分類討論思想在解題中的運(yùn)用

分類號(hào)論文編號(hào)本科生畢業(yè)論文分類討論思想在解題中的運(yùn)用姓名：院系：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院年級(jí)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：年月目錄摘要 IAbstract II第一章 緒論 1第二章對(duì)條件是分類給出的問(wèn)題進(jìn)行討論 11.1運(yùn)用在指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的討論及定義域的判斷 11.1.1指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論 21.2集合與不等式及函數(shù)的問(wèn)題 3第三章對(duì)問(wèn)題的變量及參數(shù)進(jìn)行分類討論 42.1幾種常見(jiàn)變量及參數(shù)的問(wèn)題 42.1.1級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)的極值最值、參數(shù)方程所表示的曲線 5第四章對(duì)圖形的位置不確定進(jìn)行分類討論 73.1運(yùn)用分類思想證明幾何題 73.2運(yùn)用在函數(shù)與函數(shù)之間是否存在有解 10第五章結(jié)論 11參考文獻(xiàn) 12致謝 13摘要分類討論思想是數(shù)學(xué)重要的思想方法和解題策略、也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)、采用分類討論思想、可以有效地將數(shù)學(xué)問(wèn)題解決.分類討論思想在解題過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)多種情形、將這些情形進(jìn)行綜合、進(jìn)行歸納、最終使得整個(gè)問(wèn)題得以解決.關(guān)鍵詞：分類討論思想采用數(shù)學(xué)問(wèn)題AbstractClassificationdiscussionthoughtisanimportantwayofthinking,andmathematicsproblem-solvingstrategies,teachingimportantanddifficult.Insolvingmathematicalproblems,theideaofclassificationdiscussion,caneffectivelytomathematicalproblemsolving.Discussideasintheproblemsolvingprocesswillappearavarietyofsituations,thesecircumstancesmakeacomprehensive,summarized,finallymadetosolvetheproblem.Keywords:Classificationdiscussideasusingmathematicalproblems興義民族師范學(xué)院本科畢業(yè)論文緒論分類討論數(shù)學(xué)思想是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維的嚴(yán)密性，嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性及提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有較大的幫助.分類討論數(shù)學(xué)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要的思想，它在中學(xué)占有重要的位置，也是近幾年中考、高考考查的重點(diǎn)、也是考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.參數(shù)問(wèn)題廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問(wèn)題中，含參數(shù)的問(wèn)題可分為四種類型：首先，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論（數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參數(shù)，這些參數(shù)不同，討論的結(jié)果也隨之不同，因此要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論）.其次，對(duì)條件是分類給出的問(wèn)題進(jìn)行討論.例如有些概念、定理、公式、法則本身就包含了分類.如絕對(duì)值、直線的斜率、等比數(shù)列的求和公式等等.求解時(shí)，需要突破這些條件進(jìn)行討論、這些范圍或條件為分類提供了理論依據(jù).再次對(duì)求解過(guò)程不便統(tǒng)一表述的問(wèn)題進(jìn)行分類討論.（在求解過(guò)程中，由于題目的限制，統(tǒng)一起來(lái)表達(dá)不方便，必須進(jìn)行分類討論）.最后，關(guān)于圖行的位置、類型的分類的問(wèn)題.有關(guān)幾何問(wèn)題中，由于圖行的位置，形狀的不確定，需要進(jìn)行分類.通過(guò)對(duì)以上四種類型題目進(jìn)行分類討論，我想學(xué)生在中考、高考中，遇到這樣的題目就是小菜一碟.總之，在各個(gè)教學(xué)模塊中逐步滲透用分類討論數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題.分類討論思想覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，有利于考查學(xué)生的知識(shí)面，分類思想方式多種多樣，具有較高的邏輯性和較強(qiáng)的綜合性，樹(shù)立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到確定對(duì)象的全體、明確分類的標(biāo)準(zhǔn)、分類不重復(fù)、分類不遺漏地分析討論、分級(jí)進(jìn)行階段性結(jié)果，最后進(jìn)行歸納，綜合得出結(jié)論.第二章對(duì)條件是分類給出的問(wèn)題進(jìn)行討論1.1運(yùn)用在指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的討論及定義域的判斷對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)是高考的熱點(diǎn)、也是高考的難點(diǎn).其主要考其的定義域及單調(diào)性.這里就要討論底數(shù)的問(wèn)題啦.在書(shū)本上指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)看上去簡(jiǎn)單、其簡(jiǎn)單的原因是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立部分.然而在高考，并沒(méi)有這么簡(jiǎn)單、其經(jīng)常和其它函數(shù)復(fù)合來(lái)一起來(lái)考，這樣不僅要考慮指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)自身限制條件，還要顧及其它函數(shù)自身限制條件，特別是這些函數(shù)含有參數(shù)的話，其難度系數(shù)就上升了，我們要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，討論時(shí)要做到在同一討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,分類既不重復(fù)，也不遺漏.1.1.1指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論解析：這是一道比較典型指數(shù)函數(shù)分類討論思想的題目，底數(shù)含有參數(shù)，指數(shù)部分又是二次根號(hào)，要討論指數(shù)函數(shù)，就要分底數(shù)大于1與底數(shù)大于零且小于1這兩種情況，指數(shù)部分是二次根號(hào)，顯然根號(hào)里面的數(shù)要大于等于立零，有根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，指數(shù)不等于1（如果等于1，這個(gè)函數(shù)就沒(méi)有討論的必要了），所以還要討論指數(shù)部分大于零且小于1以及指數(shù)部分大于1.解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義：此題比較接近指數(shù)函數(shù)的定義，如果把底數(shù)換成一個(gè)代數(shù)式的話，那題目的難度又上升一個(gè)檔次，這就要把這個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體，即是化整為零，積零為整，再用上述方法進(jìn)行分類討論，進(jìn)行歸納總結(jié)，最后的出結(jié)論.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們?cè)谀承┓矫婕扔新?lián)系也有區(qū)別，比如，指數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)而對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò).它們的聯(lián)系是指數(shù)函數(shù)的定義域是對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是指數(shù)函數(shù)的值域.然而要討論對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則要看對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)的兩種情況，即底數(shù)大于零且小于1或者是底數(shù)大于1這兩種情況.例如求對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解析：1.2集合與不等式及函數(shù)的問(wèn)題在中學(xué)階段，集合是一些元素組成的的總體叫做集合，然而在近世代數(shù)里，集合不再是簡(jiǎn)單的元素了，它們可以是我們?nèi)粘Ｉ钪械木唧w的實(shí)物，但是在這里，我們只討論的是元素；不等式可以分為絕對(duì)值不等式和分式不等式，其中在不等式中含有參數(shù)或者是絕對(duì)值的話，我們要對(duì)參數(shù)及絕對(duì)值做討論；函數(shù)是不等式進(jìn)一步的升華，其原因是吧不等式的大于或小于改成等于并添加一個(gè)因變量，其的討論和不等式的思想差不多，在這里不再著述了..1.2.1集合與不等式之間的解集例如；已知集合，求分別滿足下列條件的的取值范圍：集合是集合的真子集集合與集合的交集是空集解：因?yàn)?恒成立所以=；即是=若m，則又因?yàn)榧鲜羌系恼孀蛹?，所以解得所以若，則集合是空集，滿足集合是集合的真子集所以，則，要使集合與集合的交集是空集，則只需要或者，解得這與相矛盾.若，則集合是空集，滿足集合與集合的交集是空集所以總結(jié)對(duì)于此題，我們必須對(duì)討論，比且還要考慮集合是空集的時(shí)候，不然會(huì)出現(xiàn)分類遺漏.例如:,求滿足的值組成的集合.解：由集合，又因?yàn)樗?，即可能是若，則，即，所以；若，則，解得；若，則，方程組無(wú)解.若，則，解得綜上所述：實(shí)數(shù)的取值集合.總結(jié)，在遇到求子集，真子集的個(gè)數(shù)，或兩個(gè)集合之間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，一定要優(yōu)先考慮空集以免分類遺漏而導(dǎo)致錯(cuò)誤.第三章對(duì)問(wèn)題的變量及參數(shù)進(jìn)行分類討論2.1幾種常見(jiàn)變量及參數(shù)的問(wèn)題變量及參數(shù)問(wèn)題廣泛存在數(shù)學(xué)中，它們以各種各樣的方式出現(xiàn)，其難易程度有各自的側(cè)重點(diǎn)，但不管怎么樣，它們大多數(shù)都以函數(shù)的方式出現(xiàn).例如，級(jí)數(shù)的斂散性、求含有參數(shù)極值、最值得問(wèn)題以及討論含有參數(shù)方程所表示的曲線，像這樣的問(wèn)題，它們會(huì)隨變量或者參數(shù)取值的大小不同，它們的結(jié)果隨之而改變，所以我們?cè)谧鲞@些題目時(shí)，一定要注意分類的合理性、科學(xué)性、、明確分類的標(biāo)準(zhǔn)、分級(jí)進(jìn)行分類、最后進(jìn)行歸納，綜合得出結(jié)論.2.1.1級(jí)數(shù)的斂散性、函數(shù)的極值最值、參數(shù)方程所表示的曲線（款的標(biāo)題）級(jí)數(shù)是指給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式叫做常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，也簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前和，記為=.然而極值、最值問(wèn)題，要涉及導(dǎo)數(shù)，在求極值、最值，導(dǎo)數(shù)是有效的工具，但也有其它的辦法來(lái)求，那就要看針對(duì)什么樣的題目了，比如，在求二次函數(shù)的最值時(shí)，有些題目可以用均值不等式來(lái)做等等.我們也可以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求.參數(shù)所表示的曲線，那就看參數(shù)取值的范圍了，這里就不再論述了.下面會(huì)以例題來(lái)講解.2.1.1.1級(jí)數(shù)的斂散性（項(xiàng)的標(biāo)題）若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱是為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.記作=，若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.在這里順便提一下幾個(gè)級(jí)數(shù)；等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)（是發(fā)散的）.例題，討論幾何級(jí)數(shù)的斂散性（其中）解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的第個(gè)部分和，因此，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂，其和為當(dāng)時(shí)，，所以級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上所述，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂2.1.1.2函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值是高考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，高考一般把這一題放在最后，我們一般把這一題叫做壓軸題，此題很少有同學(xué)得滿分，因?yàn)榇祟}考的知識(shí)面很廣，涉及的知識(shí)點(diǎn)有多.下面來(lái)看一個(gè)例題例題，已知求的單調(diào)區(qū)間；若在上遞增函數(shù)，求的取值范圍.分析：要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們第一要想到是，確定函數(shù)的定義域，馬上進(jìn)行求導(dǎo)，找出極值點(diǎn)，最后判斷單調(diào)性，然而此題含有參數(shù)，求導(dǎo)之后我們要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.解：由題可知，函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù).所以的導(dǎo)數(shù)為a,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是增函數(shù):b,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是增函數(shù)，函數(shù)在是減函數(shù).有（1）可知在是增函數(shù)，所以，即是，所以我例如，討論所表示的曲線.解：這是以為參數(shù)的曲線，給不同值，可以得到不同的二次曲線.當(dāng)時(shí)，=0，即是，當(dāng)時(shí)，，即是，當(dāng)時(shí)，原方程可以化為；如果時(shí)，則曲線是以焦點(diǎn)為的橢圓.如果時(shí)，則曲線是以焦點(diǎn)為的雙曲線.第四章對(duì)圖形的位置不確定進(jìn)行分類討論（標(biāo)題）3.1運(yùn)用分類思想證明幾何題運(yùn)用分類思想證明幾何體是比較常見(jiàn)的，但是又是同學(xué)們很少想到的，這里要強(qiáng)調(diào)的是只要是數(shù)學(xué)，其在一定程度上都會(huì)用到分類思想.比如某個(gè)人把撒落在地上，問(wèn)你怎樣找才能把針全部撿完，這個(gè)問(wèn)題其實(shí)在我們?nèi)粘Ｉ钪须S時(shí)遇到，只是我們把它們忽視罷了，這個(gè)題目有效的方法就是把地面分成若干個(gè)小區(qū)域，依次把小區(qū)域里的針找完就可以了，其實(shí)這就是運(yùn)用了分類思想解決實(shí)際生活中的問(wèn)題了.例如，證明：五點(diǎn)中必有四點(diǎn)是一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).證明：我們可以按五點(diǎn)的凸包分三種情況：五點(diǎn)的凸包為凸五邊形，顯然，必有四點(diǎn)是四邊形的頂點(diǎn)；五點(diǎn)的凸包為凸四邊形，顯然，也必有四點(diǎn)是一個(gè)凸四變形的四個(gè)頂點(diǎn)；對(duì)于情況三，因?yàn)槿我馊c(diǎn)不共線，直線DE必與三角形的線段相交而與第三邊永不相交.設(shè)直線DE與線段BC不相交，則四邊形EDBC為凸四邊形.所以，原命題成立.AABCDE注意：對(duì)于同一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，如果取用的分類標(biāo)準(zhǔn)不同，那么解決問(wèn)題的繁簡(jiǎn)程度上往往差別很大.如上述例題中，我們以其中三點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)三角形，再按其余兩點(diǎn)關(guān)于這個(gè)三角形的位置的不同的情況分類進(jìn)行討論就顯得異常的復(fù)雜，大大增加解題的難度，因此，進(jìn)行分類、討論之前，應(yīng)當(dāng)對(duì)題目先作一番深入的分析，并將幾種分類標(biāo)準(zhǔn)作適當(dāng)比較，選擇適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，盡量簡(jiǎn)化分類過(guò)繁的現(xiàn)象.其次，對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果先利用已知的條件，限制題目中涉及的量的范圍，再進(jìn)行分類討論，常常能是問(wèn)題簡(jiǎn)化.例如，平面外有兩點(diǎn)A,B,它們到平面的距離分別為a，b，線段AB上有一點(diǎn)P，已知AP/PB=0.5，求點(diǎn)P到平面M的距離 .解：（1）當(dāng)點(diǎn)A,B在平面M的同側(cè)時(shí)（如圖1），設(shè)則，所以.若平行平面，則，此時(shí)，.當(dāng)點(diǎn)A,B在平面M的異側(cè)時(shí)，若點(diǎn)位于點(diǎn)的同側(cè)(如圖2)，則則，從而，若點(diǎn)位于點(diǎn)的同一側(cè)（如圖3），則，從而，。圖1圖2圖33.2運(yùn)用在函數(shù)與函數(shù)之間是否存在有解求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).分析：此題我們可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，再利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，因?yàn)楝F(xiàn)在這兩個(gè)函數(shù)圖像我們是不知道，我們可以導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間大致畫(huà)出原函數(shù)的圖形，再用這個(gè)函數(shù)的圖像去與其相交的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.解：令，所以，令，即是或者，再令，所以當(dāng)或者時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)在處取得極大值，函數(shù)在處取得極小值.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)第五章結(jié)論運(yùn)用分類討論思想能夠有效的指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)，操作程序是化整為零，積零為整，把對(duì)總體的探究轉(zhuǎn)到對(duì)討論各個(gè)個(gè)體，這兩者的效果是一樣的分類討論思想的精髓是分類既不重復(fù)，也不遺漏、漸進(jìn)性分類，不要越級(jí)、在同一討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行.分類討論思想的優(yōu)勢(shì)，表現(xiàn)在可以迅速的找出解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，以解決開(kāi)頭難的問(wèn)題，使我們的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)有一個(gè)良好的開(kāi)局.注意，分類討論某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須在同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行，切記用兩個(gè)或兩個(gè)以上的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)施進(jìn)行分類，這和我們平時(shí)的為人處世也是一樣的對(duì)他人和自己，無(wú)論從哪個(gè)角度來(lái)評(píng)價(jià)，不可采用多從標(biāo)準(zhǔn)，分類討論也是如此.參考文獻(xiàn)主要參考資料：[1]歐陽(yáng)維誠(chéng)編著.初等數(shù)學(xué)思想方法選講[M].長(zhǎng)沙市：湖南教育出版社,2000.[2]陸書(shū)環(huán)，馮振舉編著.初中數(shù)學(xué)方程[M].北京市：金盾出版社,2004.04[3]沈文選著.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].長(zhǎng)沙市：湖南師范大學(xué)出版