高中數(shù)學(xué)平面向量22223向量數(shù)乘運算及其幾何意義練習(xí)新人教A版必修4

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，則以下結(jié)論正確的有()(1)a與－λa的方向相反；(2)|－λa|≥|a|；(3)a與λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ|·|a|.A．1個B．2個C．3個D．4個解析：由向量數(shù)乘的幾何意義知(3)(4)正確．答案：B2．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→))＝0.則()A.eq\o(AO,\s\up11(→))＝2eq\o(OD,\s\up11(→)) B.eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→))C.eq\o(AO,\s\up11(→))＝3eq\o(OD,\s\up11(→)) D．2AO＝eq\o(OD,\s\up11(→))解析：因為D為BC的中點，所以eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→))＝2eq\o(OD,\s\up11(→))，所以2eq\o(OA,\s\up11(→))＋2eq\o(OD,\s\up11(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up11(→))＝－eq\o(OD,\s\up11(→))，所以eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→)).答案：B3．化簡eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))的結(jié)果是()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a(chǎn)－b解析：原式＝eq\f(1,3)(a＋4b－4a＋2b)＝eq\f(1,3)(6b－3a)＝2b－a.答案：B4．正方形ABCD的邊長為1，eq\o(AB,\s\up11(→))＝a，eq\o(AC,\s\up11(→))＝c，eq\o(BC,\s\up11(→))＝b，則|a＋b＋c|的值為()A．0B.eq\r(2)C．3D．2eq\r(2)解析：a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝eq\o(AC,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝2eq\o(AC,\s\up11(→))，所以|a＋b＋c|＝|2eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up11(→))|＝2eq\r(2).答案：D5．設(shè)四邊形ABCD中，有eq\o(DC,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up11(→))且|eq\o(AD,\s\up11(→))|＝|eq\o(BC,\s\up11(→))|，則這個四邊形是()A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形解析：因為eq\o(DC,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up11(→))，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四邊形ABCD是梯形，又|eq\o(AD,\s\up11(→))|＝|eq\o(BC,\s\up11(→))|，所以四邊形ABCD是等腰梯形．答案：C二、填空題6．若|a|＝5，b與a的方向相反，且|b|＝7，則a＝______b.解析：因為|a|＝5，|b|＝7，所以eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，又方向相反，所以a＝－eq\f(5,7)b.答案：－eq\f(5,7)7．(2015·課標全國Ⅱ卷)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________．解析：因為λa＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))答案：eq\f(1,2)8．已知|a|＝6，b與a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，則實數(shù)m＝________．解析：eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(6,3)＝2，所以|a|＝2|b|，又a與b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.答案：－2三、解答題9．已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若eq\o(OP,\s\up11(→))＝xeq\o(OA,\s\up11(→))＋yeq\o(OB,\s\up11(→))，求x＋y的值．解：設(shè)eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\o(BP,\s\up11(→))，則eq\o(OB,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))，則eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＋a(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))＝eq\o(OB,\s\up11(→))(1＋a)－aeq\o(OA,\s\up11(→))所以x＋y＝1＋a－a＝1.10．已知e，f為兩個不共線的向量，且四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up11(→))＝e＋2f，eq\o(BC,\s\up11(→))＝－4e－f，eq\o(CD,\s\up11(→))＝－5e－3f.(1)將eq\o(AD,\s\up11(→))用e，f表示；(2)求證：四邊形ABCD為梯形．(1)解：根據(jù)向量的線性運算法則，有eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)證明：因為eq\o(AD,\s\up11(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq\o(BC,\s\up11(→))，所以eq\o(AD,\s\up11(→))與eq\o(BC,\s\up11(→))同向，且eq\o(AD,\s\up11(→))的長度為eq\o(BC,\s\up11(→))長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四邊形ABCD是梯形．B級能力提升1．已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0.若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))成立，則m＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：因為eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MB,\s\up11(→))＋eq\o(MC,\s\up11(→))＝0所以eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(MA,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝0從而有eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→))＝－3eq\o(MA,\s\up11(→))＝3eq\o(AM,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))，故有m＝3.答案：B2．若eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))(t∈R)，O為平面上任意一點，則eq\o(OP,\s\up11(→))＝________(用eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OB,\s\up11(→))表示)．解析：eq\o(AP,\s\up11(→))＝teq\o(AB,\s\up11(→))，eq\o(OP,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝t(eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))，eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))－teq\o(OA,\s\up11(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→)).答案：(1－t)eq\o(OA,\s\up11(→))＋teq\o(OB,\s\up11(→))3.如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up11(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OD,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up11(→))，AD與BC相交于點M，設(shè)eq\o(OA,\s\up11(→))＝a，eq\o(OB,\s\up11(→))＝b.試用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up11(→)).解：設(shè)eq\o(OM,\s\up11(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→))＝－a＋eq\f(1,2)b.又因為A，M，D三點共線，所以eq\o(AM,\s\up11(→))與eq\o(AD,\s\up11(→))共線．所以存在實數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up11(→))＝teq\o(AD,\s\up11(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)).所以(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又因為eq\o(CM,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up11(→))＝eq\o(OB,\s\up11(→))－eq\o(OC,\s\up11(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又因為C，M，B三點共線，所以eq\o(CM,\s\up11(→))與eq\o(CB,\s\up11(→))共線．所以存在實數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up11(→))＝t1eq\