2017新課標(biāo)全國卷II卷理數(shù)空白(后附詳細(xì)解析)

篙()

A.l+2zB.l-2zC.2+iD.2-z

2.設(shè)集合Z={1,2,4},2=卜,-4=+團(tuán)=0}.若AIB={1},則3=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：''遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三

百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層

燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面

將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）

A.90〃B.637rC.42〃D.367r

'2i+3y-3<0

5.設(shè)x,y滿足約束條件2-3y+320,則z=2x+y的最小值是()

y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式

共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀,

2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：

我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=-1,則輸出的5=（）（開:臺）

A.2B.3C.4D.5

|S=0,K=l|

%否

|S=S、+a-K

a=~a

「K=K+1|

（開始）

22

9.若雙曲線C:^-￡=1(a>0,6>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+V=4所截得的弦長為

2,則。的離心率為()

A.2B.73C.41D.—

3

10.已知直三棱柱NBC-4>G中,450=120。，AB=2,BC=CR=1,貝!|異面直線陽與

8G所成角的余弦值為()

B.巫

rM

55

11.若％=-2是函數(shù)/。)=(/+仆一l)e1的極值點(diǎn)，則/(x)的極小值為()

A.-lB.-2e-3C.5e-3D.l

12.已知“比■是邊長為2的等邊三角形尸為平面/8C內(nèi)一點(diǎn)，則PA(PB+PC)的最小值是)

34

A.-2B.——C.——D.-1

23

13.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示

抽到的二等品件數(shù)，則。（才）=.

14.函數(shù)行）=sK+限。嗚］）的最大值是

〃1

15.等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=3,$4=10,則￡不=

16.已知尸是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn),斤/的延長線交），軸于點(diǎn)N茬M為FN

的中點(diǎn)，則|利=.

17.(12分)AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,4c,已知sin(A+C)=8sin20.

2

(1)求cos8

(2)若a+c=6,A43C面積為2,求。

18.(12分)淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取100

個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率直方圖如下：

新養(yǎng)殖法

(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記力表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖

法的箱產(chǎn)量不低于50kg，估計/的概率;

(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

<50kg>50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)

附：

RKN20.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-bc')2

(a+與(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面三角形BCD,

AB=BC=-AD,ABAD=ZABC=90°,E是PO的中點(diǎn).

2

(1)證明：直線CE〃平面布5

(2)點(diǎn)例在棱PC上，且直線與底面ABC。所成銳角為45°,

求二面角M-AB-D的余弦值.

20.(12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)聞在橢圓C:工+》2=i上，過聞做x軸的垂線，垂足為N.

2

UUUiUUU1

點(diǎn)戶滿足NP=&NM.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

ULIUULBI

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且°P'Q=1.證明:過點(diǎn)p且垂直于0Q的直線|過C的左焦點(diǎn)

F.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax3-ax-x\nx,/(x)>0.

(1)求a;

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)與，且e-2</(x0)<27.

22.(10分)【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系X”中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)

方程為"cos。=4.

(1)例為曲線G上的動點(diǎn)，點(diǎn)。在線段0M上,且滿足OM.OP=16,求點(diǎn)。的軌跡G的直角

坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/的極坐標(biāo)為(2,鳥，點(diǎn)8在曲線G上,求△046面積的最大值.

3

23.（10分）【選修4-5：不等式選】已知a>0,Z?>0,/+03=2,證明：

(1)(〃+》)(/4-^)>4;(2)a+h<2.

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)n）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）（2017?新課標(biāo)口）生_=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

【解答】解：9=”尸=1zgj_=2-i,

故選D.

2.（5分）（2017?新課標(biāo)n）設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若

AAB={1},則B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【解答】解:集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0）.

若ACB={1},貝?。輑eAfilGB,

可得1-4+m=0,解得m=3,

即有B={x|x2-4X+3=0}={1,3}.

故選：C.

3.（5分）（2017?新課標(biāo)口）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：

''遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思

是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2

倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【解答】解：設(shè)這個塔頂層有a盞燈，

?.?寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，

???從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是以2為公比、a為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

又總共有燈381盞，

.,.381=?（色）=127a,解得a=3,

1-2

則這個塔頂層有3盞燈，

故選B.

4.（5分）（2017?新課標(biāo)口）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫

出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該

幾何體的體積為（）

A.90nB.63nC.42nD.36n

【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的

一半，

V=n*32x10-l.*n*32x6=63n,

2

故選：B.

‘2x+3y-340

5.（5分）（2017?新課標(biāo)口）設(shè)x,y滿足約束條件2x-3yi-3>0,則z=2x+y

.y+3》0

的最小值是（）

A.-15B.-9C.1D.9

‘2x+2y-340

【解答】解：X、y滿足約束條件2x-3y+3>0的可行域如圖：

z=2x+y經(jīng)過可行域的A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

由yT解得A（-6,-3）,

（2x-3jH-3=0

則z=2x+y的最小值是:-15.

故選：A.

6.（5分）（2017?新課標(biāo)口）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1

項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【解答】解：4項(xiàng)工作分成3組，可得：c2=6,

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，

可得：6XA,=36種.

故選：D.

7.（5分）（2017?新課標(biāo)口）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語

競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙

的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我

的成績.根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績

【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，

甲不知自己的成績

一乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知

道自己的成績）

一乙看到了丙的成績，知自己的成績

一丁看到甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，

故選：D.

8.（5分）（2017?新課標(biāo)II）執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的a=-1,則輸

出的S=()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0,k=l,a=-1,代入循環(huán),

第一次滿足循環(huán),S=-1,a=l,k=2;

滿足條件，第二次滿足循環(huán),S=1,a=-1,k=3;

滿足條件,第三次滿足循環(huán),S=-2,a=l,k=4;

滿足條件，第四次滿足循環(huán),S=2,a=-1,k=5;

滿足條件，第五次滿足循環(huán),S=-3,a=l,k=6;

滿足條件，第六次滿足循環(huán),S=3,a=-1,k=7;

7W6不成立，退出循環(huán)輸出，S=3;

故選：B.

22

9.（5分）（2017?新課標(biāo)口）若雙曲線C:J-。=1（a>0,b>0）的一條

a2b2

漸近線被圓（X-2）2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為（）

A.2B.V3C.V2D.也

3

22

【解答】解:雙曲線C:2r-。=1（a>0,b>0）的一條漸近線不妨為:bx+ay=0,

a2b2

圓（x-2）2+y2=4的圓心（2,0）,半徑為：2,

22

雙曲線C:^-^=l（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+y2=4所截

a2b2

得的弦長為2,

可得圓心到直線的距離為：序正行J料2，

Va+b

22

解得：生產(chǎn)\,可得e2=4,即e=2.

C

故選：A.

10.（5分）（2017?新課標(biāo)n）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ZABC=120°,

AB=2,BC=CCi=l,則異面直線ABi與BQ所成角的余弦值為（）

A.返B.2ZIEC.JUD.返

2553

【解答】解：如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點(diǎn)，

則ABi、BQ夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

（因異面直線所成角為（0,工］）,

2

可知MN=1ABI=2Z1,

22

NP=lBCi=返；

22

作BC中點(diǎn)Q,則△PQM為直角三角形；

VPQ=1,MQ=XAC,

2

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosNABC

=4+1-2X2X1X(-1)

2

=7,

AC=Vy,

?,.MQ=1L；

2

在△MQP中，MP=4^不聲率;

在APIVIN中，由余弦定理得

除）噲-亨）［叵

COSZMNP=MNWZPM1=

2-MH-NP2X坐X孚5

又異面直線所成角的范圍是（0,工J,

2

，ABi與BCi所成角的余弦值為叵.

5

11.(5分)(2017?新課標(biāo)口)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex1的

極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()

A.-IB.-2e-3C.5e-3D.1

【解答】解：函數(shù)f(x)=(x2+ax-De-1,

可得f'(x)=(2x+a)ex-x+(x2+ax-1)ex-1,

x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)e-i的極值點(diǎn)，

可得:-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得f'(x)=(2x-l)exl+(x2-x-l)exl,

=(x2+x-2)ex」，函數(shù)的極值點(diǎn)為:x=-2,x=l,

當(dāng)x<-2或x>l時，f，(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，xw(-2,1）時,函數(shù)是減

函數(shù)，

x=l時，函數(shù)取得極小值:f(1)=(I2-1-1)e1-x=-1.

故選：A.

12.（5分）（2017?新課標(biāo)n）已知4ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平

面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則鈍?（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.-2c.-AD,-1

23

【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則A(0,代)，B(-1,0),C(l,0),

設(shè)P(x,y),則包=(-x,V3-y),PB=(-1-x,-y),pc=(1-x,

-y),

WJPA,(PB+PC)=2x2-2Vsy+2y2=2[x2+(y-返)2-W]

24

.?.當(dāng)x=0,y=退時，取得最小值2X(-2)=-2,

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(2017?新課標(biāo)口)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每

次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=_

1.96.

【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個二項(xiàng)分布模型，其

中,p=0.02,n=100,

貝!]DX=npq=np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

故答案為：1.96.

14.(5分)(2017?新課標(biāo)口)函數(shù)f(x)=sin2x+?cosx-2(xe[0,2L])

42

的最大值是1.

【解答】解：f(x)=sin2x+V3cosx-^-=1-Cos2x+V3cosx-3,

44

令cosx=t且te[0,1],

則f(t)=-t2+通+L=-(t-返)2+1,

42

當(dāng)t=1時，f(t)max=1；

2

即f(x)的最大值為1,

故答案為:1

15.(5分)(2017?新課標(biāo)口)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,

一n12n

則

kE=lSSk~n4p-

【解答】解：等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,

可得a2=2,數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為1,

Sn=gi+L-!,_1_=————-9(----—),

2Snn(n+1)nn+1

則Vj^2[l(1-J^)=

22334nn+1n+1n+1

故答案為：_?2_.

n+1

16.(5分)(2017?新課標(biāo)口)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上

一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=6.

【解答】解：拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長

線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，

可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為：±2&,

IFN|=21FM|=27(1-2)2+(±2V2-0)2=6-

故答案為：6.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟.第17~

21題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)

要求作答.(一)必考題：共60分.

17.(12分)(2017?新課標(biāo)口)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

c,已知sin(A+C)=8sin2A.

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,AABC面積為2,求b.

【解答】解：(1)sin(A+C)=8sin2l,

2

.".sinB=4(1-cosB),

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+cos2B=1,

...(17cosB-15)(cosB-1)=0,

/.cosB=l^-;

17

(2)由(1)可知sinB=A,

17

VSAABc=^ac*sinB=2,

2

/.ac=lZ-,

2

/.b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2X.lLxl^.

217

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

：.b=2.

18.（12分）（2017?新課標(biāo)口）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方

法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單

位：kg）,其頻率分布直方圖如圖：

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件''舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于

50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖

方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量2

50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精

確到0.01）.

附：

P(K2^k)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

2

K2=____n(ad-bc)/______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：(1)記B表示事件''舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,C表示事件''新

養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

貝U舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量彳氐于50kg:(0.012+0.014+0.024+0.034+0,040)X5=0.62,

故P(B)的估計值0.62,

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不彳氐于50kg:(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故P(C)的估計值為，

則事件A的概率估計值為P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092;

??.A發(fā)生的概率為0.4092;

(2)2X2列聯(lián)表:

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg總計

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

總計96104200

貝［j|<2=200(62X66-38X34)2弋］5705

…100X100X96X104

由15,705>6,635,

.?.有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(3)由題意可知：方;:標(biāo)=5X(37.5X0.004+42.5X0.020+47.5X

0.044+52.5X0.068+57.5X0.046+62.5X0.010+67.5X0,008),

=5X10.47,

=52.35(kg).

新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35(kg)

方法二：由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的

面積：

(0.004+0.020+0.044)X5=0.034,

箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：

(0.004+0.020+0.044+0,068)X5=0,68>0.5,

故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為：50+0.34335(kg),

0.068

新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35(kg).

19.(12分)(2017?新課標(biāo)口)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊

三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,E>PD的中

2

點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面PAB;

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-

AB-D的余弦值.

【解答】(1)證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，

所以EF41AD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,.,.BC^XAD,

n222

，BCEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFc平面PAB,CFQ平面PAB,

.??直線CE〃平面PAB;

(2)解：四棱錐P-ABCD中，

側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1\D,

2

ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

取AD的中點(diǎn)。，M在底面ABCD上的射影N在0C上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1,

0P=V3,

ZPCO=60°,直線BM與底面ABCD所成角為45°,

可得：BN=MN,CN=?1N,BC=1,

3

可得：1+LBN2=BN2,BN=^1,,

322

作NQJ_AB于Q,連接MQ,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=

V10

~2~

二面角M-AB-D的余弦值為：心=叵.

V105

2

2

20.(12分)(2017?新課標(biāo)口)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C:L+y2=l

2

上，過M做x軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足而=&］而.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且而?而=1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線

I過C的左焦點(diǎn)F.

【解答】解：(1)設(shè)M(xo,yo),由題意可得N(xo,0),

設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足乖=正就.

可得(X-Xo,y)=&(0,y0),

可得x-xo=O,y=727o,

即有x0=x,yo=E,

222

代入橢圓方程—+y2=i,可得埠+二=1,

222

即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;

(2)證明：設(shè)Q(-3,m),P(V2cosa,后ina),(OWav2n),

OP-PQ=1,可得(v'lcosa,Vasina)?(-3-T^cosa,m-Vasina)=1,

即為-3、岳osa-2cos2a+V3nsina-2sin2a=l,

解得m=3(lW2coSa),

V2sinCL

即有Q(-3,3""cosa)),

V2sind

2

橢圓21_+y2=l的左焦點(diǎn)F(?1,0),

由k0Q=-唔。sa,

kPF=V2sinO_,

V2cosCI+1

由koQekpF=-1,

可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點(diǎn)F.

21.(12分)(2017?新課標(biāo)n)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)2

0.視頻解析

(1)求a;

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e-2<f(xo)<2-2.

【解答】(1)解：因?yàn)閒(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x>0),

則f(x)20等價于h(x)=ax-a-Inx^O,

因?yàn)镸(x)=a-L,且當(dāng)Ovxv4寸hz(x)<0,當(dāng)x>山寸Y(x)>0,

xaa

所以h(X)min=h(L),

a

又因?yàn)閔(1)=a-a-lnl=0,

所以1=1,解得a=l;

a

(2)證明:由(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,F(x)=2x-2-Inx,

令f'(x)=0,可得2x-2-lnx=O，記t(x)=2x-2-Inx,則t'(x)=2-L,

X

令(x)=0,解得：X=1,

2

所以t(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在(L,+8)上單調(diào)遞增,

22

所以t(x)*t(W＜。，從而t(x)=。有解，即1X)=0存在兩

根Xo,X2,視頻解析

且不妨設(shè)f'(X)在(0,Xo)上為正、在(xo,X2)上為負(fù)、在(X2,+8)上為

正，

所以f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)X0,且2X0-2-lnxo=o,

所以f(Xo)=x02-X。-X()lnXo=