特殊三角形(習(xí)題及答案)

知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根/知識(shí)像燭光，能照亮一個(gè)人，也能照亮無(wú)數(shù)的人。--培根特殊三角形（習(xí)題）例題示范例1：已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EAF=60°．求證：△AEF是等邊三角形．【思路分析】①讀題標(biāo)注：②梳理思路：要證△AEF是等邊三角形，已知∠EAF=60°，只需證△AEF是等腰三角形即可，考慮證AE=AF，可以把這兩條線(xiàn)段放在兩個(gè)三角形中證全等．觀(guān)察圖形，連接AC，可以把線(xiàn)段AE和AF分別放在△ABE和△ACF中．結(jié)合題中條件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD均為等邊三角形，所以∠B=∠ACF=60°，證明成立．【過(guò)程書(shū)寫(xiě)】證明：如圖，連接AC．∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD∴△ABC和△DAC是等邊三角形∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF∵∠EAF=60°∴∠2+∠3=60°∴∠1=∠2∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AE=AF∴△AEF是等邊三角形鞏固練習(xí)如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向外作等邊三角形ABE，連接DE，則∠BED的度數(shù)為_(kāi)_______．如圖，在△ABC的外部，分別以AB，AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD與BE交于點(diǎn)P，則∠BPC的度數(shù)為_(kāi)_______．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若DE=2，則AC的長(zhǎng)是________．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E為AB的中點(diǎn)，AD，CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，則∠DFE的度數(shù)為_(kāi)_______．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，過(guò)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．求證：AB=2CD．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，BD，CE分別為AC，AB邊上的高，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF．求證：∠FED=∠FDE．已知：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，BE交CD于點(diǎn)G，EF⊥BE交AB于點(diǎn)F．求證：EF=EG．思考小結(jié)在做幾何題目的時(shí)候，看到“直角+30°”，考慮30°角所對(duì)的直角邊是___________________；看到“直角+中點(diǎn)”，考慮直角三角形_____________________________；看到“等腰+一線(xiàn)”，考慮等腰三角形___________．根據(jù)上面的思考方式研究等腰直角三角形的性質(zhì)：如圖，在等腰直角三角形ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，如果從等腰的角度出發(fā)，看到“等腰+高線(xiàn)”，考慮等腰三角形_________，所以得到AD=______；如果從直角的角度出發(fā)，看到“直角+中點(diǎn)”，考慮_____________________________，可以得到CD=______．綜上可得，對(duì)于圖中的等腰直角三角形ABC我們可以得到：CD=______=_______．【參考答案】45°90°660°證明：如圖∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠B=15°∴∠ACB=15°∵∠DAC是△ABC的一個(gè)外角，∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°∵CD⊥AB∴∠D=90°在Rt△ADC中，∠D=90°，∠DAC=30°∴CD=AC∴CD=AB即AB=2CD證明：如圖∵BD，CE分別為AC，AB邊上的高∴∠BDC=∠CEB=90°∵F是BC的中點(diǎn)∴DF=BC，EF=BC∴DF=EF∴∠FED=∠FDE證明：如圖，連接DE．∵AC=BC，∠ACB=90°∴∠A=45°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，AD=AB∴CD=AB∴AD=CD∵E為AC中點(diǎn)∴DE=AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°∴∠AED=90°，∠A=∠1∴∠2+∠DEF=90°∵EF⊥BE∴∠3+∠DEF=90°∴∠2=∠3在△AEF和△DEG中