機械工程圖學-投影理論的基礎知識

內容提要：本章主要介紹正投影法及其投影特性，三面投影圖的形成及其投影規(guī)律，求作點、直線和平面的三面投影的相關知識和方法，此外，還簡要介紹了軸測圖及其他投影圖的基礎知識。2.1投影法2投影理論的基礎知識2.2三投影面體系2.3點、直線和平面的投影2.4軸測圖及其他投影圖簡介

2投影理論的基礎知識

光源投影面光線物體影子投射中心S投射線投影面形體圖2-1投影法（b）形體的投影（中心投影法）投影(圖)（a）物體的影子（自然界）2.1投影法2.1.1投影法及其分類

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類

投影法的分類

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類

圖2-2投影法分類表1.中心投影法

投射線匯交于一點的投影法（投射中心位于有限遠處）稱為中心投影法。采用中心投影法繪制的投影圖，立體感較強，但可度量性較差。2.平行投影法

投射線相互平行的投影法（投射中心位于無限遠處）稱為平行投影法。投射中心S投射線投影面形體中心投影法投影(圖)

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類

形體投影面投射方向投射線投影(圖)投射方向形體投影面投射線投影(圖)（a）斜投影法（b）正投影法圖2-3平行投影法投影法中心投影法平行投影法斜投影法（投射線傾斜于投影面）正投影法（投射線垂直于投影面）利用中心投影法和斜投影法都只能得到單面投影圖，而利用正投影法既能得到單面正投影圖（正軸測圖和標高圖），又能得到多面正投影圖。

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類

投影形成的三要素

形體、投射方向（或投射中心）、投影面。投影（圖）形成的三要素：投射中心S投射線投影面形體投影(圖)投射方向形體投影面投射線投影(圖)正投影（圖）形成的要素需要幾個？

2.1投影法—2.1.1投影法及其分類

2.1.2正投影法的投影特性

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

其表2-1

正投影法的投影特性

類似形：與原平面圖形類似，保持定比性不變，即邊數相等，凹凸、曲直狀態(tài)相同，平行關系不變。

空間的點、直線、面用大寫字母表示，其投影用相應的小寫字母表示。表2-1

正投影法的投影特性（續(xù)）

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

平行投影法只具有“平行性”、“從屬性”和“定比性”。2.2三面投影體系

2.2三面投影體系單面正投影無法完整地表示空間形體。

將空間形體用正投影法投射到多個互相垂直的投影面上，可得到多面正投影（圖）。

圖2-4分角

第一角投影（第一角畫法）

第三角投影（第三角畫法）

由三個互相垂直的平面組成的投影面體系稱為三面投影體系。XOZ面：稱為正投影面，也稱V面。XOY面：稱為水平投影面，也稱H面。

YOZ面：稱為側投影面，也稱W面。（a）三面投影體系的立體圖（b）三面投影體系的展開圖（c）三面投影體系展開去掉投影面邊框

2.2三面投影體系—2.2.1三面投影體系的建立

2.2.1三面投影體系的建立圖2-5三面投影體系的建立三面投影圖的形成2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

（a）三面投影圖的立體圖（b）三面投影圖的展開圖（c）三面投影圖V面投影：即從前往后投射，在V面上所得的投影，反映長和高（x、z）；H面投影：即從上往下投射，在H面上所得的投影，反映長和寬（x、y）；W面投影：即從左往右投射，在W面上所得的投影，反映寬和高（y、z）。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

1.三面投影圖的形成

展開

去掉投影軸圖2-6三面投影圖的形成及投影規(guī)律三面投影圖的投影規(guī)律：（d）坐標及方位（e）三面投影圖的方位（f）投影規(guī)律正面投影與水平投影都表示形體的長（即具有相同的x坐標），稱為長對正；正面投影與側面投影都表示形體的高（即具有相同的z坐標），稱為高平齊；水平投影與側面投影都表示形體的寬（即具有相同的y坐標），稱為寬相等。左右左右長對正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

2.三面投影圖的投影規(guī)律是工程圖學中最基本的原理！圖2-6三面投影圖的形成及投影規(guī)律（續(xù)）作立體的三面投影圖舉例（a）立體圖（b）三面投影圖

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。本節(jié)課的重點：正投影法的投影特性；三面投影圖的投影規(guī)律（長對正、高平齊、寬相等）。本節(jié)課的難點：

正確判斷三面投影圖中的左右、上下、前后方位。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

形成投影的三要素是哪三個？在正投影法中哪兩個要素合并成了一個？在正投影法中，由于投射方向垂直于投影面，這兩個投影形成的要素就合并成了一個。

形體、投射方向和投影面是投影形成的三要素。簡述平行投影法和正投影法的投影特性。工程圖樣主要采用什么投影法？

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

平行投影法:“平行性”、“從屬性”、“定比性”。

平行性：空間相互平行的直線（平面），其投影（積聚性投影）一定相互平行。

從屬性：直線（平面）或曲線上點（點、線）的投影必在該直線（平面）或曲線的投影上。

定比性：點分直線的比（空間兩平行直線長度的比），投影后保持不變。簡述平行投影法和正投影法的投影特性。工程圖樣主要采用什么投影法？

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

正投影法：還有“實形性”、“積聚性”、“類似性”。正投影法

實形性：直線（平面圖形）平行于投影面，其投影反映直線的實長（反映平面圖形的實形）。

積聚性：直線、平面、柱面垂直于投影面，則其投影分別積聚為點、直線、曲線。

類似性：當直線、平面傾斜于投影面時，直線投影的長度縮短；平面的投影為平面圖形的類似形（投影圖，與原平面圖形保持定比性不變，表現為邊數相等，凸凹、曲直狀態(tài)相同，平行關系不變）。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

什么叫分角？什么叫第一角畫法？

簡述三面投影體系中三個投影面的名稱和將其展開到一個平面上的方法。用水平和鉛垂的兩投影面將空間分成的四個區(qū)域，并按順序編號，稱為分角。將物體置于第一分角內，即物體處于觀察者與投影面之間進行投射，然后按規(guī)定展開投影面，稱為第一角投影，也稱為第一角畫法（簡稱E法）。正投影面（V面）、水平投影面（H面）、側投影面（W面）。

V面保持不動，使H面繞OX軸向下旋轉90°，W面繞OZ軸向右旋轉90°。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

正面投影與水平投影都表示形體的長（即具有相同的X坐標），稱為“長對正”；

投影規(guī)律：長對正、高平齊、寬相等（簡稱“三等規(guī)律”）。

正面投影與側面投影都表示形體的高（即具有相同的Z坐標），稱為“高平齊”；簡述三面投影圖的形成、名稱及投影規(guī)律。

形成：將空間形體置于三面投影體系中并向三個投影面投射，就可以得到形體的三面投影圖。

名稱：形體在V面上的投影（圖）稱為正面（V面）投影，在H面上的投影（圖）稱為水平（H面）投影，在W面上的投影（圖）稱為側面（W面）投影。

水平投影與側面投影都表示形體的寬（即具有相同的Y坐標），稱為“寬相等”。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

不畫投影軸和45°斜線。在實際的三面投影圖中畫不畫投影軸和45°斜線？為什么？三面投影圖與三根投影軸之間的距離只是表示形體與三個投影面之間的距離，而改變形體與三個投影面之間的距離，并不會影響三個投影圖的形狀、大小及其相互之間的投影關系。

45°斜線是為了畫Y坐標即保證“寬相等”、便于初學者作圖而設置的，待作圖熟練后即可用直尺或分規(guī)直接量取。

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

左右左右長對正xxyyzz下上下上高平齊后前后前寬相等在哪兩個投影圖中可以表示空間形體的“前、后”方位？圖中的哪一邊表示“前”？在水平投影圖與側面投影圖可以表示空間形體的“前、后”方位；水平投影圖中的下邊、側面投影圖的右邊表示“前”。作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

。作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P7、

P8

2.2三面投影體系—2.2.2三面投影圖的形成及投影規(guī)律

1.點的三面投影WVHOXZYHaxaza

ayayaa″YWXVAYOWZaaYaZaXa″a′H

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影2.3點、直線和平面的投影2.3.1點的投影

空間點的位置，可由直角坐標值來確定，一般采用以下的書寫形式：A(x、y、z)。x、y、z即為點到各投影面的距離。

空間的點用大寫字母表示，如?。黄渫队坝孟鄳男懽帜副硎?，如a表示點A的水平（H）投影;a′表示點A的正面（V）投影;a″表示點A的側面（W）投影。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影圖2-7點的三面投影XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A點到V面的距離

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A點到H面的距離

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A點到W面的距離

2.點的投影規(guī)律（1）點的各投影連線分別垂直于相應的投影軸。

（2）點的每一個投影到投影軸的距離，均反映空間點到相鄰投影面的距離。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影即a′a

⊥OX，

a′a″⊥OZ，

aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

【例2-1】根據空間點C的兩個投影c′，c″，試求作其水平投影c。（a）題圖（b）作圖過程

圖2-8作點的投影圖3．投影面和投影軸上的點的投影

點的一個坐標為零，則點在投影面上，如圖中的A點在V面上，B點在H

面上。

點的兩個坐標為零，則點在投影軸上，如圖中的C點在OX軸上。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

圖2-9投影面和投影軸上的點的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

【例2-2】如圖2-10所示，根據空間點A、B、C、D的兩個投影，試求其第三面投影。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影圖2-10根據點的兩面投影求其第三面投影4．兩點的相對位置

兩點在空間具有上下、前后、左右的位置關系。判斷方法：X坐標大的在左；Y坐標大的在前；Z坐標大的在上。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影圖2-11兩點的相對位置

（1）b′在a′之左（b在a之左），說明B點在A點之左。（2）b′在a′之下（b″在a″之下），說明B點在A點之下。

（3）b″在a″之前（b在a之前），說明B點在A點之前。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影圖2-11兩點的相對位置5.重影點當空間兩點位于某投影面的同一條投射線上（即某兩個坐標相同）時，這兩點在該投影面上的投影就重合成一點，稱為對該投影面的重影點。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影本節(jié)課的重點：點的投影規(guī)律、相對位置

。

本節(jié)課的難點：重影點的判定

。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影若空間的點用某個大寫字母表示，則其三個投影分別用什么符號表示？簡述點的投影規(guī)律。

（1）點的各投影連線分別垂直于相應的投影軸，即

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW若空間的點用大寫字母A、B、C、……表示，則其水平投影用a、b、c、……表示；正面投影用a′、b′、c′、……表示；側面投影用a″、b″、c″、……表示

。（2）點的每一個投影到投影軸的距離，均反映空間點到相鄰投影面的距離。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

（c）對于空間的A、B兩點，若xA＞xB、yA＜yB、zA

＜zB，則A點在B點對V面的重影點的哪兩個坐標相同？若A、B兩點的W面投影為b″（a″），則A點在B點的哪一方？兩點位于V面的同一條投射線上，X坐標和Z坐標分別相同（xA=

xB，zA=

zB），只有Y坐標不同。

（a）之左、前、下。（b）之右、后、上。（c）之左、后、下。（d）之右、前、上。A點在B點的右方。作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》P9

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.1點的投影2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（a）兩個端點的投影圖只要能作出直線上任意兩個不重合的點（通常是直線的兩個端點）的三面投影，那么連接兩點的同面投影，就可得到直線的三面投影。（b）直線的投影圖圖2-12直線的投影投影面傾斜線與三個投影面都傾斜的直線對H面的傾角α

對V面的傾角β

對W面的傾角γ投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面而與其余兩投影面平行正平線（平行于Ｖ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）特殊位置直線1.各種位置直線的投影特性

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影直線與投影面傾斜的程度，可用直線與投影面之間的傾角表示。圖2-13直線的投影及直線與投影面的夾角對H面的傾角α

對V面的傾角β

對W面的傾角γ若直線平行（垂直）于投影面，則傾角為0°（90°）。只平行于某一投影面的直線。（1）投影面平行線正平線實長水平線實長側平線實長水平線側平線正平線

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-14投影面平行線投影面平行線的投影特性：

（1）在所平行的投影面上，投影反映實長。（投影與投影軸之間的夾角表示直線與另外兩個投影面之間的實際傾角）

（2）在另外兩個投影面上，投影均平行于相應的投影軸，呈水平或鉛垂狀態(tài)。正平線實長水平線實長側平線實長可簡單地記為一實長、二平行。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（2）投影面垂直線垂直于一個投影面的直線。投影特性:

（1）在所垂直的投影面上，投影積聚成一點。如直線AB的水平面投影a（b）。

（2）在另外兩個投影面上，投影均垂直于相應的投影軸，呈鉛垂或水平狀態(tài)，且反映實長。如直線AB的正面投影a′b′⊥OX,側面投影a″b″⊥OY?！瘛瘛駛却咕€正垂線鉛垂線一積聚、二垂直。必平行于另外兩個投影面。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-15投影面垂直線

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影Z

YHaOXabbaYWb

（2）三個投影的長度都小于實長。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY（3）投影面傾斜線與三個投影面都傾斜的直線。（1）三個投影都傾斜于投影軸。（3）投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的實際傾角。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影也稱為“一般位置直線”。（a）立體圖圖2-16投影面傾斜線（一般位置直線）

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（b）投影圖

【例2-3】如圖2-17（a）、（c）所示，已知直線AB和CD的兩面投影，試求作第三面投影，并指出直線AB、CD各屬于哪一種位置的直線。（c）題圖（d）作圖結果（a）題圖（b）作圖結果

先求出a″和b″，連接a″、b″，即為直線AB的第三面投影。AB為正平線。

作出CD的側面投影c″（d″），由于c″（d″）積聚成一點，可知CD是側垂線。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-17根據直線的兩面投影求其第三面投影2.投影面傾斜線的實長及其對投影面的傾角直角三角形法

在直角三角形ABB0中，一條直角邊AB0=ab（直線的投影），

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影空間問題分析斜邊AB即為其實長，AB與AB0的夾角即為AB對H面的傾角α。

另一條直角邊BB0為兩端點A、B的Z坐標之差（zB-

zA），【例2-4】試求投影面傾斜線AB的實長和對H面的傾角α。

方法1：以水平投影為直角邊，過b（或a）作ab的垂線，在此垂線上量取bb0=zB-zA，則ab0即為投影面傾斜線AB的實長，∠b0ab即為α角。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-18求作投影面傾斜線的實長及其對H面的傾角α方法2：過a′作OX軸的平行線與b′b

相交于b0′（b′b0′=zB-zA

），量取b0′a0′=ab，則b′a0′也是所求直線AB的實長，∠b′a0′

b0′即為α角。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-18求作投影面傾斜線的實長及其對H面的傾角α

【例2-5】試求投影面傾斜線AB對V面、W面的傾角β、γ。

以正面投影為直角邊，過a′（或b′）作a′b′的垂線，在此垂線上量取a′a0′=

yA-

yB，則b′a0′即為投影面傾斜線AB的實長,∠a0′

b′a′即為β角。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-19求作投影面傾斜線對V面、W面的傾角β、γ按照同樣的分析和作圖過程，還可求出AB對W面的傾角γ。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影只要掌握了直角三角形各元素表示的空間關系，就能根據直線的實長、傾角、投影長度和端點的坐標差這四個元素中的任意兩個已知元素，作出直角三角形，求出其余的兩個未知元素。由上述作圖過程可以總結出直角三角形法的作圖規(guī)律。利用直角三角形法，不僅可以由直線的已知投影求出其實長和傾角，也可反過來運用，由已知的直線的實長或傾角求出其投影。

【例2-6】已知直線AB的水平投影ab和A點的正面投影a′，α角為30o，試求作直線的正面投影a′b′。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-20求作直線AB的正面投影在H面投影中作直角三角形abb0，則直角邊bb0反映AB兩端點至H面的距離差，即Z坐標之差，將其量到V面投影中，即可作出a′b1′（有兩個解，另一個為a′b2′）。

【例2-7】已知直線CD的水平投影cd

和實長（22mm）以及C點的正面投影c′，試求作直線CD的正面投影。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-21求作直線CD的正面投影作出直角三角形cdd0，其中斜邊cd0=22mm，直角邊dd0即為所求的Z坐標之差，將其量到V面投影中，即可求得D點的正面投影d1′、d2′（有兩個解），從而作出直線CD的正面投影。3.直線上點的投影直線上點的投影特性即：AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″“從屬性”：直線上的點的三面投影，必在該直線的同面投影上。“定比性”：點分直線的比，投影后保持不變。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影圖2-22直線上點的投影

點S的三面投影中，有一個（s″）不在直線AB的同名投影（a″b″）上，則點S肯定不在直線AB上?！纠?-8】判斷點S是否在直線AB上。（a）題圖（b）判斷方法1（c）判斷方法2

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影用定比性作出第三面投影圖2-23判斷點S是否在直線AB上本節(jié)課的重點：各種位置直線的投影特性及作圖。

直線上點的投影特性及其判定與作圖。本節(jié)課的難點：

利用直線的投影求其實長及真實傾角的直角三角形法。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

1.投影面平行線：水平線、正平線、側平線在所平行的投影面上，投影反映實長，投影與投影軸之間的夾角表示直線與另外兩個投影面之間的實際傾角；在另外兩個投影面上，投影均平行于相應的投影軸。一實長、二平行

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影特殊位置直線有哪幾種？各有什么投影特性？一般位置直線又有什么投影特性？

2.投影面垂直線：正垂線、鉛垂線、側垂線在所垂直的投影面上，投影積聚成一點；在另外兩個投影面上，投影均垂直于相應的投影軸，且反映實長。一積聚、二垂直一般位置直線又叫投影面傾斜線三個投影都傾斜于投影軸，其長度均小于實長；投影與投影軸的夾角不反映直線與投影面的實際傾角。三類似

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影該直線是水平線，其側面投影應該平行于OYW軸。若直線平行于某一投影面，則它在該投影面上的投影一直線的正面投影平行于OX軸，水平投影傾斜于OX軸，那么該直線是哪一種特殊位置直線？其側面投影應該有什么特征？

a.反映實長且平行于相應的坐標軸。

b.小于實長且平行于相應的坐標軸。

c.反映實長且傾斜于相應的坐標軸。

d.小于實長且傾斜于相應的坐標軸。C.反映實長且傾斜于相應的坐標軸。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影（a）X坐標差。（b）Y坐標差。（c）Z坐標差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直線AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其實長時，（1）若以ab為一直角邊，則另一直角邊應為端點A、B的（2）若以a′b′為一直角邊，則（可多選）

（a）另一直角邊為端點A、B的Y坐標差。（b）X坐標差。（c）斜邊為AB的實長。（d）斜邊與a′b′的夾角為AB對V面的傾角β

。簡述直線上點的投影特性。

（1）直線上的點的三面投影，必在該直線的同面投影上。（2）點分割直線成定比。（c）（d）（b）（a）作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P10

～P13

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P10

～P13

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

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～P13

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影作業(yè)《機械工程圖學基礎教程習題集》

P10

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2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.2直線的投影不在同一直線上的三點直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●平行兩直線abca

b

c

●●●●●●相交兩直線平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX用幾何要素表示平面2.3.3平面的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-24平面的表示方法

正面跡線(V面跡線）PV：平面P與V面的交線

水平跡線(H面跡線）PH：平面P與H面的交線

側面跡線(W面跡線）PW：平面P與W面的交線用平面的跡線表示平面

WHVOpVXZYHYWpHpwpxpypzpyP

pH

pVpw平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影對于一般位置的平面展開用平面的跡線表示平面對于特殊位置的平面

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影（a）水平面（b）正垂面（c）鉛垂面圖2-24平面的表示方法（續(xù)）1.各種位置平面的投影特性垂直傾斜投影特性平面平行于投影面——投影即平面實形平面垂直于投影面——投影積聚成直線平面傾斜于投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性平面對一個投影面的投影特性平行

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三個投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面投影面傾斜面（一般位置平面）特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫鎮(zhèn)绕矫?/p>

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影（1）投影面垂直面

垂直于一個投影面而與其余兩個投影面皆傾斜的平面。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-25投影面垂直面的立體圖

垂直于水平面的平面稱為鉛垂面。XYYWYHOa(d)c(b)d’b’a’c’b”a”c”d”ABCDa(d)b(c)d’b’a’c’b”a”c”d”

鉛垂面

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

垂直于正面的平面稱為正垂面。

正垂面ABCDd’(a’)c’(d’)abcdc″b″d″a″XYYWYHOd′

(a′

)c′

(d′)abcdc″b″d″a″

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影ABCDabcdd′b′a′c′a″(b″)

d″(c″)

側垂面

垂直于側面的平面稱為側垂面。XYYWYHOd″(c″)abcda″(b″)d′

b′a′

c′

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影c

c

投影面垂直面的投影特性abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在所垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角就是平面與另外兩投影面的夾角。在另外兩個投影面上的投影為類似形。（一積聚、二類似）

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面垂直面投影特性的小結

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

一積聚、二類似（2）投影面平行面

平行于一個投影面的平面。必然同時垂直于另外兩個投影面！

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

圖2-26投影面平行面的立體圖

①水平投影反映平面的實形。②正面投影和側面投影積聚為一條與相應軸平行的直線。平行于H

面的稱為水平面，其投影特性為：水平面的投影特性

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

①正面投影反映平面的實形。

②水平投影和側面投影積聚為一條與相應軸平行的直線。正平面的投影平行于V面的稱為正平面，其投影特性為：

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影①側面投影反映平面的實形。

②正面投影和水平投影積聚為一條與相應軸平行的直線。側平面的投影特性平行于W面的稱為側平面，其投影特性為：

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。投影面平行面的投影特性（一實形、二積聚）

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面平行面投影特性的小結

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

一實形、二積聚

對三個投影面都傾斜的平面稱為投影面傾斜面。

投影面傾斜面的三個投影都是小于實形的類似形，也不能反映該平面與投影面的夾角。（3）投影面傾斜面（一般位置平面）

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-27投影面傾斜面（一般位置平面）2.平面內的直線和點的投影位于平面上的直線應滿足的條件：（1）平面內的直線的投影●●MNAB●M

若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。

若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影在已知平面△ABC內求作任意一直線的方法：方法一是在直線AB上任取一點E（e、e′），在直線AC上任取一點F（f、f

′），連接E、F兩點的同面投影e、f和e′、f

′即可。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

方法二是先在直線AB上任取一點G（g、g′），再過點G作直線GH平行于已知直線BC（即gh∥bc、g′h′∥b′c′）即可。圖2-28在平面上取直線的方法（a）題圖（b）作圖過程及結果

【例2-9】試由△ABC的頂點A作出其中線AD的投影。先利用“定比性”在bc上作出中點d，并由d作投影連線求出d′；再連接同面投影即可。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-29求作三角形中線的投影（2）平面內的點的投影

先找出過此點且在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。【例】已知點K在平面ABC上，試求其水平投影。baca

k

b

●①c

平面內取點的方法：利用平面的積聚性求解通過在平面內作輔助線求解首先在面上取線k●d

d②●abca

b

k

c

k●

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-10】已知△ABC上點M的水平投影m，試求其正面投影m′。

先在H面投影中連接a、m并延長交bc于d。再過d作投影連線求得d′，連接a′d′，則m′一定在a′d′上，過m作投影連線，與a′d′的交點即為點M的正面投影m′。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影思路：先在平面內作線，再在線上求點。圖2-30求平面內點的投影圓平面的投影特性（1）圓平面為投影面平行面時，在所平行的投影面上的投影為圓，另外兩個投影分別積聚為直線，其長度就等于圓的直徑。（一實形二積聚

）（2）圓平面為投影面垂直面時，在所垂直的投影面上的投影積聚成一直線，另外兩個投影均為橢圓，其長軸均等于圓的直徑。（一積聚二類似）（3）圓平面為一般位置平面時，其三個投影均為橢圓。（三類似

）3.圓平面的投影

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-11】

已知圓平面為鉛垂面，對V面的傾角為β，直徑為D，圓心O1的兩個投影為o1、o1′，試求作該圓平面的兩面投影。（a）立體圖

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影

過O1作長度為D的直線ab與OX軸成β角，且O1位于ab的中點。作出橢圓，即為圓的正面投影。

先過O1′作長度為直徑D的鉛垂線c′d′，再過O1′作水平線a′b′（=cosβ）；c′d′、a′b′即分別為橢圓的長、短軸。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-31圓平面的投影4.多邊形平面的投影多邊形由一些點和線（主要是直線）構成，因此，作多邊形的投影圖，就要用到點、直線的投影特性以及在平面內作點和直線的方法。

【例2-12】

如圖2-32所示，在平行四邊形平面ABCD上有一燕尾形缺口ⅠⅡⅢⅣ，已知其正面投影，試求作其水平投影。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影圖2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影由1′、4′可直接在ab上求出Ⅰ、Ⅳ兩點的水平投影1、4。延長1′2′與c′d′相交于5′，求出5，連接1、5，再由2′求出2。過2作cd

的平行線，與從3′作的投影連線相交，可求得3。連接1、2、3、4，即得到燕尾形缺口的水平投影。

2.3點、直線和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-13】

如圖2-33（a）所示，結合立體圖看懂三面投影圖，并完成以下內容：（3）分析平面