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知識(shí)像燭光,能照亮一個(gè)人,也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根知識(shí)像燭光,能照亮一個(gè)人,也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根/知識(shí)像燭光,能照亮一個(gè)人,也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根特殊三角形(習(xí)題)例題示范例1:已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊CD上,且∠EAF=60°.求證:△AEF是等邊三角形.【思路分析】①讀題標(biāo)注:②梳理思路:要證△AEF是等邊三角形,已知∠EAF=60°,只需證△AEF是等腰三角形即可,考慮證AE=AF,可以把這兩條線(xiàn)段放在兩個(gè)三角形中證全等.觀(guān)察圖形,連接AC,可以把線(xiàn)段AE和AF分別放在△ABE和△ACF中.結(jié)合題中條件∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD,可知△ABC和△ACD均為等邊三角形,所以∠B=∠ACF=60°,證明成立.【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】證明:如圖,連接AC.∵∠B=∠D=60°,AB=BC,AD=CD∴△ABC和△DAC是等邊三角形∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACF=60°∴∠1+∠3=60°,∠B=∠ACF∵∠EAF=60°∴∠2+∠3=60°∴∠1=∠2∴△ABE≌△ACF(ASA)∴AE=AF∴△AEF是等邊三角形鞏固練習(xí)如圖,以正方形ABCD的邊AB為一邊向外作等邊三角形ABE,連接DE,則∠BED的度數(shù)為_(kāi)_______.如圖,在△ABC的外部,分別以AB,AC為直角邊,點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,CD與BE交于點(diǎn)P,則∠BPC的度數(shù)為_(kāi)_______.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,DE是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn),交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若DE=2,則AC的長(zhǎng)是________.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D在BC上,E為AB的中點(diǎn),AD,CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,則∠DFE的度數(shù)為_(kāi)_______.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,過(guò)C作CD⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D.求證:AB=2CD.已知:如圖,在△ABC中,∠BAC>90°,BD,CE分別為AC,AB邊上的高,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),連接DE,DF,EF.求證:∠FED=∠FDE.已知:如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,E為AC的中點(diǎn),BE交CD于點(diǎn)G,EF⊥BE交AB于點(diǎn)F.求證:EF=EG.思考小結(jié)在做幾何題目的時(shí)候,看到“直角+30°”,考慮30°角所對(duì)的直角邊是___________________;看到“直角+中點(diǎn)”,考慮直角三角形_____________________________;看到“等腰+一線(xiàn)”,考慮等腰三角形___________.根據(jù)上面的思考方式研究等腰直角三角形的性質(zhì):如圖,在等腰直角三角形ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,如果從等腰的角度出發(fā),看到“等腰+高線(xiàn)”,考慮等腰三角形_________,所以得到AD=______;如果從直角的角度出發(fā),看到“直角+中點(diǎn)”,考慮_____________________________,可以得到CD=______.綜上可得,對(duì)于圖中的等腰直角三角形ABC我們可以得到:CD=______=_______.【參考答案】45°90°660°證明:如圖∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B=15°∴∠ACB=15°∵∠DAC是△ABC的一個(gè)外角,∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°∵CD⊥AB∴∠D=90°在Rt△ADC中,∠D=90°,∠DAC=30°∴CD=AC∴CD=AB即AB=2CD證明:如圖∵BD,CE分別為AC,AB邊上的高∴∠BDC=∠CEB=90°∵F是BC的中點(diǎn)∴DF=BC,EF=BC∴DF=EF∴∠FED=∠FDE證明:如圖,連接DE.∵AC=BC,∠ACB=90°∴∠A=45°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°,AD=AB∴CD=AB∴AD=CD∵E為AC中點(diǎn)∴DE=AC=AE,DE⊥AC,∠1=45°∴∠AED=90°,∠A=∠1∴∠2+∠DEF=90°∵EF⊥BE∴∠3+∠DEF=90°∴∠2=∠3在△AEF和△DEG中
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