2021年高考【熱點(diǎn)·重點(diǎn)·難點(diǎn)】：重難點(diǎn)05空間向量與立體幾何（解析版）

重難點(diǎn)05空間向量與立體幾何

，命題趨勢）

立體幾何在高考數(shù)學(xué)是一個(gè)必考知識點(diǎn)，一直在高中數(shù)學(xué)中占有很大的分值，未來的高考中立體幾何也

會持續(xù)成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，理科高考中立體幾何主要考查三視圖的相關(guān)性質(zhì)利用，簡單幾何體的體積，

表面積以及外接圓問題.另外選擇部分主要考查在點(diǎn)線面位置關(guān)系，簡單幾何體三視圖.選擇題主要還是以幾

何體的基本性質(zhì)為主，解答題部分主要考查平行，垂直關(guān)系以及二面角問題.前面的重點(diǎn)專題已經(jīng)對立體兒

何進(jìn)行了一系列詳細(xì)的說明，本專題繼續(xù)加強(qiáng)對高考中立體幾何出現(xiàn)的習(xí)題以及對應(yīng)的題目類型進(jìn)行必要

的加強(qiáng).本專題包含了高考中幾乎所有題型，學(xué)完本專題以后，對以后所有的立體幾何你將有一個(gè)更加清晰

的認(rèn)識.

【知識點(diǎn)分析以及滿分技巧】

基礎(chǔ)知識點(diǎn)考查：一般來說遵循三短一長選最長.要學(xué)會抽象問題具體會，將題目中的直線轉(zhuǎn)化成顯示中

的具體事務(wù)，例如立體坐標(biāo)系可以看做是一個(gè)教室的墻角

有關(guān)外接圓問題：一般圖形可以采用補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成正方體或者是長方體，再利用不在同一個(gè)平

面的四點(diǎn)確定一個(gè)立體平面原理，從而去求.

內(nèi)切圓問題：轉(zhuǎn)化成正方體的內(nèi)切圓去求.

求點(diǎn)到平面的距離問題：采用等體積法.

求幾何體的表面積體積問題：應(yīng)注意巧妙選取底面積與高.

對于二面角問題應(yīng)采用建立立體坐標(biāo)系去求.但是坐標(biāo)系要注意采用左手系務(wù)必要標(biāo)記準(zhǔn)確對應(yīng)點(diǎn)以及

法向量對應(yīng)的坐標(biāo).

【常見題型限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：60分鐘）

一、單選題

1.（2020?上海閔行區(qū)?高三一模）如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長和高均為2,“是側(cè)棱PC的中點(diǎn),

若過AM作該正四棱錐的截面，分別交棱PB、PD于點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），則四棱錐P—的體積的

【答案】D

【分析】設(shè)器=X,需=y，則PE=xPB,PF=yPD,然后利用等體積法由

23y

^P-AEMF=VP-AEF+Vp-EMF=^P-AFM+^P-AEM=2肛=+>),得到*="T"，再消兀得到

3"

2?二二，令3y—l=t,利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解.

^P-AEMF

33y-l

PEPF

【詳解】設(shè)一=無一=y^\PE=xPBPF=yPD

PBPDy

412

所以Vp/=町-Vp-ABD=]^P-MEF=^P-BCD=§孫，

_1_2_1_2

vVP-AFM=5y.VvP-ACD=§XVP-AEM二萬".vVP-ABC=，

^P-AEMF=^P-AEF+Vp-EMF=^P-AFM+^P-AEM~2%)'=§(元+V)，

c3y

所以x+y=3d，則%=：;----

3>—1

令3y—l=f,因?yàn)閥eg,l,

所以，￡二2,

l_2J

所以衛(wèi)二=（'+1）2

3y-l9t91

所以％-AEMF="

33y-l

故選:D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知

幾何體的某一面上.求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體

以便于求解.

2.（2019?上海市七寶中學(xué)高三月考）在圓錐P。中，已知高?0=2,底面圓的半徑為4,〃為母線PB的

中點(diǎn)；根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)

命題，正確的個(gè)數(shù)為（）

1?o-?/r.C3?/;l?0??1?'八?li

①圓的面積為4萬；

②橢圓的長軸為西；

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為-之

4

④拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為延.

5

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)〃是母線的中點(diǎn)，求出截面圓的半徑即可判斷①；由勾股定理求出橢圓長軸可判斷②：建

立坐標(biāo)系，求出的關(guān)系可判斷③；建立坐標(biāo)系，求出拋物線方程，可判斷④.

【詳解】①點(diǎn)〃是母線的中點(diǎn)，二截面的半徑r=2，因此面積=萬x22=4萬，故①正確；

②由勾股定理可得橢圓的長軸為=J（4+2y+『=J方,故②正確；

③在與底面、平面Q46的垂直且過點(diǎn)M的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

12解得〃

多一斗=1（42>0）,則M（l,0）,即a=1,把點(diǎn)（2,2石卜弋入可得4一=1,=2,;.2=2,

a~h~a

2x244

設(shè)雙曲線兩漸近線的夾角為26,「.tan26=-=一一，.?.sin26=一,因比雙曲線兩漸近線的夾角為

1-22735

4

arcsin—,③不正確;

④建立直角坐標(biāo)系，不彷設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2px,把點(diǎn)（舊,4"弋入可得42=2〃，解得

〃=述，.?.拋物線中焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離P為曳5,④不正確，故選B.

55

【點(diǎn)睛】本題通過對多個(gè)命題真假的判斷，綜合考查圓錐的性質(zhì)、橢圓的性質(zhì)、雙曲線的性質(zhì)，拋物線的

方程與性質(zhì)，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R點(diǎn)掌握不

好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注

意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.

3.（2018?上海楊浦區(qū)?高三期中）如圖所示，已知P41面ABC，AD1BC于D，BC=CD=AD=1.令

PD=x，乙BPC=8,貝I（）

x

A.tan8—至彩B.tand=Sj

C.3血=*D.tan?=/+]

【答案】A

【分析】由PA_L平面ABC,ADJ_BC于D,BC=CD=AD=1,利用x表示PA,PB,PC,由余弦定理得到關(guān)

T-x的解析式，進(jìn)一步利用x表示tan。。

【詳解】因?yàn)镻AL平面ABC,ADJ_BC于D,BC=CD=AD=1,設(shè)PD=x,

所以4C=y/2,AB=V5,PA=V%2-1>PC=>Jx2+l,BP=

在APBC中，根據(jù)余弦定理可得

PB2+PC2-BC22^4-4

COS0=

-2BPxPC-2\/X2+17X24-4

所以ta#八高一「窄察1一1二

所以tan，=,+2

所以選A

【點(diǎn)睛】

本題考杳直線與平面垂直的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查空間中線線、線面、面面間

的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題。

二、填空題

4.（2020?上海高三專題練習(xí)）如果三棱錐的底面是邊長為。的等邊三角形，兩條側(cè)棱長為巫。,那么它

2

的第三條側(cè)棱長的取值范圍為.

【答案】（日見（^）

【分析】作AC中點(diǎn)/，求出￡>尸=品，3/=立0，要構(gòu)成三棱錐，則必須0<NDEB（萬

2

即DF-FB<BD<DF+FB即可.

【詳解】

如圖，AB—BC—AC-a，AD=CD=-----a

2

作AC中點(diǎn)尸.連接OE,BE

則DF=J（學(xué)］各=扃，哈林―（92邛a

要構(gòu)成三棱錐，則棱3。變化必須滿足0<ADFB<71

當(dāng)NOEBT■。時(shí)（即。翻折到3位置），第三條棱BD—DF-FB=Ba

2

當(dāng)/DEBT?"時(shí)（即。翻折到。位置），第三條梭BDTDF+FB=巫&

2

綜上正a<8O<°Ga

22

故答案為：（岑a,?Ga）

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體翻折問題.求解翻折（轉(zhuǎn)）問題的關(guān)鍵及注意事項(xiàng):

求解平面圖形翻折（轉(zhuǎn)）問題的關(guān)鍵是弄清原有的性質(zhì)變化與否，即翻折（轉(zhuǎn)）后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)

生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.應(yīng)注意：

（1）點(diǎn)的變化，點(diǎn)與點(diǎn)的重合及點(diǎn)的位置變化；

（2）線的變化，翻折（轉(zhuǎn)）前后，若線始終在同一平面內(nèi)，則它們的位置關(guān)系不發(fā)生變化，若線與線由在一個(gè)平

面內(nèi)轉(zhuǎn)變?yōu)椴辉谕粋€(gè)平面內(nèi)，應(yīng)注意其位置關(guān)系的變化；

（3）長度、角度等幾何度量的變化.

5.（2018?上海市七寶中學(xué)高三開學(xué)考試）下列命題：

1TIX+V=—1

①關(guān)于x、y的二元一次方程組仁-.的系數(shù)行列式o=o是該方程組有解的必要非充分條

3mx—my=2m+3

件；

②已知E、F、G、”是空間四點(diǎn)，命題甲：E、F、G、〃四點(diǎn)不共面，命題乙:直線所和G”不相交,

則甲成立是乙成立的充分非必要條件；

③"a<2”是"對任意的實(shí)數(shù)%,|x+l|+|x-l|>a恒成立”的充要條件；

④“p=0或p=-4”是“關(guān)于x的方程K=p有且僅有一個(gè)實(shí)根”的充要條件；

x

其中，真命題序號是

【答案】②

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷,即可得出答案.

mx+y=-1

【詳解】對于①，系數(shù)行列式。H0,美/X、y的二元一次方程組｛Jc有唯一解，

3mx—my=2m+3

。=0是該方程組有解的非充分條件

又系數(shù)行列式。=0,。尸0或

關(guān)于x、y的二元一次方程組仁-一.無解

3mx—my=2m+3

系數(shù)行列式。=0,Dx=Dy=0

mx+y=-1

關(guān)于x、y的二元一次方程組、-c.有無窮組解

3mx-my-2m+3

mx+y=—1

,關(guān)于％、y的二元一次方程組■c.的系數(shù)行列式。=o是該方程組有解的非必要非充分

3mx—my=2m+3

條件；

故①不正確；

對于②，已知E、F、G、”是空間四點(diǎn)，命題甲：E、F、G、H四點(diǎn)不共面,命題乙:直線EF和GH不

相交.

命題甲可以推出命題乙，甲成立是乙成立的充分條件

又直線防和G”不相交，當(dāng)G”,即￡、F、G、”四點(diǎn)共面，

?-.命題乙不能推出命題甲，甲成立是乙成立的非必要條件

甲成立是乙成立的充分非必要條件.

故②正確；

對于③，設(shè)y=U+i|+|xT|

當(dāng)xNl時(shí)，y=2x>2；

當(dāng)一l?x<l時(shí),y=2；

當(dāng)x<—1時(shí),y=-2x>2.

故|x+l|+|x-l|22

。<2能推出任意的實(shí)數(shù)九|》+1|+|》一1|2。

又對任意的實(shí)數(shù)八口+1|+|%—1|2。不能推出。<2

故"a<2”是"對任意的實(shí)數(shù)x,Ix+11+|x-1匡a恒成立”的充分不必要:條件

故③不成立；

對于④,由關(guān)于尤的實(shí)系數(shù)方程2=x+p有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得：/+px—2=0,

X

由Aup2+dpu。得：〃=0或〃=-4

當(dāng)p=o時(shí)，得x=0,檢驗(yàn)知：X=0不是方程g=x+p的實(shí)根,故此時(shí)方程無解

X

當(dāng)，=-4時(shí)，f_4x+4=0,解得x=2,檢驗(yàn)知：x=2是方程K=x+p的實(shí)根.

X

故此時(shí)關(guān)于X的方程K=x+P有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

X

二“p=0或，=T”不能推出“關(guān)于x的方程K=x+p有且僅有?個(gè)實(shí)根”

X

又關(guān)于X的方程￡=x+P有且僅有一個(gè)實(shí)根也不能推出“p=0或〃=-4”

X

"p=0或p=-4”是“關(guān)于x的方程￡=x+p有且僅有一個(gè)實(shí)根”的既不充分也不必要條件.

X

故④錯(cuò)誤.

故答案為:②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定，其中熟記充分條件和必要條件的判定方法是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔題.

6.（2019?寶山區(qū)?上海交大附中高三月考）設(shè)三棱錐V—A5C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，尸是棱L4

上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線依與直線AC所成的角為a,直線P3與平面ABC所成的角為尸，二面角

P—AC—B的平面角為7,則三個(gè)角a、B/中最小的角是.

【答案】B

【分析】作出線線角a,線面角廣，二面角/,根據(jù)它們的正弦值，比較出它們的大小關(guān)系.

【詳解】作尸。//C4交VC于。，由于AB=BC=C4,VA^VB=VC,所以V—A5C為正三棱錐，由

對稱性知取中點(diǎn)E，連接5E，作石HL平面A8C，交平面ABC于“，連接8”.作依，

平面ABC，交平面ABC于尸，連接8凡作PGLAC，交AC于G,連接GE，所以8￡_LPZ）由于

PD//AC,所以a=ZBPZ＞由于相，平面A8C，所以尸=/依￡由于PG_LAC,平面ABC，

所以y=NPGF.

sina="=Yl反H互二＞近反二=空.因?yàn)槭?/C4，E在PZ）上，E〃_L平面ABC于"，

BPBPBPBP

ppEH

"_L平面A8C于尸，所以團(tuán)=尸產(chǎn).所以sin4=而=方.所以sinosin，.由于都是銳角，

所以a＞尸.

PFPFPF

由于P在立4上，由對稱性尸B=CP，而"＞。6,則4117=——＞—=——=sin^,由于/也是銳

PGCPBP

角，所以了＞￡.

綜上所述，?:個(gè)角中的最小角是夕.

故答案為:P.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線角、線面角、二面角的概念，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象

能力，屬于中檔題.

7.（2018?上海華師大二附中高三開學(xué)考試）已知用“斜二測”畫圖法畫一個(gè)水平放置的圓時(shí)，所得圖形是

橢圓，則該橢圓的離心率為

［答案］.歷-17

2

【分析】為了簡化問題，我們可以設(shè)單位圓x2+y2=l,先求出單位圓直觀圖的方程（x-y）2+8y2=l.畫出圓的

外切正方形，和橢圓的外切平行四邊形，橢圓經(jīng)過了適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，0C即為橢圓的a,0D即為橢圓的b,根據(jù)

橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大為a,最小為b,我們可以求出a和b,從而推導(dǎo)出離心率.

【詳解】為了簡化問題，我們可以設(shè)單位圓x2+y2=l,即圓上的點(diǎn)P（cos。，sin。），第一步變換，到它

在x軸的投影的距離縮短-半，即尸'（cos。，0.5sin。），第二步變換，繞著投影點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，即

P"（cosO+^sinO,Esin。），所以據(jù)此得到單位圓的直觀圖的參數(shù)方程為，x=cos。+也sin。，

444

y=—sinO,（）為參數(shù)，消去參數(shù)可得方程為，（x-y）2+8y2=L

4

y

l\cosO.sinO)

得到單位圓的直觀圖后，和上面一樣，我們畫出圓的外切正方形，和橢圓的外切平行四邊形，當(dāng)然就相當(dāng)

完美了！A、B處均與橢圓相切，并且可以輕易發(fā)現(xiàn)，橢圓的長軸其實(shí)已經(jīng)不在x軸上了

該橢圓經(jīng)過了適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，0C即為橢圓的a,0D即為橢圓的b,根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大為a,最小

為b,我們可以求出a和b,從而推導(dǎo)出離心率.

橢圓上的點(diǎn)(cosO^sinO,YZsin?)到原點(diǎn)的距離的平方為

44

d~=(cosO+^'Sin。)？+(^^sin6)2=cos2^+—sin2+-^sin26

4444

_J2?“3.八5sin（26+夕）+工'

——sin2。H—cos26~i—

488

所以/=“'="普萬=%=呼

所以02=:2歷5717-17

a5+7174

故答案為‘5而二］2

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查直觀圖的畫法，考查圓的直觀圖的方程的求法，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的最

值，考查橢圓離心率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

8.（2020?上海高三專題練習(xí)）如圖，AO與8c是四面體ABCZ）中互相垂直的棱，8c=2.若AZ）=2c,且

AB+BD^AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù)，則四面體ABC。的體積的最大值是.

作于E,連接C￡,則40,平面8EC,所以CE_LAO,由題設(shè)，8與C都是在以AD為焦距的橢球

上，且8E、CE都垂直于焦距AC,所以BE=CE.取8C中點(diǎn)R

連接EF,則ERL8C,EF=2,5皿=±BC.EF=4BE：-1,四面體48co的體積

2

V=klD-S^EC=fyjBE-1>顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即8是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為6=八：-1'

所以%X=TAM：-C：-1-

［評注］本題把橢圓拓展到空間，對缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要

的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：A8=3D（同時(shí)AC=C0,從而致命一擊，逃

出生天！

9.（2020?上海高三專題練習(xí)）正四面體ABCD的棱長為1,棱AB〃平面a,則正四面體上的所有點(diǎn)在平面

a內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是

【解析】本題考查立體幾何的動(dòng)態(tài)性問題，應(yīng)“以靜制動(dòng)，極端位置”破題.如圖，邊長為變的正方體中有

2

棱長為1的正四面體ABCD,當(dāng)平面a與底面。4cA平行或重合時(shí)，正四面體的射影為四邊形DB|CA，

最大面積S=^x《Z=L；取CD的中點(diǎn)O,連接OA,OB,則CD_L平面OAB,當(dāng)平面a與平面OAB

222

平行時(shí)，正四面體的射影為與AOAB全等的三角形，此時(shí)AB=1,QA=OB="，故最小面積

2

S=Lxix，^=立，所以射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是￡,工（另法：由題意，AB//a,則AB

224L42.

在平面a內(nèi)的射影為邊長為1的線段，當(dāng)C,D射影重合于一點(diǎn)時(shí)，射影圖形面積最小，最小面積5=立：

4

當(dāng)CD。時(shí)，射影圖形面積最大，最大面積5=,，所以范圍為坐,1）.

2|_42

10.（2019?上海青浦區(qū)?高三一模）如圖，一矩形A8CD的一邊A3在*軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、。在函數(shù)

X

/（%）=--，x>0的圖像上，則此矩形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是

1+X'

【分析】求出y的范圍，設(shè)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)A、5兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到超西=1，再求出高力；

根據(jù)圓柱體的體積公式得到關(guān)于y的代數(shù)式，最后根據(jù)基本不等式求出體積的最大值.

1

,y=/(-^)==~r~—,,-11

r【詳解】由1+尸1,c2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號，得*+—=一；

十4r2

xxy

又矩形繞X軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓柱,

設(shè)4點(diǎn)的坐標(biāo)為（百，y）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為a，y）,

則圓柱的底面圓半徑為y,高為力f-玉，且?。?含,?。?金,

x,x

所以片F(xiàn)2

即(x2-xx)(x2-1)=0,

所以々玉=1,

所以力2=。2+玉）2一4馬X\~--）2-4=—-4,

my

所以/i=/_L_1=VlzlZ,

vy

所以%I柱=萬丁,力=萬刈-4y2=；萬?^4/（1-4/）,,；兀（4）+；―4）））=；乃,當(dāng)且僅當(dāng)

乙NN4

y=變時(shí)取等號,

-4

兀

故此矩形繞X軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為一.

4

K

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的體積計(jì)算和基本不等式的應(yīng)用問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思

想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意等號成立的條件.

II.(2018?寶山區(qū)?上海交大附中高三其他模擬)已知底面為正方形且各側(cè)棱長均相等的四棱錐V-ABC?？?/p>

繞著AB任意旋轉(zhuǎn)，ABU平面a,M是CD的中點(diǎn)，AB=2,L4=逐，點(diǎn)丫在平面a上的射影點(diǎn)為。，

則10Ml的最大值為

【答案】1+73

【分析】先計(jì)算得到二面角C-A8W的大小為60°,設(shè)二面角C-AB-。的大小為。，則

\OMf=4-273sin(2^+60°),計(jì)算得到答案.

【詳解】如圖所示：簡單計(jì)算可得二面角。泊84的大小為60°

設(shè)二面角C-A8-0的大小為夕，則N"VO=?！?0°,NO=2cos(6—60°)

在&WNO中，利用余弦定理得到：

\OM[=4+4cos2(^-60°)-2-2-2cos(^-60°)-cos^=4-2^sin(2^+60°)

故當(dāng)6=105。時(shí)，|。叫取得最大值為1+JL

故答案為：1+J5

【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段的最值問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

三、解答題

12.（2020?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高三月考）橢圓「的左、右焦點(diǎn)分別為耳（一1,0）、巴。,0）.經(jīng)過點(diǎn)

耳（一1,0）且傾斜角為。0＜。＜5的直線/與橢圓「交于4、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)4在x軸上方），ABF?的

周長為8.

（1）求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，把平面xOy沿x軸折起來，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面，與），軸負(fù)半軸和x軸所確定

的半平面互相垂直：

7T

①若。=§,求異面直線AE和所成角的大小；

②若折疊后48鳥的周長為求夕的大小.

【答案】（1）上+匕=1；（2）①arccosU；②arctan豆亙.

432814

【分析】（1）根據(jù)條件求得。，J即得b，即得橢圓方程：

（2）①先根據(jù)直線方程與橢圓方程解得A,B坐標(biāo)，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積求線線角;

②設(shè)折疊前A（%，X），3（w，%），則得折疊后A,B坐標(biāo)，代入化筒周長條件，再利用直線方程四=x+l

與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化筒條件，解得"？，即得夕的大小.

【詳解】（1）因?yàn)锳BF?的周長為8,所以4a=8,a=2.

由題意得C=1「.從=〃2—02=3

22

所以楠圓「的方程為三+上=1.

43

22

（2）①由直線/:y-O=G（x+l）與3+方=1聯(lián)立求得A（O,、G）,（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及

_8_3

B

-5，-5

再以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

7^（0,-1,0）,A（O,O/）.4|以一割,6（（）,1,0）,耳4=仲,@,叫=（一|"*0

KABF?13

異面直線A￡和B6所成角為0,則cos。

F^BF228

13

所求角為arccos一

28

②由|A閭+忸閭+圖用=￡,|傷|+忸周+|AB|=8,故|4卻一|46[=；

由|4用+忸閭+|40=?,|A￡|+忸閭+|AB|=8,故

設(shè)折疊前A（%,y）,8（七,%）.

my=x+l

直線/與橢圓F聯(lián)立方程，2y2_，得（3加2+4b2―6陽一9=0

143

6m-9

y+必=——7，X%=-9—.

123加+4九23.+4

在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負(fù)

半軸為z軸）:

設(shè)A,8在新圖形中對應(yīng)點(diǎn)記為A,B',

4(%,加())，^'(馬,。,一%)

\A'B'\=7(-ri-%2)2+W+(-y2)2，|A"=j(l-X2『+(y-y2)2

\AB\-\A'B'\=一々)2+(加一必)--J(X|-%2『+y：+￡=(⑺

-詠2_]

22

J(xl-x2)+(y,-y2)+『「一工2『+犬+￡5

所以J(X|-々)2+(%-%)2+J("X2)2+T+。=—4y%07)

由3)(")可得J(X-*2)2+(y-%)2=；一2,％

2

118

?144

43m2+4

12+12病11822

------?-------=---------7-----12/n+12=-//7+l+18,

3m~+443m~+44

解得m2--,0<0<—,所以。=arctan

45214

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、利用空間向量求線線角、韋達(dá)定理應(yīng)用，考查綜合分析求解能力，屬較

難題.

13.（2020?上海高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱-中，底面是邊長為1的菱形，側(cè)棱長

為2.

（i）42與4。能否垂直？說明理由;

TTTT

（2）當(dāng)”8?在上變化時(shí)，求異面直線AC與A4所成角的取值范圍.

底

【答案】（1）不能.見解析；（2）arccos---,arccos

6

【分析】

（1）以0冉,。。1，°。分別為％，》，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4（a，0,0），G（°，8,0），進(jìn)而得到

DAAD，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解;

（2）求得AG=（0,四,一2），44=（她0），求得cos（AG,4線）=/工7，根據(jù)4+從=1，設(shè)

a=cosa,b=s\na,化簡得到cos（AC|，4B）=/412'再由題設(shè)條件和二次函數(shù)的性質(zhì),

A/CSCa+csca

即可求解.

【詳解】

由題意，菱形A/IGA中，46人線。于。1，設(shè)ACBC=O,

以。1耳,QG，。。分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)A3,(),0),C,(0,4()),(/+〃=1),則A(-fl,0,0),A,(0,-匕,0),￡>(-?,0,2),

(1)因?yàn)锳4=(2a,0,0)，AD=(—a,8,2),

可得—2a2。0,所以與。與AQ不能垂直.

（2）因?yàn)镹A,用GG—,—，所以<—<1<

L32J3a

由A（0,一42）,所以4G=（0,。,一2）,44=（a,仇0）,則AC,-A4=2b2,

又由IAG卜2揚(yáng)+1,"卜+叱=1,

所以8,小&，43）=|^^|二春，

因?yàn)椤?+/=],設(shè)。=（：05￡/=5m2，

1

：4a+csc2a'

V6x/5

所以異面直線AC與4耳所成角的取值范圍arccos—,arccos—

610

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在線面位置關(guān)系中的應(yīng)用，以及異面直線所成角的求解，著重考查推理

與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

14.（2018?上海市宜川中學(xué)）用一個(gè)半徑為12厘米圓心角為2半7r的扇形紙片用。卷成一個(gè)側(cè)面積最大的無

底圓錐（接口不用考慮損失），放于水平面上.

（1）無底圓錐被一陣風(fēng)吹倒后（如圖1）,求它的最高點(diǎn)到水平面的距離；

（2）扇形紙片以。上（如圖2）,C是弧的中點(diǎn)，8是弧AC的中點(diǎn)，卷成無底圓錐后，求異面直線以

與BC所成角的大小.

【答案】（I）1^1；（2）arccos—.

36

【分析】

（1）如圖，設(shè)為軸截面，過點(diǎn)、N作NELPM于點(diǎn)、E，在AOMM中求出NE的長度即為所求;

（2）先求出PA.BC，利用夾角公式求出cos<PA,3C>,進(jìn)而可得異面直線/次與8c所成角的大小.

【詳解】

所以在"NM中，PO=^NP2-NO2=\/122-42=872，

:.NEPM=PO?NM

,NE=*L=成工區(qū)

PM123

即無底圓錐被一陣風(fēng)吹倒后（如圖1）,它的最高點(diǎn)到水平面的距離為電2,

（2）如圖:

因?yàn)?是弧AC的中點(diǎn)，所以三角形ABC為等腰直角三角形,

則由（1）得AC=8,3C=BA=4血，且POJ_面ABC,

PABC=(PO+OA)-BC^POBC+OABC^OA\\BC\COS135=4x4&-

2J=—16

PABC-1672

cos<PA,BC>=

HM12x4&6

異面直線物與BC所成角的大小為arccos—.

6

【點(diǎn)睛】本題考查棱錐內(nèi)部的長度和角度的相關(guān)計(jì)算，要對棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)相當(dāng)熟悉，其中對于異面直線

所成的角，可以不用建系，利用數(shù)量積的定義進(jìn)行求解，考查了學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題.

15.（2018?上海楊浦區(qū)?高三期中）如圖，圓錐的頂點(diǎn)是P，底面中心是0,已知0P=V2,圓。的直徑是AB=21

點(diǎn)C在弧AB上，30°.

（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）求。到平面APC的距離.

【答案】⑴側(cè)面積為岳；（2）h=~

【分析】（1）根據(jù)題意求出圓錐母線的長度，再利用圓錐的側(cè)面積帶X底面周長x母線長，即可求得圓錐

的側(cè)面積。

（2）利用等體積法VP-AOC-VO.PAC,即可求出O到平面APC的距離。

【詳解】（1）在Rl^POB中有po=近，OB=1

所以PB=V3

所以S翻=gx2X7TX1xV3=V3TI

（2）因?yàn)閳AO的直徑為AB,點(diǎn)C在弧AB上,

所以在RtaABC中，AC±BC,

又因?yàn)锳B=2,NCAB=30。，

所以47=