2020-2021學(xué)年人教版初一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點01 有理數(shù)及分類

2020-2021學(xué)年人教版初一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點01有理數(shù)及分類

知識框架

'正數(shù)和負數(shù)

有理數(shù)及相關(guān)概念

基礎(chǔ)知識點■有理數(shù)分類

小數(shù)（分數(shù)）分類補充

常用數(shù)學(xué)概念含義

數(shù)集問題

重難點題型<

規(guī)律探索

基礎(chǔ)知識點：

知識點1.1正數(shù)和負數(shù)

負數(shù)：規(guī)定一種意義的量為正數(shù)，與之意義相反的量規(guī)定為負數(shù)。

（1）用正負號表示相反意義量，一般用（+）表示增多等情況，用（-）表示減少量。

（2）注意：①相反意義的量是成對出現(xiàn)的；②相反意義的量必須是同類量；③用正負表示時，一定要說

明數(shù)量和單位；

（3）在實際生活生產(chǎn)中，并沒有出現(xiàn)常見的意義相反的量，而是把其中某一個量規(guī)定為“0”作為基準數(shù),

比基準（零）大的為正，比基準（零）小的為負。

（1）正數(shù)：大于零的數(shù)，如3,加等，其中（+）可以省略

2

3

（2）負數(shù)：小于零的數(shù)，如-1,-2，-30%等，其中（-）不可以省略

4

（3）0：正數(shù)和負數(shù)的分界線，既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。（0并非表示沒有）

注：不能簡單的根據(jù)符號來判斷正負，而需要根據(jù)正負數(shù)的定義

'正數(shù),a<0

-<負數(shù)，a>0

0,a=0

例1.（2020?北京初三一模）舉出一個數(shù)字“0”表示正負之間分界點的實際例子，如.

【答案】0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）

【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)中。表示數(shù)的意義解答即可.

【解析】在實際中，數(shù)字“0”表示正負之間分界點，如：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）.

故答案為：0℃可以表示溫度正負分界等（答案不唯一）.

【點睛】此題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義,熟練掌握既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的0的意義是解本題的關(guān)鍵.0

既不是正數(shù)也不是負數(shù).0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù).

例2.（2020?四川初三）在檢測排球質(zhì)量時，將質(zhì)量超過標準的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負數(shù),

下面是檢測過的四個排球，在其上方標注了檢測結(jié)果，其中質(zhì)量最接近標準的一個是（）

【答案】C

【分析】正數(shù)表示比標準質(zhì)量重，負數(shù)表示比標準質(zhì)量輕，他們與標準重量的差值越小就越接近標準值。

【解析】他們與標準重量的差值分別為：0.5；0.3；0.2；0.6.

：0.2<0.3<0.5<0.6,；.C選項的排球最接近標準質(zhì)量，故選：C.

【點睛】本題主要考查的是絕對值的意義，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵.

例3.（2020?成都市初一培優(yōu)改編）下列說法中，正確的有哪些：

①。是自然數(shù)；②0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；③。可以表示海平面的高度；④正數(shù)比。大，負數(shù)比0

小，。是正數(shù)和負數(shù)的分界線；⑤0只表示什么都沒有；⑥。是非正數(shù)；00℃表示沒有溫度；⑧。是偶

數(shù)，也是自然數(shù)；⑨不帶負號的數(shù)都是正數(shù)；

【答案】①②③④⑥⑧

【解析】①正確，0是自然數(shù)；②正確，數(shù)分為正數(shù)、負數(shù)和0,其中0既不是正數(shù)也不是負數(shù)

③正確，通常以0作為正負數(shù)的分界線，0可表示海平面高度；④正確，正負數(shù)的定義就是與0作比較

⑤錯誤，如并非表示沒有溫度；⑥正確，非正數(shù)包括負數(shù)和0；⑦錯誤，0℃表示溫度為水結(jié)冰的臨

界點溫度，并非沒有溫度；⑧正確，0是自然數(shù)，也是偶數(shù)；⑨錯誤，判斷正負，不能僅僅根據(jù)符號判

定，而需要與0比較大小.

例4.（2020?全國初一課時練習）下列說法：①帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)；②任意一個正

數(shù)，前面加上負號就是一個負數(shù)；③0是最小的正數(shù)；④大于0的數(shù)是正數(shù)；⑤0只表示沒有.

其中正確的是（）

A.①②B.②④C.①②④D.③⑤

【答案】B

【分析】根據(jù)正負數(shù)的意義可判斷①②④，根據(jù)0的意義可判斷③⑤，進而可得答案.

【解析】解：帶正號的數(shù)不一定是正數(shù)，帶負號的數(shù)也不一定是負數(shù)，所以①錯誤；

任意一個正數(shù)，前面加上負號就是一個負數(shù)，所以②正確；

0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，所以③錯誤；大于。的數(shù)是正數(shù)，所以④正確；

0可以表示沒有，也可以表示某種量的基準，所以⑤錯誤.故選：B.

【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，明確正數(shù)大于0、負數(shù)小于0,0既不是正數(shù)又不是負數(shù)是關(guān)鍵.

例5.（2020?山西初一期中）負數(shù)的引入是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一大飛躍，使數(shù)的家族得到了擴張，為人們

認識世界提供了更多的工具.中國是世界上最早認識和應(yīng)用負數(shù)的國家，比西方早一千多年，負數(shù)最早

記載于下列哪部著作中（）

海

需

D算

A.B.B設(shè)

《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》

【答案】C

【分析】根據(jù)負數(shù)的發(fā)展史作答即可.

【解析】解：中國是世界上最早認識和應(yīng)用負數(shù)的國家，比西方早（一千多）年.負數(shù)最早記載于中

國的《九章算術(shù)》（成書于公元一世紀）中.故答案為：C.

【點睛】本題考查數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，需要學(xué)生對歷史上重要的數(shù)學(xué)成就有所了解.

例6.（2020?湖南省初一期中）某工廠一周計劃每日生產(chǎn)某產(chǎn)品100噸，由于工人實行輪休，每日上班

人數(shù)不一定相等，實際每日生產(chǎn)量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的噸數(shù)記為正數(shù),

減少的噸數(shù)記為負數(shù)）

星期一二三四五六日

增減/噸-1+3-2+4+7-5-10

（1）生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少噸？（2）本周總生產(chǎn)量是多少噸？比原計劃增

加了還是減少了？增減數(shù)為多少噸？（3）若本周總生產(chǎn)的產(chǎn)品全部由35輛貨車一次性裝載運輸離開工

r,則平均每輛貨車大約需裝載多少噸？（結(jié)果精確到0.01噸）

【答案】（1）17噸；（2）減少了4噸；（3）19.89噸；

【解析】（1）生產(chǎn)量最多的一天星期五+7,生產(chǎn)量最少的一天是星期日-10,

，生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)+7-（-10）=17,

即生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)17噸；

（2）-1+3-2+4+7-5-10=-4,本周總生產(chǎn)量為100x7+（-4）=696（噸）

：-4<0,.?.本周總生產(chǎn)量比原計劃減少了4噸；

(3)本周總生產(chǎn)量為100x7+(-4)=696(噸)，平均每輛裝載量為——*19.89噸,

—35

即平均每輛貨車大約需裝載1989噸.

【點睛】理解正負數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

知識點1.2有理數(shù)及相關(guān)概念

正整數(shù)：像1,2,3,4等這樣的數(shù)叫作正整數(shù)；

負整數(shù)：像一1,-2,—3等這樣的數(shù)叫作負整數(shù)；

正分數(shù)：像士，0.24,1.64等這樣的數(shù)叫作正分數(shù)；

4

3

負分數(shù)：像一士，一3.56,-0.78等這樣的數(shù)叫作負分數(shù)；

4

整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；

分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；

有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

知識點1.3有理數(shù)的分類

①按整數(shù)、分數(shù)分類②按數(shù)的正負性分

'正整數(shù)'正整數(shù)

正有理數(shù)

整數(shù)＜0負整數(shù)

有理數(shù)負整數(shù)有理數(shù)＜0

'正分數(shù)'負整數(shù)

分數(shù)，負有理數(shù)

、負分數(shù)、負分數(shù)

注：無論怎么分類，一共有5類，不可重復(fù)，也不可遺漏

拓展：無理數(shù)，如無

例1.下列說法中，正確的

A.正有理數(shù)和負有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B.正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)

C.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)D.非正數(shù)就是指0、負整數(shù)和所有分數(shù)

【答案】B

【解析】A錯誤，有理數(shù)還包含0；B正確，有理數(shù)包含正數(shù)和分數(shù)；C錯誤，漏掉了0；D錯誤，非

正數(shù)指。和負數(shù)。

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類.注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).

例2.(2020?河南省初一期中)下列說法中：①。是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③非負

7T25

數(shù)就是正數(shù)；④--不僅是有理數(shù)，而且是分數(shù)；⑤一是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)；⑥無限

27

小數(shù)不都是有理數(shù)；⑦正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù).其中錯誤的說法的個數(shù)為（）

A.7個B.6個C.5個D.4個”…

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義和分類，分別進行判斷，即可得到答案.

【解析】解：①沒有最小的整數(shù)，故錯誤；②有理數(shù)包括正數(shù)、。和負數(shù)，故錯誤；

③非負數(shù)就是正數(shù)和0,故錯誤；④-2是無理數(shù)，故錯誤；

2

23

⑤一是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，故錯誤；⑥無限小數(shù)不都是有理數(shù)是正確的，正確；

7

⑦正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù)是正確的.故其中錯誤的說法的個數(shù)為5個.故選：C.

【，點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，認真掌握正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)、非負

數(shù)的定義與特點是解題的關(guān)鍵.注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).

21

例3.（2020?山西省初一月考）數(shù)學(xué)活動課上，王老師把分別寫有-一，5,-2,0,—的五張卡片分別

32

發(fā)給AB,C,D,石五位同學(xué)，王老師要求同學(xué)們按照卡片上數(shù)字的特征挑選2人或者3人表演節(jié)

目.（1）王老師先給同學(xué)們做了范例，他說手拿卡片上數(shù)字為整數(shù)的同學(xué)表演節(jié)目，請你選出表演節(jié)目

的同學(xué)；（2）如果讓你來挑選，你會按什么數(shù)字特征來選擇表演節(jié)目的同學(xué)？

【答案】（1）表演節(jié)目的同學(xué)是手上卡片分別寫有-2,0,5的三位同學(xué)；（2）詳見解析（答案不唯一）

【分析】（1）根據(jù)整數(shù)的定義即可確定是哪些同學(xué)表演節(jié)目；

（2）根據(jù)2人或者3人表演節(jié)目的要求確定數(shù)字的分類標準即可.答案不唯一.

【解析】解：（1）整數(shù)有5,-2,0,

所以表演節(jié)目的同學(xué)是手上卡片分別寫有5,-2,0的三位同學(xué)，即B,C,D三位同學(xué).

（2）（答案不唯一）

例如：請卡片上數(shù)字為分數(shù)的同學(xué)表演節(jié)目，這樣就是A、E兩位同學(xué)表演節(jié)目；

或者卡片上數(shù)字為負數(shù)的同學(xué)表演節(jié)目，這樣就是A、C兩位同學(xué)表演節(jié)目.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，掌握有理數(shù)的分類標準是解題關(guān)鍵.有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，也可

以分為正有理數(shù)、負有理數(shù)、0；正有理數(shù)可分為正整數(shù)和正分數(shù)，負有理數(shù)可分為負整數(shù)和負分數(shù).

例4.（2020?全國初一課時練習）下列說法正確的有（）

①正有理數(shù)是正整數(shù)和正分數(shù)的統(tǒng)稱；②整數(shù)是正整數(shù)和負整數(shù)的統(tǒng)稱；③有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、

正分數(shù)、負分數(shù)的統(tǒng)稱；④0是偶數(shù)，但不是自然數(shù)；⑤偶數(shù)包括正偶數(shù)、負偶數(shù)和零.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】此題運用有理數(shù)的概念及分類（按正負分：正有理數(shù)，0和負有理數(shù)或正數(shù)、負數(shù)、0；按數(shù)

的性質(zhì)分：整數(shù)、分數(shù)）即可解答.

【解析】①正有理數(shù)是正整數(shù)和正分數(shù)的統(tǒng)稱，正確；

②整數(shù)是正整數(shù)，零和負整數(shù)的統(tǒng)稱，故不正確；

③有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、零、正分數(shù)、負分數(shù)的統(tǒng)稱，故不正確；

④0是偶數(shù)，也是自然數(shù)，故不正確；

⑤偶數(shù)包括正偶數(shù)、負偶數(shù)和零，正確.故選B.

【點睛】本題考查有理數(shù)的概念及分類，運用時注意分類的依據(jù)，還要做到不重不漏.

知識點1.4小數(shù)（分數(shù)）分類補充

「有限小數(shù)

1）小數(shù)＜無限循環(huán)小數(shù)

無限小數(shù)

無限不循環(huán)小數(shù)

3

2）①有限小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，故我們將這類小數(shù)劃分為分數(shù)類。如0.3=—。

10

1

②無限循環(huán)小數(shù)也可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，故我們也將這類小數(shù)劃分為分數(shù)類。如0.3=—。

3

③無限不循環(huán)小數(shù)不可以轉(zhuǎn)化為分數(shù)，故不是分數(shù)，也不是有理數(shù)。如兀。

知識點1.5常用數(shù)學(xué)概念的含義

1)正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù)2）負整數(shù)：既是負數(shù)，又是整數(shù)

3)正分數(shù)：既是整數(shù)，又是分數(shù)4）負分數(shù)：既是負數(shù)，又是分數(shù)

5)非正數(shù)：負數(shù)和06）非負數(shù)：正數(shù)和0

7)非正整數(shù)：負整數(shù)和08）非負整數(shù)：正整數(shù)和0

例1.（2019?湖北省初一月考）請你把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的圈里:

31

-2,-20%,-0.13,-7-,10,21,6.2,4.7,-8

44

這四個集合合并在一起填（“是”或“不是”）全體有理數(shù)集合，若不是，缺少的是

【答案】不是0

【分析】根據(jù)正整數(shù)，負整數(shù)，正分數(shù)，非負數(shù)以及有理數(shù)的概念解答.

13

-62-

4.74

正分數(shù)負分數(shù)

這四個集合合并在一起不是全體有理數(shù)集合，缺少的是0.故答案為：不是；0.

【點睛】本題考查了有理數(shù)，熟記相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵，要注意0的特殊性.

例2.（2020?天津?qū)幒映跻黄谥校┌严铝懈鲾?shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)（將各數(shù)用逗號分開）

32

6,-3,2.4,----,0,-3.14,—

49

正數(shù)：{-}非負整數(shù):

整數(shù)：{…}負分數(shù):

【答案】詳見解析

【分析】根據(jù)大于零的數(shù)是正數(shù)可得正數(shù)集合；根據(jù)分母為1的數(shù)是整數(shù)可得整數(shù)集合；根據(jù)大于或等

于零的整數(shù)是非負整數(shù)可得非負整數(shù)集合，根據(jù)小于零的分數(shù)是負分數(shù)可得負分數(shù)集合.

23

【解析】正數(shù)有6,2.4,—非負整數(shù)有6,0整數(shù)有6,-3,0負分數(shù)有--,-3.14

94

23

故答案為：6,2.4,-；6,0；6,-3,0；--,-3.14.

94

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題關(guān)鍵.

例3.下列結(jié)論錯誤的是：

A.負分數(shù)都是負有理數(shù)B.分數(shù)中除了正分數(shù)就是負分數(shù)

C.有理數(shù)中除了分數(shù)就是小數(shù)D.有限小數(shù)是分數(shù)，也是有理數(shù)

【答案】C

【解析】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)為分數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，故答案選C。

例4.(2019?湖北全國初一課時練習)把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的橫線上：

C1

1,-0.20,3-,325,-789,0,-23.13,0.618,-2014,兀，0.1010010001....

5

正數(shù)有：；

分數(shù)有：;

負數(shù)有：;

正整數(shù)有：；

非正數(shù)有：;

負整數(shù)有：；

非負數(shù)有：；

負分數(shù)有：；

非負整數(shù)有：.

【答案】1,3：,325,0.618,兀，0.1010010001-；-0.20,3：,-23.13,0.618；

-0.20,-789,-23.13,-2014；1,325；-0.20,-789,0,-23.13,-2014；-789,-2014；

c1

1,3-,325,0,0.618,兀，0.1010010001-；-0.20,-23.13；1,325,0.

【解析】按照本題中給出的分類，結(jié)合各類型數(shù)的定義依次分析各個數(shù)的特征，得

(1)1是正數(shù)；1是正整數(shù)；1是非負數(shù)；1是非負整數(shù)廠…

(2)-0.20是分數(shù)；-0.20是負數(shù)；-0.20是非正數(shù)；-0.20是負分數(shù).

(3)3：是正數(shù)；31是分數(shù)；3：是非負數(shù).

(4)325是正數(shù)；325是正整數(shù)；325是非負數(shù)；325是非負整數(shù).

(5)-789是負數(shù)；-789是非正數(shù)；-789是負整數(shù).

(6)0是非正數(shù)；0是非負數(shù)；0是非負整數(shù).

(7)-23.13是分數(shù)；-23.13是負數(shù)；-23.13是非正數(shù)；-23.13是負分數(shù).

(8)0618是正數(shù);0.618是分數(shù)；0.618是非負數(shù).

（9）-2014是負數(shù)；-2014是非正數(shù)；-2014是負整數(shù).

（10）兀是正數(shù)；兀是非負數(shù).

（11）0.1010010001…是正數(shù)；0.1010010001…是非負數(shù).

故本題應(yīng)進行如下填寫：

（正數(shù)）1,3^,325,0.618,兀，0,1010010001...；

（分數(shù)）-0.20,3^,-23.13,0.618；

（負數(shù)）-0.20,-789,-23.13,-2014；

（正整數(shù)）1,325；

（非正數(shù)）020,-789,0,-23.13,-2014；

（負整數(shù)）-789,-2014；

（非負數(shù)）1,31,325,0,0.618,兀，0.1010010001...；

（負分數(shù)）-0.20,-23.13；

（非負整數(shù)）1,325,0.

例5.（2018?全國初一課時練習）在下表適當?shù)目崭窭锂?7".

有理數(shù)整數(shù)分數(shù)正整數(shù)負分數(shù)正數(shù)

-5

-3.75

0

+9

2_

71

【答案】詳見解析.

【分析】解答此題時，首先要明確什么是有理數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正整數(shù)、負分數(shù)和正數(shù).

【解析】

有理數(shù)整數(shù)分數(shù)正整數(shù)負分數(shù)正數(shù)

-577

-3.751***"網(wǎng)

0q

+9

2

q

71

【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正整數(shù)、負分數(shù)和正數(shù)的定義，比較容易.

重難點題型

題型1數(shù)集問題

性質(zhì)：有理數(shù)的分類

注：數(shù)集關(guān)系中有包含關(guān)系時，數(shù)的分類不可重復(fù)

解題技巧：此類題型是有理數(shù)分類題型的拓展，一般用.框圖表示數(shù)據(jù)分類的集合關(guān)系，多會出現(xiàn)有重合甚

至包含邏輯的框圖。此時，先填寫有重合和被包含部分的框圖，再填寫單一框圖部分的數(shù)據(jù)。

例1.（2020?廈門外國語學(xué)校湖里分校初一期中）如圖，已知A是整數(shù)集合，B是正數(shù)集合，C是分數(shù)集合，

D是A和B的重疊部分，E是B和C的重疊部分.（1）D是_集合，E是_集合；（2）給出下列各數(shù):

Q

10,-0.72,-98,25,63%,-3.14,請將它們填入圖2中相應(yīng)的集合中去.

/A/D\B/E\C\

【答案】（1）正整數(shù)，正分數(shù)；（2）如圖所示，見解析.

【分析】（1）根據(jù)A、B、C所表示的集合，可直接得出答案;

（2）根據(jù)有理數(shù)的分類填寫即可.

【解析】（1）「A是整數(shù)集合，B是正數(shù)集合，C是分數(shù)集合,

；.D是正整數(shù)集合,E是正分數(shù)集合;

（2）如圖所示:

3

25

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類.熟練掌握正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、負有理數(shù)、非負數(shù)的

定義與特點是解題關(guān)鍵.

例2.（2019?新疆吉木乃初級中學(xué)初一月考）已知有A,B,C三個數(shù)的“家族”：

A：{—1,3.1,-4,6,2.!!,B-.C：{2.1,—42,8,6}.

（1）請把每個“家族”中所含的數(shù)填入圖中的相應(yīng)部分.

（2）把A,B,C三個數(shù)的“家族”中的負數(shù)寫在橫線上:

（3）有沒有同時屬于A,B,C三個數(shù)的“家族”的數(shù)？若有，請指出.

【答案】⑴見解析;⑵—一4,—4.2,；（3）見解析.

8

【分析】（1）根據(jù)數(shù)集的包含關(guān)系進行分類（2）選出負數(shù)；（3）根據(jù)觀察易得.

【解析】解：（1）如圖所示.

(3)有，是2.1.

故答案為(2)—1,-4,-4;2,—：;(3)有，是2.1.

8

【點睛】本題考核知識點：有理數(shù)分類.解題關(guān)鍵點：分析各有理數(shù)的關(guān)系.

例3.如下圖所示，大圓覆蓋的區(qū)域表示有理數(shù)的范圍，中圓覆蓋的區(qū)域表示整數(shù)的范圍，小圓覆蓋的區(qū)域

表示正整數(shù)的范圍，把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的圓內(nèi):

15,123,2.333

【答案】

4.（2019?河北邢臺金華中學(xué)初一期中）（1）如下圖，下而兩個圈分別表示負數(shù)集和分數(shù)集，請你把下列各數(shù)

填入-它所在的數(shù)集的圈里:

負數(shù)集分數(shù)集

（2）上圖中，這兩個圈的重疊部分表示什么數(shù)的集合？

【答案】（1）見解析；（2）重疊部分表示負分數(shù)集合

【分析】（1）根據(jù)負數(shù)、分數(shù)、負分數(shù)的定義去填寫即可；

（2）即是負數(shù)又是分數(shù)，則該數(shù)為負分數(shù)，據(jù)此求解即可.

【解析】（1）根據(jù)題意如圖：

（2）這兩個圈的重疊部分表示負分數(shù)集合；

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

5.（2019?安徽省桐城市黃崗初中初一月考）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的圓圈里:

【解析】如圖所示:

【點睛】此題考查有理數(shù)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義.

題型2規(guī)律探究

解題技巧：該類題型比較靈活，需視具體情況而定。在有理數(shù)的規(guī)律探究題型中，往往需要尋找兩部分規(guī)

律：(1)數(shù)字之間的規(guī)律；(2)正負號的規(guī)律

例1.(2020?湖北全國初一課時練習)觀察下面各數(shù)列，研究它們各自的變化規(guī)律，并接著填出后面的兩個

數(shù).

(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,,；

(2)2,-4,6,-8,10,-12,14,-16,,；

(3)1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,,.

【答案】1,-1；18,-20;-1,0.

【解析】(1)在該數(shù)列中，1與-1交替出現(xiàn)，故后面的兩個數(shù)分別為1,-1.

(2)該數(shù)列可以看作是先將正整數(shù)中的偶數(shù)從小到大逐個排列起來再從第二個數(shù)開始每隔一個數(shù)在原數(shù)前

面添加負號而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個數(shù)分別為：18,-20.

⑶該數(shù)列可以看作是以1,0,-1,0為一個基本單元并不斷重復(fù)而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個數(shù)

分別為：-1，0.

故本題應(yīng)依次填寫：1,-1；18,-20；-1,0.

點睛：本題是一道數(shù)字規(guī)律探索題.在解決規(guī)律探索題的時候，要注意觀察題目中已給出的數(shù)字的特征以及

這些數(shù)字和它們所處位置的序數(shù)的關(guān)系，同時也要注意已知的數(shù)字排列的整體特征.另外，在獲得有關(guān)規(guī)律

的初步結(jié)論后，要利用已知的數(shù)字多次檢驗相關(guān)結(jié)論的正確性.

例2.(2020?河北省初三一模)將一列有理數(shù)-1,2,-3,4,-5,6…如圖所示有序排列，4所在位置為

峰1,-9所在位置為峰2….

(1)處在峰5位置的有理數(shù)是；

(2)2022應(yīng)排在A,B,C,D,E中的位置上.

【分析】根據(jù)圖示信息找出A,B,C,D,E各個位置數(shù)據(jù)的表達式，代入即可

【解析解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：峰n中，A位置的絕對值可以表示為：5n-3；

B位置的絕對值可以表示為：5n-2；C位置(峰頂)的絕對值可以表示為：5n-1；

D位置的絕對值可以表示為：5n；E位置的絕對值可以表示為：5n+l；

處在峰5位置的有理數(shù)是5X5-1=24；

(2)根據(jù)規(guī)律，：2022=5X402-3,:以。2？應(yīng)排在A的位置.故答案為：(律24；(2)A.

【點睛】此題屬于找規(guī)律題，考查提取信息和總結(jié)的能力.

例3.(2019?浙江全國)將一串有理數(shù)按下列規(guī)律排列，回答下列問題.

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？

(2)負數(shù)排在A、B、C、D中的什么位置？

(3)第2015個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？排在對應(yīng)于A、B、C、D中的什么位置？

【答案】(1)在A處的數(shù)是正數(shù);(2)負數(shù)排在B和D的位置;(3)第2015個數(shù)是負數(shù)，排在對應(yīng)于D的位置

分析：

(1)觀察、分析排列規(guī)律可知，A處的數(shù)是正數(shù)；

(2)觀察、分析排列規(guī)律可知，負數(shù)排在B和D處；

(3)觀察、分析排列規(guī)律可知，把前三個數(shù)“-1,2,-3”去掉，后面的數(shù)是按照“A-B-C-D”的順序4個

一組循環(huán)出現(xiàn)的，由：(2015—3)+4=503可知，第2015個數(shù)排在對應(yīng)于D的位置，是個負數(shù).

【解析】(1)分析排列規(guī)律可得，在A處的數(shù)是正數(shù);(2)分析排列規(guī)律可得，負數(shù)排在B和D的位置；

(3)觀察、分析排列規(guī)律可知：把前三個數(shù)“-1,2,-3”去掉，

后面的數(shù)是按照“A-B-C-D”的順序4?個一組循環(huán)出現(xiàn)的，

?.?(2015—3)+4=503,.?.第2015個數(shù)排在對應(yīng)于D的位置，是個負數(shù).

例4.(2020?全國初一課時練習)觀察下面一列數(shù)，探求其規(guī)律：

123456

，~，，-，，-，....

234567

(1)這一列屬于有理數(shù)中的哪一類；(2)寫出第7,8,9項的三個數(shù)；

(3)第2013個數(shù)是什么？(4)如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪兩個數(shù)越來越接近？

7QO2013

【答案】(1)分數(shù).⑵一，-2,—.(3)——.(4)1或-1.

89102014

分析：(1)觀察可知，這列數(shù)據(jù)全是分數(shù)；(2)觀察可知該數(shù)列的排列有兩個規(guī)律：①第奇數(shù)個數(shù)據(jù)為

正數(shù)，第偶數(shù)個數(shù)據(jù)為負數(shù)；②第n個數(shù)的分子是n,分母是“n+1”；由此可得第7、8、9項的三個數(shù)分

別是多少；（3）由（2）中所得排列規(guī)律可得第2013個數(shù)是多少；（4）由（2）中所得排列規(guī)律可知，這

樣無限的排列下去，第奇數(shù)個數(shù)越來越接近1,而第偶數(shù)個數(shù)越來越接近-L

789

【解析】（1）這一列數(shù)都屬于有理數(shù)中的分數(shù)；（2）第7、8、9項的三個數(shù)分別是：一,一一,一；

8910

（3）第2013個數(shù)是2上01三3；

2014

（4）如果這一列數(shù)無限的排列下去，會越來越接近1或-1.

點睛：在確定一列數(shù)的排列規(guī)律時，我們需從兩個方面思考：①每個項的符號是怎樣確定的；②每個項的

數(shù)字部分（除開符號之外的部分）與序號之間是怎樣的數(shù)量關(guān)系；在本題中，觀察可得第奇數(shù)項的符號為

IJ

“正”，第偶數(shù)項的符號為“負”；而數(shù)字部分：第九項的數(shù)字部分是：一.

n+1

例5.（2020?全國初一單元測試）將正偶數(shù)按下表排列:

根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是.

【答案】第45行，第13列

【解析】第一行有一個偶數(shù)，第二行有2個偶數(shù)，最末的那一個為：2X（1+2）=6

第三行有3個偶數(shù)，最末的那一個為：2X（1+2+3）=12

第n行有n個偶數(shù)，最末的那個為2X（l+2+3+...+n）=2X—+=n（n+1）.

2

V44X45=1980,，2006應(yīng)在第45行，（2006-1980）+2=13列.

故答案為：45行，13列.

點睛：考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的

相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律.

例6.觀察下面排列的一列，請寫出后面的數(shù)。

2345

(1)—1,一，—3,一，—5,；(2)-,，，，

2423456

【答案】⑴/7—

【解析】（1）符號規(guī)律為負正間或出現(xiàn)，數(shù)字規(guī)律為整數(shù)分數(shù)間或出現(xiàn)，且依次增大;

故后面的數(shù)字分別為：

68

（2）符號規(guī)律為正負間或出現(xiàn)，數(shù)字規(guī)律為分子從1開始依次增加，分母比分子大1；

故后面的數(shù)字分別為：-二，，-二

課后訓(xùn)練:

1.（2020?河北省初一期中）我國古代《九章算術(shù)）中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”.意思是今

有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù).如果向北走5步記作-5步，那么向南走7步記作（）

A.+7步B.-7步C.+12步D.-2步

【答案】A

【分析】首先明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意即可得出結(jié)論.

【解析】解：：向北走5步記作-5步，向南走7步記作+7步.故選：A.

【點睛】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有

相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.

2.（2020?河北省初三一模）如圖某用戶微信支付情況，3月28日顯示+150的意思（）

2020032800033638223476-20.00

3月28日21:04余額113.39

散單運費順豐速運-18.00

3月28日18:09余額133.39

微信轉(zhuǎn)賬+150.00

3月28日17:50余額151.39

A.轉(zhuǎn)出了150元B.收入了150元

C.轉(zhuǎn)入151.39元D.搶了20元紅包

【答案】B

【分析】根據(jù)用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量解答即可.

【解析】解：如圖某用戶微信支付情況，3月28日顯示+150的意思是收入了150元故選：B.

【點睛】本題考查用正負數(shù)在實際生活中的應(yīng)用.在本題中需注意時間順序是自下往上，看清這一點就很

容易得出正數(shù)表示的是收入.

3.（2019?湖南省初三學(xué)業(yè)考試）在防治新型冠狀病毒的例行體溫檢查中，檢查人員將高出37℃的部分記作

正數(shù)，將低于37℃的部分記作負數(shù)，體溫正好是37℃時記作“0”。記錄一被測人員在一周內(nèi)的體溫測量結(jié)果

分別為+01，-0.3,-0.5,+0.1,-0.6,+0.2,-0.4,那么，該被測者這一周中測量體溫的平均值是（）

A.37.B.37.31℃C.36.8℃D.36.69℃

【答案】C

【分析?】根據(jù)題意將這位同學(xué)一周內(nèi)的體溫寫出來相加再除以七，得出其體溫的平均值.

【解析】根據(jù)題意檢查人員將高出37℃的部分記作正數(shù)，將低于37℃的部分記作負數(shù)，體溫正好是37℃時

記作“0”得這位同學(xué)在一周內(nèi)的體溫分別是37.1、36.7、36.5、37.1、36.4、37.2、36.6；

^（37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6）4-7=36.8℃；故選C.

【點睛】本題主要考查正數(shù)和負數(shù)，解題關(guān)鍵是熟練掌握正、負數(shù)的計算法則.

4.（2020?全國初一課時練習）下列分數(shù)不能化成有限小數(shù)的是（）

6341

A.—B.—C.—D.—

25241216

【答案】C

【分析】首先，要把分數(shù)化成最簡分數(shù)，再根據(jù)一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2與5以外，不能含有其它

的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2與5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小

數(shù).

【解析】A、三的分母中只含有質(zhì)因數(shù)5,所以三能化成有限小數(shù)；

2525

B、一3=—1,—1的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2,所以三3能化成有限小數(shù)；

248824

4114

C、-=7，7的分母中含有質(zhì)因數(shù)3,所以「不能化成有限小數(shù)；

123312

D、4的分母中只含有質(zhì)因數(shù)2,所以《能化成有限小數(shù).故選：C.

【點睛】此題主要考查判斷一個分數(shù)能否化成有限小數(shù)的方法，根據(jù)一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2與5

以外，不能含有其它的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；否則就不能化成有限小數(shù).

5.（2020?全國初一課時練習）下面說法正確的是（）

A.有理數(shù)是整數(shù)B.有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)

C.整數(shù)一定是正數(shù)D.有理數(shù)是正數(shù)和負數(shù)的統(tǒng)稱

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，利用排除法求解即可.

【解析】解：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，A錯誤；

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，這是概念，8正確；

整數(shù)中也含有負整數(shù)和零，C錯誤；

有理數(shù)是整數(shù)、分數(shù)的統(tǒng)稱，所以。錯誤.故選：B.

【點睛】本題主要是概念的考查，熟練掌握概念是學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的.

6.（2020?全國初一課時練習）所有整數(shù)組成整數(shù)集合，所有負數(shù)組成負數(shù)集合，陰影部分也表示一個集合，

則這個集合可以包含的有理數(shù)為（）

A.3B.-2019C.—D.0

7

【答案】B

【分析】直接利用負整數(shù)的定義分析得出答案.

【解析】解：陰影部分表示負整數(shù)，選項中只有-2019符合題意.故選B.

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

7.（2019?河南南召初一期中）如圖，關(guān)于A、B、。這二部分數(shù)集的個數(shù)，下列說法正確的是（）

負數(shù)集合整數(shù)集合正數(shù)集合

A.A、C兩部分有無數(shù)個，B部分只有一個0B.4、B、C三部分有無數(shù)個

C.A、B、C三部分都只有一個D.4部分只有一個，B、C兩部分有無數(shù)個

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類可以看出A指的是負整數(shù)，B指的是整數(shù)中除了正整數(shù)與負整數(shù)外的部分整數(shù)，

C指的是正整數(shù)、最后根據(jù)各數(shù)性質(zhì)進一步判斷即可.

【解析】由圖可得：A指的是負整數(shù)，B指的是整數(shù)中除了正整數(shù)與負整數(shù)外的部分整數(shù)，C指的是正整數(shù)，

?..整數(shù)中除了正整數(shù)與負整數(shù)外的部分整數(shù)只有0、負整數(shù)與正整數(shù)都有無數(shù)個，

:.A、C兩部分有無數(shù)個，B只有一個.故選：A.

【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

8.（2019?廣西壯族自治區(qū)初一期中）超市出售的某種品牌的大米袋上，標有質(zhì)量為（50±0.4）kg的字樣,

從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（）

A.0.4kgB.0.6kgC.0.8kgD.1kg

【答案】C

【分析】正確理解（50±0.4）kg可以得到答案.

【解析】:.超市出售的某種品牌的大米袋上，標有質(zhì)量為（50+0.4）kg的字樣,

，標準大米的質(zhì)量最多相差：0.4-（-0.4）=0.4+0.4=0.8（kg）,故選：C.

【點睛】本題考查正數(shù)和負數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負數(shù)在題目中的實際意義.

9.（2019?貴州桐梓花秋中學(xué)初一期中）下列說法中，正確的