高二數(shù)學(xué)人選修課件時(shí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

高二數(shù)學(xué)人選修課件時(shí)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程匯報(bào)人：XX20XX-01-17橢圓基本概念與性質(zhì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解方法橢圓與直線關(guān)系橢圓在坐標(biāo)系中變換復(fù)雜圖形中橢圓問(wèn)題處理方法總結(jié)回顧與拓展延伸contents目錄橢圓基本概念與性質(zhì)01平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。橢圓定義橢圓是一種圓錐曲線，它描述了一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)固定點(diǎn)的距離與到一條固定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的集合。幾何意義橢圓定義及幾何意義

焦點(diǎn)、焦距和長(zhǎng)短軸焦點(diǎn)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是橢圓內(nèi)部?jī)蓚€(gè)特殊的點(diǎn)，它們位于橢圓的長(zhǎng)軸上，且到橢圓上任意一點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度。焦距兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做橢圓的焦距，用2c表示。長(zhǎng)短軸橢圓的長(zhǎng)軸是通過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn)且長(zhǎng)度等于2a的線段，短軸是與長(zhǎng)軸垂直且通過(guò)橢圓中心的線段，長(zhǎng)度等于2b。到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)P，有|PF1|+|PF2|=2a。到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比等于離心率對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)P和任一焦點(diǎn)F，有|PF|/d=e，其中d是點(diǎn)P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離，e是橢圓的離心率。橢圓上任意一點(diǎn)性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，一種是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1（橫軸在x軸上），另一種是(y^2/a^2)+(x^2/b^2)=1（橫軸在y軸上）。參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t為參數(shù)，表示橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)。橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解方法02方程形式對(duì)于形如$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$的橢圓方程，可以通過(guò)直接代入法求解。求解步驟首先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后直接代入點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解。直接代入法求解對(duì)于不能通過(guò)直接代入法求解的橢圓方程，可以采用配方法進(jìn)行求解。首先通過(guò)配方將原方程化為完全平方的形式，然后根據(jù)完全平方的性質(zhì)進(jìn)行求解。配方法求解求解步驟方程形式對(duì)于含有參數(shù)的橢圓方程，可以采用判別式法進(jìn)行求解。方程形式首先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，構(gòu)造出關(guān)于參數(shù)的二次方程，然后利用判別式的性質(zhì)進(jìn)行求解。求解步驟判別式法求解已知橢圓$C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓$C$上，且$PF_1perpPF_2$，$|PF_1|cdot|PF_2|=4$，則橢圓$C$的離心率為_(kāi)___。例題一過(guò)橢圓$frac{x^2}{5}+frac{y^2}{4}=1$的右焦點(diǎn)作一條斜率為$2$的直線與橢圓交于$A,B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$bigtriangleupOAB$的面積為_(kāi)___。例題二典型例題分析橢圓與直線關(guān)系03直線與橢圓相交條件通過(guò)聯(lián)立直線與橢圓方程，消元后得到一元二次方程，根據(jù)判別式判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。當(dāng)判別式大于0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)判別式等于0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)判別式小于0時(shí)，直線與橢圓相離。判別式法通過(guò)繪制直線與橢圓的圖形，觀察它們的位置關(guān)系。當(dāng)直線穿過(guò)橢圓內(nèi)部時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相離。圖形法VS切線在切點(diǎn)處的斜率等于橢圓在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的橢圓，其在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的導(dǎo)數(shù)為$-b^2x_0/a^2y_0$。因此，過(guò)點(diǎn)$(x_0,y_0)$的切線方程為$y-y_0=-b^2x_0/a^2y_0(x-x_0)$。判定定理對(duì)于給定的直線和橢圓，如果它們滿足以下條件之一，則該直線是橢圓的切線：（1）直線在橢圓內(nèi)部且只與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)；（2）直線的斜率等于橢圓在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。切線性質(zhì)切線性質(zhì)及判定定理切線長(zhǎng)公式應(yīng)用舉例切線長(zhǎng)公式對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程為$x^2/a^2+y^2/b^2=1$的橢圓，過(guò)點(diǎn)$(x_0,y_0)$的切線長(zhǎng)為$2sqrt{a^2-x_0^2}sqrt{b^2-y_0^2}/ab$。應(yīng)用舉例已知橢圓$x^2/9+y^2/4=1$和點(diǎn)$P(3,2)$，求過(guò)點(diǎn)P的切線長(zhǎng)。根據(jù)切線長(zhǎng)公式，過(guò)點(diǎn)P的切線長(zhǎng)為$2sqrt{9-3^2}sqrt{4-2^2}/3times2=4sqrt{3}/3$。例題101已知橢圓$C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，過(guò)$F_1$的直線$l$與C交于$A,B$兩點(diǎn)，若$|AF_1|=3|F_1B|$，且$|AB|=4$，則C的離心率為_(kāi)___。分析02本題考查了橢圓的定義、性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系。首先根據(jù)題意設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用橢圓的定義和性質(zhì)列出方程組求解出a、c的值，最后根據(jù)離心率公式求出離心率。例題203已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$frac{sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(1,frac{sqrt{5}}{4})$。典型例題分析(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程。分析：(1)根據(jù)題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用離心率和過(guò)點(diǎn)的條件列出方程組求解出a、b的值即可得到橢圓的方程。(2)設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線l的方程，然后聯(lián)立直線和橢圓的方程消元得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直線的斜率即可得到直線的方程。典型例題分析橢圓在坐標(biāo)系中變換04若橢圓中心從原點(diǎn)平移到點(diǎn)$(h,k)$，則其方程變?yōu)?frac{(x-h)^2}{a^2}+frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。平移不改變橢圓的形狀和大小，只改變其位置。平移公式平移性質(zhì)平移變換規(guī)律伸縮公式若橢圓在$x$軸方向伸縮系數(shù)為$m$，在$y$軸方向伸縮系數(shù)為$n$，則其方程變?yōu)?frac{x^2}{a^2m^2}+frac{y^2}{b^2n^2}=1$。伸縮性質(zhì)伸縮會(huì)改變橢圓的形狀，但保持其中心位置不變。伸縮變換規(guī)律橢圓關(guān)于其中心對(duì)稱，也關(guān)于其長(zhǎng)軸和短軸對(duì)稱。對(duì)稱性若橢圓關(guān)于$x$軸對(duì)稱，則其方程不變；若關(guān)于$y$軸對(duì)稱，則其方程變?yōu)?frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1$。對(duì)稱公式對(duì)稱變換規(guī)律已知橢圓$frac{x^2}{16}+frac{y^2}{9}=1$，求其經(jīng)過(guò)平移和伸縮變換后的新方程。例題1已知橢圓$frac{(x-2)^2}{9}+frac{(y+1)^2}{4}=1$，判斷其對(duì)稱性質(zhì)并給出證明。例題2已知橢圓$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$和點(diǎn)$P(x_0,y_0)$，判斷點(diǎn)$P$是否在橢圓上，并給出證明。例題3典型例題分析復(fù)雜圖形中橢圓問(wèn)題處理方法05參數(shù)方程基本概念橢圓的參數(shù)方程是以角度為參數(shù)，表示橢圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)的方程。通過(guò)參數(shù)方程，可以將橢圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行處理。要點(diǎn)一要點(diǎn)二參數(shù)方程的應(yīng)用利用橢圓的參數(shù)方程，可以解決與橢圓相關(guān)的最值、范圍、交點(diǎn)等問(wèn)題。同時(shí)，參數(shù)方程也可以用于描述橢圓的性質(zhì)和特征，如離心率、焦點(diǎn)等。利用參數(shù)方程處理問(wèn)題極坐標(biāo)基本概念極坐標(biāo)是一種用極徑和極角表示平面上任意一點(diǎn)位置的方法。對(duì)于橢圓問(wèn)題，可以通過(guò)極坐標(biāo)將橢圓方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于極徑和極角的方程。極坐標(biāo)的應(yīng)用利用橢圓的極坐標(biāo)方程，可以解決與橢圓相關(guān)的面積、周長(zhǎng)、切線等問(wèn)題。同時(shí)，極坐標(biāo)也可以用于描述橢圓的形狀和大小，如長(zhǎng)短軸、離心率等。利用極坐標(biāo)處理問(wèn)題向量基本概念向量是既有大小又有方向的量，可以表示空間中的點(diǎn)、線、面等幾何元素。對(duì)于橢圓問(wèn)題，可以利用向量工具描述橢圓上的點(diǎn)、切線等。向量的應(yīng)用利用向量工具，可以解決與橢圓相關(guān)的切線、法線、距離等問(wèn)題。同時(shí)，向量也可以用于描述橢圓的對(duì)稱性和平移性質(zhì)等。利用向量工具處理問(wèn)題例題一已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)M(4,1)。求橢圓C的方程。例題二過(guò)橢圓x^2/9+y^2/4=1內(nèi)一點(diǎn)P(2,1)作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若P是線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程。例題三已知橢圓C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為√3/3，直線l:y=kx+m與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)。若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為√3/2，求△AOB面積的最大值。典型例題分析總結(jié)回顧與拓展延伸06平面內(nèi)與兩定點(diǎn)$F_1,F_2$的距離之和等于常數(shù)$2a$（$2a>|F_1F_2|$）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。橢圓定義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的性質(zhì)$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其中$a,b$分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。包括對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)。030201關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧橢圓與直線的位置關(guān)系在求解橢圓與直線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需要注意消元后二次方程的解的判別式，以及交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式符號(hào)的關(guān)系。參數(shù)范圍限制在求解橢圓問(wèn)題時(shí)，需要注意參數(shù)范圍的限制，如離心率的取值范圍等。焦點(diǎn)位置判斷在求解橢圓方程時(shí)，需要注意焦點(diǎn)位置的不同會(huì)影響方程的形式，應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)行判斷。易錯(cuò)難點(diǎn)剖析指正（2019年全國(guó)卷I理科數(shù)學(xué)第20題）已知橢圓$C:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，點(diǎn)$P$在橢圓上，且$PF_1perpPF_2,|PF_1|cdot|PF_2|=4$，若點(diǎn)$P$到橢圓$C$的左頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離之積為$7$，則橢圓$C$的離心率為_(kāi)___。題目一（2020年全國(guó)卷II理科數(shù)學(xué)第21題）已知橢圓$Gamma:frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1,F_2$，過(guò)點(diǎn)$F_1$的直線與橢圓交于$A,B$兩點(diǎn)，若$DeltaABF_2$的周長(zhǎng)為$16$，且$cosangleABF_2=frac{1}{3}$，則$Gamma$的離心率為_(kāi)___。題目二高考真題模擬訓(xùn)練雙曲線與橢圓類似，雙曲線也是由平面截圓錐得到的二次曲線。其標(biāo)準(zhǔn)方程為$