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2020-2021學(xué)年贛州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共12小題,共60.0分)
1,定義兩種運(yùn)算a十6=ab,ab=a+b,則函數(shù)/(久)=久便)2-2十%是()
A.非奇非偶函數(shù)且在(-8,+8)上是減函數(shù)
B.非奇非偶函數(shù)且在(-8,+8)上是增函數(shù)
C.偶函數(shù)且在(-8,+8)上是增函數(shù)
D.奇函數(shù)且在(-8,+8)上是減函數(shù)
2.設(shè)集合力={川—1<乂<1},集合8={幻。<%<2},則403等于()
A.{x|-1<%<0}B.{x|0<x<1}
C.{x|l<x<2}D.{%|-1<%<2]
3,下列大小關(guān)系正確的是()
A.皿郎*:瞥喈Y蚓翦第B.額案趴:購(gòu)弟Y瓷
C.幽浦*:艇翦如:警寤D.蜘翦整y警淆7好限
4.設(shè)TH為不小于2的正整數(shù),對(duì)任意幾GZ,若幾=qm+r(其中q,丁GZ,且0<r<m),則記篇(九)=
r,如上(3)=1,%(8)=2,下列關(guān)于該映射篇:ZTZ的命題中,不正確的是()
A.若a,beZf則篇(a+b)=篇(。)+篇(b)
B.若a,b,kEZ,且篇(。)=篇9),則篇(加)=篇(地)
C.若a,b,c,deZf且篇(。)二篇(力),fm(c)=fm(d),則源(a+c)=篇(力+d)
D.若a,b,c,dEZ,且篇(。)=篇(匕),fm?=貝明i(ac)=篇(bd)
5.已知某扇形的弧長(zhǎng)為等圓心角為全則該扇形的面積為()
A27r?—47r、8兀
A.yB.7TC.yD.y
6,函數(shù)/(x)=(*x—小零點(diǎn)的取值范圍是()
A.(0,》B.(葭)C,(|)|)D,(|(1)
7.函數(shù)/(%)=ln|%-2|的圖象是()
8.若不等式Tn/++1>0的解集為夫,則相的取值范圍是()
A.RB.(0,4)
C.[0,4)D.(-co,0)U(4,+oo)
9.已知函數(shù)/(%)=2cos(2%+9)(|0<今的圖象向右平移泠單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
則函數(shù)/(%)在[0,自上的最大值與最小值之和為()
A.—\/3B.—1C.0D.V3
10.已知第6(-71,0),且COS%=-[,則角%等于()
AA.arccos-3Bn.—arccos-3"C.,n+arccos-3cD.—n+,arcc3os-
4444
11.某同學(xué)在研究函數(shù)/(久)=7^不1+,久2一6久+10的性質(zhì)時(shí),受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā),將
/(X)變形為f(x)=-0)2+(0—1)2+J(x一3)2+(0+1)2,則/■(>)表示|P*+|PB|(如圖),
下列關(guān)于函數(shù)f(x)的描述:
①/(%)的圖象是中心對(duì)稱圖形;
②/O)的圖象是軸對(duì)稱圖形;
③函數(shù)/■(X)的值域?yàn)?OO);
④方程Q)]=1+VIU有兩個(gè)解.
則描述正確的是()
A.①②B.②③C.③④D.①④
12.已知sina,cosa是方程3/一2%+a=0的兩個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值為()
A.—|B.—|C.|D.1
5643
二、單空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.集合[2,0,1,9}共有個(gè)子集.(用數(shù)字作答)
14.函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),/(JC)=2x:-x+l,則當(dāng)久>0,
f(x)=,
15.分解因式:5x2+6xy—8y2=.
16.一副三角板由一塊有一個(gè)內(nèi)角為60。的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成,如圖所示,乙B=
乙F=90。,乙4=60。,ZD=45°,BC=DE,現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起,得三棱錐尸-CAB,
取BC中點(diǎn)。與AC中點(diǎn)M,則下列判斷中正確的是(填正確判斷的序號(hào)).
H
①直線BC1面。FM;
②AC與面OFM所成的角為定值;
③設(shè)面ABFC面MOF=I,則有2〃4B;
④三棱錐尸-COM的體積為定值.
三、解答題(本大題共6小題,共70.0分)
17.已知全集U=R,A={x\x2-2x-3<0],B={x\2<x<5}.
(1)S;
(2)求an(QB).
18.已知函數(shù)/(久)=sbi2x+2cos2;c—1,xER,其中集合。為函數(shù)的定義域.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)用五點(diǎn)法作出函數(shù)/(%)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.
19.已知函數(shù)/(*)=伉尤+其中a為實(shí)常數(shù).
(1)當(dāng)。=1時(shí),計(jì)算由曲線y=/(久)一"x和直線x=0,%=2以及x軸所圍圖形的面積S;
(11)若/0)在(0,+8)上是增函數(shù),求a的取范圍;
(in)若f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)勺,%2,當(dāng)x>o時(shí),比較了嗎:丁2)與吟出的大小.
20.某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游,有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案,甲旅行社的方案是:
如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優(yōu)惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集體票,可
按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價(jià)相同,請(qǐng)問(wèn)該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算?
21.設(shè)函數(shù)/(尤)=sin⑷x—9—2cos2白+>0)直線y=舊與函數(shù)/⑺圖象相鄰兩交點(diǎn)的距
離為兀.
(I)求3的值;
(II)在AABC中,角4、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,若點(diǎn)0)是函數(shù)y=/(久)圖象的一個(gè)對(duì)稱中
心,且6=3,求AABC面積的最大值.
22.已知函數(shù)/(久)=一%2+2團(tuán).
(I)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(口)寫出函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間(不需證明);
(HI)求f(x)在[-3,2]上的最大值和最小值.
參考答案及解析
1.答案:A
解析:解:由定義可知=*<8)2-2十比=x+2—2x=-乂+2.為單調(diào)遞減函數(shù).
所以f(一x)=x+24f(x),f(-x)豐-f(%),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
故選:A.
利用奇偶性和單調(diào)性的定義分別判斷.
本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷,先將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ).
2.答案:B
解析:解:集合力={x\-x<Y],集合8={x|0<x<2},
則4CiB={x|0<x<1},
故選:B.
由集合的交集的定義:兩集合的公共元素構(gòu)成的集合,即可得到所求集合.
本題考查集合的交集的求法,注意運(yùn)用一次不等式組的解集,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
3.答案:C
解析:試題分析:根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)可知:幽浦.《:(?<4,箝在MI,根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)士/崛器挈門,
寓售
所以:??;鏟喧—熊啊sm<鏟’,故選擇。.
考點(diǎn):1.指數(shù)對(duì)數(shù)的比較大??;2.指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).
4.答案:A
解析:解:根據(jù)題意,篇=r表示的意義是n被m整除所得的余數(shù)r;
??.對(duì)于4當(dāng)m=3,a=4,b=5時(shí),%(4+5)=0,
%(4)=1,啟⑸=2,%(4+5)W%(4)+啟(5);??.A錯(cuò)誤;
對(duì)于當(dāng)篇(a)=m(b)時(shí),即。=q1m+r,b=q2m+r,???ka=kqrm+kr,kb=kq2m+kr,
即篇(ka)=篇(協(xié));正確;
對(duì)于C,當(dāng)篇(。)=篇(匕),篇(。)=篇9)時(shí),即。=%m+/1,b=q2m+rr,
c=piTH+上,d=p2m+r2,
???a+c=(qi+pi)m+(q+上),b+d=(0+P2)m+(ri+72),
即篇(a+c)=源的+d);???C正確;
對(duì)于O,當(dāng)篇9)=篇(6),篇(C)=An(d)時(shí),
mr9cmrfmr9
即。=91血+71,b=q2+i~Pi+2d—P2+2
2m2rrmrr
ac=q1p1m+(r2Qi+rrp^)m+r1r2>bd=q2P2+(.2Q2+i?2)+i2>
即篇(ac)=^(bd);正確.
故選:A.
根據(jù)題意,篇(m=r表示的意義是n被rn整除所得的余數(shù)r;由此通過(guò)舉反例的方法判斷A錯(cuò)誤,通
過(guò)推理說(shuō)明B、C、D選項(xiàng)正確.
本題考查了映射的定義與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了整除和余數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,是綜合性題目.
5.答案:A
解析:解:???扇形的圓心角a為熱弧長(zhǎng)/為拳
?,?扇形的半徑丁=-=2,
a
二扇形的面積S=|/r=|x2Xy=y.
故選:A.
利用扇形的圓心角和弧長(zhǎng)可求出扇形的半徑,再求扇形的面積.
本題考查扇形的面積、弧長(zhǎng)公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).
6.答案:C
解析:解:因?yàn)?(0)=1,/(1)=(|)6-(i)l>0
居)=(*(芋>0
fC)=(*(¥<0,
所以,函數(shù)/'(X)=G)x—疵零點(diǎn)的取值范圍是:
故選c
直接求出x=0,g】,1的函數(shù)值,即可判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.
o32
本題考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,注意函數(shù)值與0的比較,指數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)
用.
7.答案:B
解析:解:函數(shù)的定義域?yàn)?—8,2)U(2,+8),且圖象關(guān)于工=2對(duì)稱,
當(dāng)%>2時(shí),f(x)=ln(x-2)是增函數(shù),當(dāng)x<2時(shí),f(x)=ln(x-2)是減函數(shù),
故只有選線B符合,
故選:B.
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可判斷.
本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別,關(guān)鍵掌握函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.
8.答案:C
解析:
本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題,注意要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類討論.
根據(jù)題意,討論二次項(xiàng)系數(shù),分爪=0和巾70時(shí),分別求出6的范圍,求并集即可.
解:根據(jù)題意,分情況討論;
①771=0時(shí),不等式為1>0,恒成立,
解集為R,符合要求;
@m豐0時(shí),不等式+mx+1>0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象在刀軸上方,
即修手—4
解得,。<m<4;
綜合可得:m的取值范圍是[0,4);
故選:C.
9答案:B
解析:解:由題意知,y=2cos(2%+0),圖象向右平移千個(gè)單位長(zhǎng)度后,
得到y(tǒng)=2cos[2(%-+g]=2cos(2x—1+(/?),
其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
???—5+9=kn,kEZ,
即9=三十kn,kEZ,
又切轉(zhuǎn),9E;
/(%)=2cos(2x+)),
又XW[0,自,
.?.2%+巴£[三,生],
3L33J
/(均在[0,自上的最大值為:〃0)=2cosm=1,
最小值為f6)=2cosn=-2,
??.最大值與最小值的和為f(0)+f($=-i.
故選:B.
由y=2cos(2x+<p)的圖象右移t個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求出⑴的值,寫出/(久)的解析
式,再求出〃久)在[。,勺上的最大、最小值即可得出結(jié)論.
本題考查了余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題目.
10.答案:D
解析:解:cos%7,一…<0,則角光的值為:-兀+arccosf.
故選:D.
直接利用反三角函數(shù)求解角的大小即可.
本題考查三角方程的解法,反三角函數(shù)的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
11.答案:B
解析:解:①因?yàn)?(—%)=/(%)=V%2+1+V%2+6%+10W-/(%),
所以函數(shù)不是奇函數(shù),所以圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故①錯(cuò)誤.
②因?yàn)?(|一式)=J(|-%)2+1+](|_比_3)2+1=-|)2+1+](久+|)2+1,
所以f?+久)=〃|一X),即函數(shù)關(guān)于X=|對(duì)稱,故②正確.
③由題意值/'(>)>\AB\,而|4B|=J32+(-1_1)2=V13,所以/'(久)>V13,
即函數(shù)/(比)的值域?yàn)閇JR,+8),故③正確.
④設(shè)/(久)=t,則方程/■[/(%)]=1+V10,等價(jià)為/'(t)=1+V10.
即+1+J(t-3)2+1=1+ViiJ,所以t=o,或t=3.
因?yàn)楹瘮?shù)所以當(dāng)t=0或t=3時(shí),不成立,所以方程無(wú)解,故④錯(cuò)誤.
故選:B.
①因?yàn)楹瘮?shù)不是奇函數(shù),所以錯(cuò)誤.②利用函數(shù)對(duì)稱性的定義進(jìn)行判斷.③利用兩點(diǎn)之間線段最短
證明.④利用函數(shù)的值域進(jìn)行判斷.
本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大,綜便考查學(xué)生的分析能力,解題時(shí)要注意
等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
12.答案:B
解析:解:由題意,根據(jù)韋達(dá)定理得:sina+cosa=|,sinacosa=
sin2a+cos2a=1,
???sin2a+cos2a=(sina+cosa)2—2sinacosa=g一半=1,
解得:a=-f,
o
把a(bǔ)=—代入原方程得:3x2—2%—f=0,VA=>0,
故選:B.
因?yàn)閟ina和cosa是方程3/—2%+a=0的兩個(gè)實(shí)根,所以根據(jù)韋達(dá)定理用a表示出sina+cosa及
sinacosa,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得出關(guān)系式,把表示出的sina+cosa及sinacosa代入得
到關(guān)于a的方程,求出方程的解可得a的值.
此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系的運(yùn)用,韋達(dá)定理及根的判別式的應(yīng)用,靈活運(yùn)用韋達(dá)定理
及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得出關(guān)于zn的方程是解本題的關(guān)鍵.
13.答案:16
解析:
應(yīng)用含有n個(gè)元素的有限集合,其子集的個(gè)數(shù)是2n個(gè),根據(jù)所給的集合中元素個(gè)數(shù),求得結(jié)果.
該題考查的是有關(guān)給定集合子集的個(gè)數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)有含有幾個(gè)元素的有限集合,子集的個(gè)
數(shù)是2n個(gè),屬于簡(jiǎn)單題.
解:因?yàn)榧希?,0,1,9}中有四個(gè)元素,
所以該集合共有24=16個(gè)子集.
故答案是:16.
14.答案:-2X2-X-1-
解析:解:?:■£(x)是定義在R上的奇函數(shù),(0)=0;又;x<0B寸,f(x)=2X2-X+1,
,x>。時(shí),-x<0;.\f(-x)=2(-x)2-(-x)+1=2X2+X+1.又f=-f(x),
f(x)=-f(-x)=-(2x?+x+l)=-2x2-x-1;故答案為:-2x2-x-l?
15.答案:(x+2y)x(5x-4y)
解析:解:5x2+6xy—8y2=(%+2y)X(5x—4y).
故答案為:(%+2y)x(5x-4y).
將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分為2y與-4y的乘積,第一項(xiàng)分為x與5支,利用十字相乘法,得到分解結(jié)果.
本題考查了因式分解-十字相乘法,弄清題中的閱讀材料是解本題的關(guān)鍵.
16.答案:①②③
解析:解:對(duì)于①,由?!睘锳ABC的中位線可得OM〃AB,
則8C10M,BC1OF,且。MC。尸=。,0M,。尸u平面。FM,
所以BCL平面。FM,故選項(xiàng)①正確;
對(duì)于②,由BC_L平面。FM,可得NCM。為直線2C與平面。FM所成的角,
所以NCM。=/.CAB=60°,則AC與面。FM所成的角為定值60。,故選項(xiàng)②正確;
對(duì)于③,如圖所示,過(guò)F在平面OMF內(nèi)作直線〃/OM,而〃4B,所以1//48,
1為平面OMF與平面4BF的交線,故選項(xiàng)③正確;
對(duì)于④,在三棱錐產(chǎn)一COM中,。。,平面。用?,由于C。為定值,
而AOMF的面積不是定值,所以三棱錐F-COM的體積不是定值,故選項(xiàng)④錯(cuò)誤.
故判斷中正確的是①②③.
故答案為:①②③.
由三角形的中位線定理和線面垂直的判定定理可判斷①,由線面角的定義可判斷②,過(guò)F在平面
OMF內(nèi)作直線Z〃OM,結(jié)合平行公理可判斷③,由三棱錐的體積公式可判斷④.
本題以命題真假的判斷為載體考查了線面垂直的判定、線面角的求解、錐體體積的求解,考查了邏
輯推理能力與空間想象能力,屬于中檔題.
17.答案:解:(1)X={x|-1<x<3},
Ci/X={x\x<-1或X>3};
(2)C?B=[x\x<2或久>5),
???An(QB)={x|—1<x<2}.
解析:本題考查了描述法的定義,一元二次不等式的解法,交集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算
能力,屬于基礎(chǔ)題.
(1)可求出集合a,然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可;
(2)進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可.
18.答案:解:(1)函數(shù)/(久)=sbi2久+2cos?久—1=sin2久+cos2x=&sin(2x+£).
二函數(shù)fO)的最小正周期r=y=7T;
(2)由(1)可知/(久)=V2sin(2x+^).
五點(diǎn)列表,
TlTl77r
X37r57r
8888~8
71
Q.Tt37r
2x+-0Tl27r
422
y0V20-V20
解析:(1)利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn),即可求解最小正周期;
(2)列表,作圖即可.
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)根據(jù)畫三角函數(shù)的圖象的基本步驟畫出圖
形,是基礎(chǔ)題.
19.答案:解:(1)當(dāng)口=1時(shí),/(%)=Inx+
y=/(?一伍%=看>。,
S=』;之五=J;(l-^)血=[%-ln(x+1)]|I=2-/n3;
(II)???/(%)在(0,+8)上是增函數(shù),
???/'(%)=:+品2°恒成立,
???a>-」+i)2=_(%+工+2),
XX
?.-%+-+2>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),
XVX
???a>-4,
故a的取范圍為[-4,+8);
(皿)由(口)知廣⑺=聲品,
令(⑶=0,
得到%2+(q+2)x+1=0,
由題意得第1,&是方程的兩根,則第1%2=1,
2
,6)+也)=I吟+含+lnx2+器=lnx1X2+詈+*=a胃X;=a?$
a,
于是JOi)+f(X2)___a__1九%+巖一汽+1_x-lnx-1^
x+1Xx+lXX
設(shè)g(%)=x—Inx—1,
則g,(X)=l—??
當(dāng)g'(%)<0時(shí),即OV%<1,在g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減,
當(dāng)“(%)>0時(shí),即%>1,在g(%)在(L+8)上單調(diào)遞增,
*,*,9(x)min=9(1)=
???當(dāng)%E(0,+8)時(shí),x—Inx—1>0,
故f(X,)+f(Xz)>"X)T+1,當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào).
x+lX
解析:(I)根據(jù)定積分的幾何意義即可求出面積S,
(U)先求導(dǎo),再分離參數(shù),利用基本不等式即可求出a的范圍;
(川)根據(jù)零點(diǎn)即是導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)的方程的根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到與犯=1,化簡(jiǎn)整理人與)+
/(盯),再根據(jù)做差法比較大小,需要構(gòu)造函數(shù)g(X)=x-仇乂-1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,問(wèn)
題得以證明.
本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系,以及函數(shù)恒成立,不等式的證明等問(wèn)題,
考查了轉(zhuǎn)化能力,運(yùn)算能力,屬于難題.
20.答案:解:設(shè)該家庭共有久人參加旅游,甲、乙兩旅行社收費(fèi)總金額分別為%和內(nèi),一張全票價(jià)格
為a兀,
那么為=a+0.55a(久—1),y2=0.75ax,
yi-%=a+0.55a(x—1)—0.75a比=0.45a—0.2ax=a(0.45—0.2x).
二當(dāng)%>2,25時(shí),%<丫2;
當(dāng)x<2.25時(shí),yi>為■又因%為正整數(shù),
所以當(dāng)x=l,即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社;
當(dāng)x>3(%eN),即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.
解析:本題解決方案是:建模分類比較法,即將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后分不同情況進(jìn)行比
較,最后得
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