,4)D.(-co,0)U(4,+oo)

9.已知函數(shù)/(%)=2cos(2%+9)(|0<今的圖象向右平移泠單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

則函數(shù)/(%)在[0,自上的最大值與最小值之和為()

A.—\/3B.—1C.0D.V3

10.已知第6(-71,0),且COS%=-[,則角%等于()

AA.arccos-3Bn.—arccos-3"C.,n+arccos-3cD.—n+,arcc3os-

4444

11.某同學(xué)在研究函數(shù)/(久)=7^不1+,久2一6久+10的性質(zhì)時(shí),受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā),將

/(X)變形為f(x)=-0)2+(0—1)2+J(x一3)2+(0+1)2,則/■(>)表示|P*+|PB|(如圖),

下列關(guān)于函數(shù)f(x)的描述:

①/(%)的圖象是中心對(duì)稱圖形;

②/O)的圖象是軸對(duì)稱圖形;

③函數(shù)/■(X)的值域?yàn)?OO);

④方程Q)]=1+VIU有兩個(gè)解.

則描述正確的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

12.已知sina,cosa是方程3/一2%+a=0的兩個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.—|B.—|C.|D.1

5643

二、單空題(本大題共4小題,共20.0分)

13.集合[2,0,1,9}共有個(gè)子集.(用數(shù)字作答)

14.函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),/(JC)=2x:-x+l,則當(dāng)久>0,

f(x)=,

15.分解因式:5x2+6xy—8y2=.

16.一副三角板由一塊有一個(gè)內(nèi)角為60。的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成,如圖所示,乙B=

乙F=90。,乙4=60。,ZD=45°,BC=DE,現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起,得三棱錐尸-CAB,

取BC中點(diǎn)。與AC中點(diǎn)M,則下列判斷中正確的是(填正確判斷的序號(hào)).

H

①直線BC1面。FM;

②AC與面OFM所成的角為定值;

③設(shè)面ABFC面MOF=I,則有2〃4B;

④三棱錐尸-COM的體積為定值.

三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)

17.已知全集U=R,A={x\x2-2x-3<0],B={x\2<x<5}.

(1)S;

(2)求an(QB).

18.已知函數(shù)/(久)=sbi2x+2cos2;c—1,xER,其中集合。為函數(shù)的定義域.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2)用五點(diǎn)法作出函數(shù)/(%)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

19.已知函數(shù)/(*)=伉尤+其中a為實(shí)常數(shù).

(1)當(dāng)。=1時(shí),計(jì)算由曲線y=/(久)一"x和直線x=0,%=2以及x軸所圍圖形的面積S;

(11)若/0)在(0,+8)上是增函數(shù),求a的取范圍;

(in)若f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)勺,%2,當(dāng)x>o時(shí),比較了嗎:丁2)與吟出的大小.

20.某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游,有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案,甲旅行社的方案是:

如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優(yōu)惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集體票,可

按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價(jià)相同,請(qǐng)問(wèn)該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算?

21.設(shè)函數(shù)/(尤)=sin⑷x—9—2cos2白+>0)直線y=舊與函數(shù)/⑺圖象相鄰兩交點(diǎn)的距

離為兀.

(I)求3的值;

(II)在AABC中,角4、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,若點(diǎn)0)是函數(shù)y=/(久)圖象的一個(gè)對(duì)稱中

心,且6=3,求AABC面積的最大值.

22.已知函數(shù)/(久)=一%2+2團(tuán).

(I)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;

(口)寫出函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間(不需證明);

(HI)求f(x)在[-3,2]上的最大值和最小值.

參考答案及解析

1.答案:A

解析:解:由定義可知=*<8)2-2十比=x+2—2x=-乂+2.為單調(diào)遞減函數(shù).

所以f(一x)=x+24f(x),f(-x)豐-f(%),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

故選:A.

利用奇偶性和單調(diào)性的定義分別判斷.

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷,先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).

2.答案:B

解析:解:集合力={x\-x<Y],集合8={x|0<x<2},

則4CiB={x|0<x<1},

故選:B.

由集合的交集的定義:兩集合的公共元素構(gòu)成的集合,即可得到所求集合.

本題考查集合的交集的求法,注意運(yùn)用一次不等式組的解集,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

3.答案:C

解析:試題分析:根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)可知:幽浦.《:(?<4,箝在MI,根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)士/崛器挈門,

寓售

所以:??;鏟喧—熊啊sm<鏟’,故選擇。.

考點(diǎn):1.指數(shù)對(duì)數(shù)的比較大??;2.指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

4.答案:A

解析:解:根據(jù)題意,篇=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r;

??.對(duì)于4當(dāng)m=3,a=4,b=5時(shí),%(4+5)=0,

%(4)=1,啟⑸=2,%(4+5)W%(4)+啟(5);??.A錯(cuò)誤;

對(duì)于當(dāng)篇(a)=m(b)時(shí),即。=q1m+r,b=q2m+r,???ka=kqrm+kr,kb=kq2m+kr,

即篇(ka)=篇(協(xié));正確;

對(duì)于C,當(dāng)篇(。)=篇(匕),篇(。)=篇9)時(shí),即。=%m+/1,b=q2m+rr,

c=piTH+上,d=p2m+r2,

???a+c=(qi+pi)m+(q+上),b+d=(0+P2)m+(ri+72),

即篇(a+c)=源的+d);???C正確;

對(duì)于O,當(dāng)篇9)=篇(6),篇(C)=An(d)時(shí),

mr9cmrfmr9

即。=91血+71,b=q2+i~Pi+2d—P2+2

2m2rrmrr

ac=q1p1m+(r2Qi+rrp^)m+r1r2>bd=q2P2+(.2Q2+i?2)+i2>

即篇(ac)=^(bd);正確.

故選:A.

根據(jù)題意,篇(m=r表示的意義是n被rn整除所得的余數(shù)r;由此通過(guò)舉反例的方法判斷A錯(cuò)誤,通

過(guò)推理說(shuō)明B、C、D選項(xiàng)正確.

本題考查了映射的定義與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了整除和余數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.

5.答案:A

解析:解:???扇形的圓心角a為熱弧長(zhǎng)/為拳

?,?扇形的半徑丁=-=2,

a

二扇形的面積S=|/r=|x2Xy=y.

故選:A.

利用扇形的圓心角和弧長(zhǎng)可求出扇形的半徑,再求扇形的面積.

本題考查扇形的面積、弧長(zhǎng)公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).

6.答案:C

解析:解:因?yàn)?(0)=1,/(1)=(|)6-(i)l>0

居)=(*(芋>0

fC)=(*(¥<0,

所以,函數(shù)/'(X)=G)x—疵零點(diǎn)的取值范圍是:

故選c

直接求出x=0,g】,1的函數(shù)值,即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.

o32

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,注意函數(shù)值與0的比較,指數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)

用.

7.答案:B

解析:解:函數(shù)的定義域?yàn)?—8,2)U(2,+8),且圖象關(guān)于工=2對(duì)稱,

當(dāng)%>2時(shí),f(x)=ln(x-2)是增函數(shù),當(dāng)x<2時(shí),f(x)=ln(x-2)是減函數(shù),

故只有選線B符合,

故選:B.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可判斷.

本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別,關(guān)鍵掌握函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

8.答案:C

解析:

本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題,注意要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論.

根據(jù)題意,討論二次項(xiàng)系數(shù),分爪=0和巾70時(shí),分別求出6的范圍,求并集即可.

解:根據(jù)題意,分情況討論;

①771=0時(shí),不等式為1>0,恒成立,

解集為R,符合要求;

@m豐0時(shí),不等式+mx+1>0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象在刀軸上方,

即修手—4

解得,。<m<4;

綜合可得:m的取值范圍是[0,4);

故選:C.

9答案:B

解析:解:由題意知,y=2cos(2%+0),圖象向右平移千個(gè)單位長(zhǎng)度后,

得到y(tǒng)=2cos[2(%-+g]=2cos(2x—1+(/?),

其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

???—5+9=kn,kEZ,

即9=三十kn,kEZ,

又切轉(zhuǎn),9E;

/(%)=2cos(2x+)),

又XW[0,自,

.?.2%+巴£[三,生],

3L33J

/(均在[0,自上的最大值為:〃0)=2cosm=1,

最小值為f6)=2cosn=-2,

??.最大值與最小值的和為f(0)+f($=-i.

故選:B.

由y=2cos(2x+<p)的圖象右移t個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求出⑴的值,寫出/(久)的解析

式,再求出〃久)在[。,勺上的最大、最小值即可得出結(jié)論.

本題考查了余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.

10.答案:D

解析:解:cos%7,一…<0,則角光的值為:-兀+arccosf.

故選:D.

直接利用反三角函數(shù)求解角的大小即可.

本題考查三角方程的解法,反三角函數(shù)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.

11.答案:B

解析:解:①因?yàn)?(—%)=/(%)=V%2+1+V%2+6%+10W-/(%),

所以函數(shù)不是奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故①錯(cuò)誤.

②因?yàn)?(|一式)=J(|-%)2+1+](|_比_3)2+1=-|)2+1+](久+|)2+1,

所以f?+久)=〃|一X),即函數(shù)關(guān)于X=|對(duì)稱,故②正確.

③由題意值/'(>)>\AB\,而|4B|=J32+(-1_1)2=V13,所以/'(久)>V13,

即函數(shù)/(比)的值域?yàn)閇JR,+8),故③正確.

④設(shè)/(久)=t,則方程/■[/(%)]=1+V10,等價(jià)為/'(t)=1+V10.

即+1+J(t-3)2+1=1+ViiJ,所以t=o,或t=3.

因?yàn)楹瘮?shù)所以當(dāng)t=0或t=3時(shí),不成立,所以方程無(wú)解,故④錯(cuò)誤.

故選:B.

①因?yàn)楹瘮?shù)不是奇函數(shù),所以錯(cuò)誤.②利用函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行判斷.③利用兩點(diǎn)之間線段最短

證明.④利用函數(shù)的值域進(jìn)行判斷.

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,綜便考查學(xué)生的分析能力,解題時(shí)要注意

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

12.答案:B

解析:解:由題意,根據(jù)韋達(dá)定理得:sina+cosa=|,sinacosa=

sin2a+cos2a=1,

???sin2a+cos2a=(sina+cosa)2—2sinacosa=g一半=1,

解得:a=-f,

o

把a(bǔ)=—代入原方程得:3x2—2%—f=0,VA=>0,

故選:B.

因?yàn)閟ina和cosa是方程3/—2%+a=0的兩個(gè)實(shí)根,所以根據(jù)韋達(dá)定理用a表示出sina+cosa及

sinacosa,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得出關(guān)系式,把表示出的sina+cosa及sinacosa代入得

到關(guān)于a的方程,求出方程的解可得a的值.

此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系的運(yùn)用,韋達(dá)定理及根的判別式的應(yīng)用,靈活運(yùn)用韋達(dá)定理

及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得出關(guān)于zn的方程是解本題的關(guān)鍵.

13.答案:16

解析:

應(yīng)用含有n個(gè)元素的有限集合,其子集的個(gè)數(shù)是2n個(gè),根據(jù)所給的集合中元素個(gè)數(shù),求得結(jié)果.

該題考查的是有關(guān)給定集合子集的個(gè)數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)有含有幾個(gè)元素的有限集合,子集的個(gè)

數(shù)是2n個(gè),屬于簡(jiǎn)單題.

解:因?yàn)榧希?,0,1,9}中有四個(gè)元素,

所以該集合共有24=16個(gè)子集.

故答案是:16.

14.答案:-2X2-X-1-

解析:解:?:■£(x)是定義在R上的奇函數(shù),(0)=0;又;x<0B寸,f(x)=2X2-X+1,

,x>。時(shí),-x<0;.\f(-x)=2(-x)2-(-x)+1=2X2+X+1.又f=-f(x),

f(x)=-f(-x)=-(2x?+x+l)=-2x2-x-1;故答案為:-2x2-x-l?

15.答案:(x+2y)x(5x-4y)

解析:解:5x2+6xy—8y2=(%+2y)X(5x—4y).

故答案為:(%+2y)x(5x-4y).

將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分為2y與-4y的乘積,第一項(xiàng)分為x與5支,利用十字相乘法,得到分解結(jié)果.

本題考查了因式分解-十字相乘法,弄清題中的閱讀材料是解本題的關(guān)鍵.

16.答案:①②③

解析:解:對(duì)于①,由?!睘锳ABC的中位線可得OM〃AB,

則8C10M,BC1OF,且。MC。尸=。,0M,。尸u平面。FM,

所以BCL平面。FM,故選項(xiàng)①正確;

對(duì)于②,由BC_L平面。FM,可得NCM。為直線2C與平面。FM所成的角,

所以NCM。=/.CAB=60°,則AC與面。FM所成的角為定值60。,故選項(xiàng)②正確;

對(duì)于③,如圖所示,過(guò)F在平面OMF內(nèi)作直線〃/OM,而〃4B,所以1//48,

1為平面OMF與平面4BF的交線,故選項(xiàng)③正確;

對(duì)于④,在三棱錐產(chǎn)一COM中,。。,平面。用?,由于C。為定值,

而AOMF的面積不是定值,所以三棱錐F-COM的體積不是定值,故選項(xiàng)④錯(cuò)誤.

故判斷中正確的是①②③.

故答案為:①②③.

由三角形的中位線定理和線面垂直的判定定理可判斷①,由線面角的定義可判斷②,過(guò)F在平面

OMF內(nèi)作直線Z〃OM,結(jié)合平行公理可判斷③,由三棱錐的體積公式可判斷④.

本題以命題真假的判斷為載體考查了線面垂直的判定、線面角的求解、錐體體積的求解,考查了邏

輯推理能力與空間想象能力,屬于中檔題.

17.答案:解:(1)X={x|-1<x<3},

Ci/X={x\x<-1或X>3};

(2)C?B=[x\x<2或久>5),

???An(QB)={x|—1<x<2}.

解析:本題考查了描述法的定義,一元二次不等式的解法,交集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算

能力,屬于基礎(chǔ)題.

(1)可求出集合a,然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可;

(2)進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.

18.答案:解:(1)函數(shù)/(久)=sbi2久+2cos?久—1=sin2久+cos2x=&sin(2x+£).

二函數(shù)fO)的最小正周期r=y=7T;

(2)由(1)可知/(久)=V2sin(2x+^).

五點(diǎn)列表,

TlTl77r

X37r57r

8888~8

71

Q.Tt37r

2x+-0Tl27r

422

y0V20-V20

解析:(1)利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn),即可求解最小正周期;

(2)列表,作圖即可.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫出圖

形,是基礎(chǔ)題.

19.答案:解:(1)當(dāng)口=1時(shí),/(%)=Inx+

y=/(?一伍%=看>。,

S=』;之五=J;(l-^)血=[%-ln(x+1)]|I=2-/n3;

(II)???/(%)在(0,+8)上是增函數(shù),

???/'(%)=:+品2°恒成立,

???a>-」+i)2=_(%+工+2),

XX

?.-%+-+2>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),

XVX

???a>-4,

故a的取范圍為[-4,+8);

(皿)由(口)知廣⑺=聲品,

令(⑶=0,

得到%2+(q+2)x+1=0,

由題意得第1,&是方程的兩根,則第1%2=1,

2

,6)+也)=I吟+含+lnx2+器=lnx1X2+詈+*=a胃X;=a?$

a,

于是JOi)+f(X2)___a__1九%+巖一汽+1_x-lnx-1^

x+1Xx+lXX

設(shè)g(%)=x—Inx—1,

則g,(X)=l—??

當(dāng)g'(%)<0時(shí),即OV%<1,在g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)“(%)>0時(shí),即%>1,在g(%)在(L+8)上單調(diào)遞增,

*,*,9(x)min=9(1)=

???當(dāng)%E(0,+8)時(shí),x—Inx—1>0,

故f(X,)+f(Xz)>"X)T+1,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào).

x+lX

解析:(I)根據(jù)定積分的幾何意義即可求出面積S,

(U)先求導(dǎo),再分離參數(shù),利用基本不等式即可求出a的范圍;

(川)根據(jù)零點(diǎn)即是導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)的方程的根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到與犯=1,化簡(jiǎn)整理人與)+

/(盯),再根據(jù)做差法比較大小,需要構(gòu)造函數(shù)g(X)=x-仇乂-1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,問(wèn)

題得以證明.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系,以及函數(shù)恒成立,不等式的證明等問(wèn)題,

考查了轉(zhuǎn)化能力,運(yùn)算能力,屬于難題.

20.答案:解:設(shè)該家庭共有久人參加旅游,甲、乙兩旅行社收費(fèi)總金額分別為%和內(nèi),一張全票價(jià)格

為a兀,

那么為=a+0.55a(久—1),y2=0.75ax,

yi-%=a+0.55a(x—1)—0.75a比=0.45a—0.2ax=a(0.45—0.2x).

二當(dāng)%>2,25時(shí),%<丫2;

當(dāng)x<2.25時(shí),yi>為■又因%為正整數(shù),

所以當(dāng)x=l,即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社;

當(dāng)x>3(%eN),即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.

解析:本題解決方案是:建模分類比較法,即將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后分不同情況進(jìn)行比

較,最后得

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