考研數(shù)學(xué)二(微分中值定理及其應(yīng)用)模擬試卷5(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（微分中值定理及其應(yīng)用）模擬試卷5(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=－1，則x=0A．是f(x)的駐點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)．B．是f(x)的駐點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)．C．是f(x)的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)．D．不是f(x)的駐點(diǎn)．正確答案：C解析：本題應(yīng)先從x=0是否為駐點(diǎn)入手，即求f’(0)是否為0；若是，再判斷是否為極值點(diǎn)．由=0，從而f(0)=0，f’(0)==－1×0=0可知x=0是f(x)的駐點(diǎn)．再由極限的局部保號(hào)性還知，在x=0的某去心鄰域內(nèi)＜0；由于1－cosx＞0，故在此鄰域內(nèi)，當(dāng)x＜0時(shí)f(x)＞0=f(0)，而當(dāng)x＞0時(shí)f(x)＜0=f(0)，可見x=0不是極值點(diǎn)，故選C．知識(shí)模塊：微分中值定理及其應(yīng)用2．設(shè)f(x)在x=a處連續(xù)，且=2，則f(x)在x=a處A．不可導(dǎo)．B．可導(dǎo)且f’(a)≠0．C．有極大值．D．有極小值．正確答案：D解析：由f(x)在x=a連續(xù)=>=(a)．又根據(jù)極限的保號(hào)性，即f(x)－f(a)＞0．因此f(a)為極小值．故選D．知識(shí)模塊：微分中值定理及其應(yīng)用3．設(shè)f(x)可導(dǎo)，恒正，且0＜a＜x＜b時(shí)恒有f(x)＜xf’(x)，則A．bf(a)＞af(b)．B．a(chǎn)bf(x)＞x2f(b)．C．a(chǎn)f(a)＜xf(x)．D．a(chǎn)bf(x)＜x2f(a)．正確答案：C解析：A，B，D分別改寫為因此要考察的單調(diào)性．因?yàn)?>A，B，D均不對(duì)．選C．或由正值函數(shù)在[a，b]單調(diào)上升=>xf(x)=在[a，b]單調(diào)上升=>C對(duì)．選C．知識(shí)模塊：微分中值定理及其應(yīng)用4．曲線y=f(x)=的拐點(diǎn)有A．1個(gè)．B．2個(gè)．C．3個(gè)．D．4個(gè)．正確答案：B解析：f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，+∞)，且在定義域內(nèi)處處連續(xù)．由令f”(x)=0，解得x1=0，x2=2；f”(x)不存在的點(diǎn)是x3=－1，x4=1(也是f(x)的不連續(xù)點(diǎn))．現(xiàn)列下表：由上表可知，f(x)在x1=0與x2=2的左右鄰域內(nèi)凹凸性不一致，因此它們都是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，故選B．知識(shí)模塊：微分中值定理及其應(yīng)用填空題5．曲線y=(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐點(diǎn)是________．正確答案：(0，0)解析：這里y(x)在(－∞，+∞)連續(xù)，(y’(0)，y”(0)均不)，y(x)在x=0兩側(cè)凹凸性相反，(0，0)是拐點(diǎn)．知識(shí)模塊：微分中值定理及其應(yīng)用解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。6．求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)．正確答案：(Ⅰ)定義域x≠±1，間斷點(diǎn)x=±1，零點(diǎn)x=0，且是奇函數(shù)．(Ⅱ)求y’，y”和它們的零點(diǎn)．由y’=0得駐點(diǎn)x=0，；由y”=0得x=0，由這些點(diǎn)及間斷點(diǎn)x=±1把函數(shù)的定義域按自然順序分成．由此可列出函數(shù)如下分段變化表，并標(biāo)明每個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性及相應(yīng)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)．因此，單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；極大值點(diǎn)是x=，對(duì)應(yīng)的極大值是，極小值點(diǎn)是，對(duì)應(yīng)的極小值是；凸區(qū)間是(－∞，－1)，(0，1)，凹區(qū)間是(－1，0)，(1，+∞)；拐點(diǎn)是(0，0)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用7．在半徑為a的半球外作一外切圓錐體，要使圓錐體體積最小，問高度及底半徑應(yīng)是多少?正確答案：設(shè)外切圓錐體的底半徑為r，高為h．見圖4．8，記∠ABO=φ，則tanφ=，于是圓錐體體積為求V(r)的最小值點(diǎn)等價(jià)于求f(r)=的最小值點(diǎn)．由于因此，當(dāng)時(shí)圓錐體體積最小．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用8．證明函數(shù)f(x)=在(0，+∞)單調(diào)下降．正確答案：f(x)=，則下證2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)＜0(x＞0)．令t=2x，則x＞0時(shí)t＞1，2xln2x－(1+2x)ln(1+2x)=tlnt－(1+t)ln(1+t)g(t)．由于g’(t)=lnt－ln(1+t)＜0(t＞0)=>g(t)在(0，+∞)單調(diào)下降，又=0=>g(t)＜0(t＞0)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用9．設(shè)f(x)分別滿足如下兩個(gè)條件中的任何一個(gè)：(Ⅰ)f(x)在x=0處三階可導(dǎo)，且=1，則正確的是(Ⅱ)f(x)在x=0鄰域二階可導(dǎo)，f’(0)=0，且(－1)f”(x)－xf’(x)=ex－1，則下列說法正確的是(A)f(0)不是f(x)的極值，(0，f(0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．(B)f(0)是f(x)的極小值．(C)(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．(D)f(0)是f(x)的極大值．正確答案：(Ⅰ)由條件=1及f’(x)在x=0連續(xù)即知=f’(0)=0．用洛必達(dá)法則得型未定式極限因=f”(0)，若f”(0)≠0，則J=∞與J=1矛盾，故必有f”(0)=0．再由f”‘(0)的定義得=>f”‘(0)=2．因此，(0，f(0))是拐點(diǎn)．選(C)．(Ⅱ)已知f’(0)=0，現(xiàn)考察f”(0)．由方程得又f”(x)在x=0連續(xù)=>f”(0)=3＞0．因f(0)是f(x)的極小值．應(yīng)選(B)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用10．設(shè)a＞0，求f(x)=的最值．正確答案：f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)且可寫成如下分段函數(shù)由此得x∈(－∞，0)時(shí)f’(x)＞0，故f(x)在(－∞，0]單調(diào)增加；x∈(a，+∞)時(shí)f’(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)單調(diào)減少．從而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(－∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f’(x)=0，即(1+a－x)2－(1+x)2=0，得x=．又因此f(x)在[0，a]即在(－∞，+∞)的最大值是由于f(x)在(－∞，0)單調(diào)增加，在(a，+∞)單調(diào)減少，又f(x)在[0，a]的最小值=0，因此f(x)在(－∞，+∞)上無最小值．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用11．設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，在(0，1)內(nèi)f(x)＞0且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲線y=f(x)與直線x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2，求函數(shù)y=f(x)，問a為何值，此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積最小?正確答案：(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．這是求解一階線性方程f’(x)－．兩邊乘積分因子μ=(取其中一個(gè))，得，其中C為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)確定C與a的關(guān)系使得由y=f(x)與x=1，y=0圍成平面圖形的面積為2．由已知條件得2=，則C=4－a．因此，f(x)=ax2+(4－a)x，其中a為任意常數(shù)使得f(x)＞0(x∈(0，1))．a(chǎn)，有f(0)=0，f(1)=．又f’(x)=3ax+4－a，由此易知－8≤a≤4時(shí)f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋轉(zhuǎn)體的體積．(Ⅳ)求V(a)的最小值點(diǎn)，由于則當(dāng)a=－5時(shí)f(x)＞0(x∈(0，1))，旋轉(zhuǎn)體體積取最小值．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用12．當(dāng)x≥0，證明∫0x(t－t2)sin2ntdt≤，其中n為自然數(shù)．正確答案：令f(x)=∫0x(t－t2)sin2ntdt，則f(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，f’(x)=(x－x2)sin2nx．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，除x=kπ(k=1，2，3，…)的點(diǎn)(f’(x)=0)外，f’(x)＜0，則f(x)在0≤x≤1單調(diào)上升，在x≥1單調(diào)減小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又當(dāng)t≥0時(shí)sint≤t，于是當(dāng)x≥0時(shí)有f(x)≤f(1)=∫01(t－t2)sin2ntdt≤∫01(t－t2)t2ndt=涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用13．設(shè)f(x)在[0，+∞)可導(dǎo)，且f(0)=0．若f’(x)>＞－f(x)，x∈(0，+∞)，求證：f(x)＞0，x∈(0，+∞)．正確答案：要證f(x)＞0exf(x)＞0(x＞0)．由exf(x)在[0，+∞)可導(dǎo)且[exf(x)]’=ex[f’(x)+f(x)]＞0(x＞0)=>exf(x)在[0，+∞)單調(diào)上升=>exf(x)＞exf(x)｜x=0=0(x＞0)=>f(x)＞0(x＞0)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用14．求證：(x∈(0，1))．正確答案：改寫右端對(duì)f(t)ln(1+t)，g(t)=arcsint在[0，x]區(qū)間用柯西中值定理：注意函數(shù)在(0，1)是單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)樵坏仁匠闪ⅲ婕爸R(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用15．設(shè)a＞0，b＞0，a≠b，證明下列不等式：(Ⅰ)ap+bp＞21－p(a+b)p(p＞1)；(Ⅱ)ap+6p＜21－p(a+b)p(0＜p＜1)．正確答案：將ap+bp＞21－p(a+b)p改寫成．考察函數(shù)f(x)=xp，x＞0，則f’(x)=pxp－1，f”(x)=p(p－1)xp－2．(Ⅰ)若p＞1，則f”(x)＞0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)為凹函數(shù)，其中t=得：a＞0，b＞0，a≠b，有(Ⅱ)若0＜p＜1，則f”(x)＜0(x＞0)，f(x)在(0，+∞)為凸函數(shù)，其中涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用16．設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，f(a)≥f(b)，求證：f’(x)在(a，b)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．正確答案：f(x)在[a，b]的連續(xù)性，保證在[a，b]上f(x)至少達(dá)到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在區(qū)間端點(diǎn)達(dá)到，則必在x=a達(dá)到．由f(x)的可導(dǎo)性，必有f’+(a)≤0，條件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端點(diǎn)達(dá)到．同理可證f(x)的最小值也不能在端點(diǎn)x=a或x=b達(dá)到．因此，f(x)在[a，b]的最大值與最小值必在開區(qū)間(a，b)達(dá)到，于是最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)均為極值點(diǎn)．又f(x)在[a，b]可導(dǎo)，在極值點(diǎn)處f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用17．設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，求證：曲線y=ex與y=axx+bx+c的交點(diǎn)不超過三個(gè)．正確答案：令f(x)=ex－axx－bx－c，那么問題等價(jià)于證明f(x)的零點(diǎn)不超過三個(gè)．假設(shè)結(jié)論不正確，則至少有四個(gè)點(diǎn)x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4．由于f(x)在[x1，x4]上可導(dǎo)，由羅爾定理可知f’(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)ξ1，ξ2，ξ3．又由于f’(x)在[ξ1，ξ3]上可導(dǎo)，由羅爾定理可知f”(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)η1，η2．同樣地，由于f”(x)在[η1，η2]上可導(dǎo)，由羅爾定理可知f”‘(x)在(η1，η2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)ζ．因此至少存在一點(diǎn)ζ∈(－∞，+∞)使得f”‘(ζ)=0，而f”‘(x)=ex＞0(x∈(－∞，+∞))，這就產(chǎn)生了矛盾．故f(x)的零點(diǎn)不超過三個(gè)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用18．設(shè)f(x)在[x1，x2]可導(dǎo)，0＜x1＜x2，證明：ξ∈(x1，x2)使得正確答案：令F(x)=，則f(x)在[x1，x2]可導(dǎo)，又因此，由羅爾定理，ξ∈(x1，x2)，使得即f(ξ)－ξf’(ξ)=1．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用19．求證：方程lnx=在(0，+∞)內(nèi)只有兩個(gè)不同的實(shí)根．正確答案：即證f(x)=在(0，+∞)只有兩個(gè)零點(diǎn)．先考察它的單調(diào)性：由于f(x)在(0，e)與(e，+∞)分別單調(diào)上升與下降，又f(e)=＞0，故只需證明：x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因則x1∈(0，e)使f(x1)＜0；x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)與(e，+∞)內(nèi)分別只有一個(gè)零點(diǎn)，即在(0，+∞)內(nèi)只有兩個(gè)零點(diǎn)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用20．求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凹凸性區(qū)間與拐點(diǎn)．正確答案：定義域：x≠1．=>單調(diào)增區(qū)間(0，1)；單調(diào)減區(qū)間(－∞，0)∪(1，+∞)；極小值點(diǎn)x=0．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用21．證明：arctanx=(x∈(－∞，+∞))．正確答案：令f(x)=arctanx－，則=>f(x)為常數(shù)．又f(0)=0=>f(x)≡0，x∈(－∞，+∞)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用22．設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，在(a，b)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且f(x)不恒為常數(shù)，求證：在(a，b)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得f’(ξ)＞0．正確答案：若不然=>x∈(a，b)，f’(x)≤0=>f(x)在[a，b]單調(diào)不增=>x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)=>f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]為常數(shù)，矛盾了．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用23．設(shè)當(dāng)x＞0時(shí)，方程kx+=1有且僅有一個(gè)解，求k的取值范圍．正確答案：設(shè)f(x)=kx+－1，則(Ⅰ)當(dāng)k≤0時(shí)，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，又故f(x)此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)．(Ⅱ)當(dāng)k＞0時(shí)，由f’(x)=0得x=，由于f”(x)＞0，x=是極小值點(diǎn)，且極小值為當(dāng)極小值為零時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有k=，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；當(dāng)k≠時(shí)，方程無根或有兩個(gè)根．因此，k的取值范圍為k≤0及k=涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用24．設(shè)f(x)在[1，+∞)可導(dǎo)，[xf(x)]≤－kf(x)(x＞1)，在(1，+∞)的子區(qū)間上不恒等，又f(1)≤M，其中k，M為常數(shù)，求證：f(x)＜(x＞1)．正確答案：已知xf’(x)+(k+1)f(x)≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，要證f(x)xk+1＜M(x＞1)．令F(x)=f(x)xk+1=>F’(x)=xk+1f’(x)+(k+1)xkf(x)=xk[xf’(x)+(k+1)f(x)]≤0(x＞1)，在(1，+∞)子區(qū)間上不恒為零，又F(x)在[1，+∞)連續(xù)=>F(x)在[1，+∞)單調(diào)下降=>F(x)＜F(1)=f(1)≤M(x>1)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用25．設(shè)f(x)在[0，1]可導(dǎo)且f(1)=，求證：ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．正確答案：令F(x)=f(x)，則F(x)在[0，1]可導(dǎo)，且因此，由羅爾定理，，使得F’(ξ)==0，即f’(ξ)=2ξf(ξ)．涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用26．設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且f’(0)=0，f”(0)存在．求證：正確答案：因?yàn)閘n(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得由于當(dāng)x＞0時(shí)，有＜1；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，有1＜，故由夾逼定理知，．于是涉及知識(shí)點(diǎn)：微分中值定理及其應(yīng)用27．(Ⅰ)設(shè)f(x)在[x0，x0+δ)((x0－δ，x0])連續(xù)，在(x0，x0+δ)((x0－δ，x0))可導(dǎo)，又，求證：f’+(x0)=A(f’－(x0)=A)．(Ⅱ)設(shè)f(x)在(x0－δ，x0+δ)連續(xù)，在(x0－δ，x0+δ)／｛x0｝可導(dǎo)，又=A，求證：f’(x0)=A．(Ⅲ)設(shè)f(x)在(a，b)可導(dǎo)，x0∈(a，b)是f’(x)的間斷點(diǎn)，求證：x=x0是f’(x)的第二類間斷點(diǎn)．正確答案：(Ⅰ)f’+(x0)=A．另一類似．(Ⅱ)由題(Ⅰ)=>f’+(x0)=f’－(x0)=A=>f’(x0)=A．或類似題(Ⅰ)，直接證明(Ⅲ)即證中至少有一個(gè)不．若它們均存在，，