高中排列組合經(jīng)典例題

運用兩個基本原理

例1．n個人參加某項資格考試，能否通過，有多少種可能的結果

例2．同室四人各寫了一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）

（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種

解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。

其次，我們在抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

一．特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對于特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。

例1．用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。

A．24個個個個30。

例2．(1995年上海)1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法（）種．

72

例3．（2000年全國）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有（）種.

A33·A72＝252

例4．從0，1，……，9這10個數(shù)字中選取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多少個

例5．8人站成兩排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法

特殊優(yōu)先，一般在后對于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先”，有時“位置優(yōu)先”。

練習1（89年全國）由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有個（用數(shù)字作答）。

36三．合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

四．相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法．

例7．有8本不同的書；其中數(shù)學書3本，外語書2本，其它學科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有()種．(結果用數(shù)值表示)

A55A33A22=1440(種).

例8．7名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。

例9．8人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站在丙的兩旁，有多少種排法例10．5個男生3個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法練習3四對兄妹站一排，每對兄妹都相鄰的站法有多少種答案：A44·24=384

五．不相鄰問題用“插空法”：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法．

例11．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有()個．(用數(shù)字作答)

例12．7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法

解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應為：種.

例13．排一張有8個節(jié)目的演出表，其中有3個小品，既不能排在第一個，也不能有兩個小品排在一起，有幾種排法

例14．5個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法

練習4．4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種答案：2A44·A44

例15．馬路上有編號為1、2、3、…、9的9盞路燈，現(xiàn)要關掉其中的三盞，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關兩端的路燈，則滿足要求的關燈方法有幾種

練習5從1、2、…、10這十個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，有幾種不同的取法

答案：C83。

六．順序固定用“除法”：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。

例16．6個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊方法有多少種

例17．4個男生和3個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。

A74種排法

元素定序，先排后除或選位不排或先定后插

對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。

例18．5人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況

練習6要編制一張演出節(jié)目單，6個舞蹈節(jié)目已排定順序，要插入5個歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法

七．分排問題用“直排法”：把幾個元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。

例19．7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種

A77

八．逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)律。

例20.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A．6.9C

B

九、構造模型“隔板法”對于較復雜的排列問題，可通過設計另一情景，構造一個隔板模型來解決問題。

例21．方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解

例10．把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況

15

例22．20個相同的球分給3個人，允許有人可以不取，但必須分完，有多少種分法

2

210C21

相同元素進盒，用檔板分隔

例23．10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法C94注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。

練習9從全校10個班中選12人組成排球隊，每班至少一人，有多少種選法

C119

十.正難則反——排除法

對于含“至多”或“至少”的排列組合問題，若直接解答多需進行復雜討論，可以考慮“總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符合條件的排列組合數(shù)的方法．

例24．從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意