《微積分二》廣義積分與G函數(shù)

0xyy=f(x)ab前情回顧1.旋轉(zhuǎn)體的體積(實(shí)心)繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體前情回顧旋轉(zhuǎn)體的體積〔空心〕繞x軸旋轉(zhuǎn)的空心旋轉(zhuǎn)體繞y軸旋轉(zhuǎn)的空心旋轉(zhuǎn)體前情回顧2.積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用〔1〕總量的變化率求總量的改變量〔2〕邊際函數(shù)求總量函數(shù)▲已知邊際成本

，求總成本C(x):▲

已知邊際收益

，求總收益R(x):一、廣義積分二、

函數(shù)§6.8廣義積分與

函數(shù)破壞這兩個(gè)條件中的一條，就稱為廣義積分.引入定積分概念時(shí)，有兩個(gè)根本要求：1、積分區(qū)間[a,b]是有限的；2、被積函數(shù)f(x)在[a,b]上是有界的.這種通常意義下的積分稱為常義積分.對應(yīng)上面的兩個(gè)條件，若[a,b]變?yōu)闊o限區(qū)間，則稱

為無窮限積分；

若

f(x)為無界函數(shù)，則稱

為瑕積分.一、廣義積分〔一〕問題的提出解：由定積分的幾何意義0xyy=11+x2AbB在(0,+∞)內(nèi)任取一點(diǎn)b，過b作x軸的垂線x=b，那么曲邊梯形A0bB的面積當(dāng)b→+∞時(shí)，

即〔二〕無窮限的廣義積分求由曲線與坐標(biāo)軸所“圍成”的開口曲邊梯形的面積.1、引例0xyy=11+x2A定義6

2(無窮限廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上連續(xù)

如果極限存在那么稱此極限值為f(x)在[a,)上的廣義積分記作2、概念定義6

2(無窮限廣義積分)2、概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,b]上連續(xù)

如果極限存在那么稱此極限值為f(x)在(,b]上的廣義積分記作定義6

2(無窮限廣義積分)2、概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)上連續(xù)那么f(x)在(,)上的廣義積分定義為

解

(1)計(jì)算步驟:先求定積分,再取極限.3、計(jì)算(2)約定記號:若

，則(1)計(jì)算步驟:先求定積分,再取極限.3、計(jì)算書寫太繁

解

例2

思考：？所以發(fā)散，從而也發(fā)散.思考：注:

“偶倍奇零”只有當(dāng)廣義積分收斂時(shí)適用！練習(xí)：判別下列廣義積分的斂散性.例4.討論

的斂散性.解:當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)時(shí)，故

在

時(shí)收斂；在時(shí)發(fā)散.〔三〕無界函數(shù)的反常積分瑕積分如果

f(x)在區(qū)間[a,b]上某點(diǎn)無窮間斷，則稱該點(diǎn)為f(x)的瑕點(diǎn)，并稱積分

為瑕積分.注：一個(gè)積分是不是瑕積分，就是看在積分區(qū)間上有沒有無窮間斷點(diǎn).C例5.下列積分屬于瑕積分的是_____

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)

當(dāng)x

a

時(shí)

f(x)

無窮限廣義積分的處理手法：無界函數(shù)的廣義積分如何處理？

定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)

當(dāng)x

a

時(shí)

f(x)

如果存在那么稱此極限為無界函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分記作

如果上述極限不存在

就說廣義積分不存在或發(fā)散

定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù)

當(dāng)x

b

時(shí)

f(x)

如果存在那么稱此極限為無界函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分記作

如果上述極限不存在

就說廣義積分不存在或發(fā)散

定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù)而當(dāng)xc時(shí)f(x)那么f(x)在[a,b]上的廣義積分定義為(2)約定記號:若

，則(1)計(jì)算步驟:先求定積分,再取極限.瑕積分的計(jì)算

解

顯然x=0為瑕點(diǎn)提示

例6.

解

顯然x=0為三個(gè)廣義積分的瑕點(diǎn).收斂發(fā)散發(fā)散綜上：當(dāng)p<1時(shí)，原積分收斂；當(dāng)

時(shí)，原積分發(fā)散.在p<1時(shí)收斂；在

時(shí)發(fā)散.

在

時(shí)收斂；在時(shí)發(fā)散.注：被積函數(shù)假設(shè)不滿足可積條件,那么不能使用牛頓-萊布尼茲公式.例9.二、

函數(shù)

解：此題分部積分兩次，假設(shè)被積函數(shù)中x的指數(shù)為一百，那么需分部積分一百次！定義6

4(

函數(shù))遞推公式

(r

1)

積分是參變量r的函數(shù)

稱為

函數(shù)

r

(r)(r>0)

(n

1)

n!(n為正整數(shù))

概率論中常用

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n為正整數(shù))

例9

2

4

1

4

0

4

(0

4)

(3

4)

(2

4

1)

2

4

(2

4)

2

4

(1

4

1)

2

4

1

4

(1

4)

2

4

1

4

(0

4

1)例10.