比例線段及有關定理

關于比例線段及有關定理2四條線段成比例：

(1)定義：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段.

如a=9cm,b=6cm,c=6cm,d=4cm.

則a,b,c,d叫作成比例線段.(2)名稱：在比例線段a:b=c:d中，a、d叫作比例的外項，b、c叫比例的內(nèi)項,d叫第四比例項.

若比例內(nèi)項相同，即a:b=b:d，則b叫a、d的比例中項.一、Whatisit第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3比例的性質(zhì)：

(1)比例的基本性質(zhì)：

a:b=c:dad=bc.a:b=b:cb2=ac.

(2)合比性質(zhì)、分比性質(zhì)：

合分比定理：

如則類似地還有

如果，則

一、Whatisit第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天(3)等比性質(zhì)：如則推廣：如果

，則其中，m不全為0，、、、…、從到中任取qie，不過是個紙老虎一、Whatisit第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天(4)黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫黃金比。其值為，近似為0.618

一條線段有兩個黃金分割點一、WhatisitCAB第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天黃金比例何謂其“黃金”

據(jù)說在古希臘，有一天畢達哥拉斯走在街上，在經(jīng)過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數(shù)理的方式表達出來。開普勒稱其為“神圣分割”也有人稱其為“金法”。

計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，……第二位起相鄰兩數(shù)之比，第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

一個很能說明問題的例子是五角星。五角星是非常美麗的，中國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。黃金比例何謂其“黃金”多么美麗的圖形??！雖然完全無法理解第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天黃金比例何謂其“黃金”但這就是人們的審美方式…………

這個數(shù)字在自然界和人們生活中到處可見：它在造型藝術中具有美學價值，在工藝美術和日用品的比例設計中，采用這一比值能夠引起人們的美感。

建筑物中某些線段的比就科學采用了黃金分割，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎圣母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618有關的數(shù)據(jù)。

就連植物界也有采用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規(guī)律排列著的。

在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數(shù)找到合理的配方和合適的工藝條件。。第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

在藝術創(chuàng)作中，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618處。黃金矩形的長寬之比為黃金分割率。黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應用了該比例布局。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美。第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天黃金比例何謂其“黃金”

黃金分割與人的關系相當密切。地球表面的緯度范圍是0—90°，對其進行黃金分割，則34.38°—55.62°正是地球的黃金地帶。無論從平均氣溫、年日照時數(shù)、年降水量、相對濕度等方面都是具備適于人類生活的最佳地區(qū)。說來也巧，這一地區(qū)幾乎囊括了世界上所有的發(fā)達國家。人體美學觀察受到種族、社會、個人各方面因素的影響，牽涉到形體與精神、局部與整體的辯證統(tǒng)一，只有整體的和諧、比例協(xié)調(diào)，才能稱得上一種完整的美。人體有14個黃金點，你知道在哪里么？第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天黃金比例何謂其“黃金”

一個健壯中年男子，兩臂微斜上舉，兩腿叉開，以他的頭、足和手指各為端點，正好外接一個圓形。同時在畫中清楚可見疊著另一幅圖像：男子兩臂平伸站立，以他的頭、足和手指各為端點，正好外接一個正方形。這就是名畫《維特魯威人》，出自文藝復興藝術巨匠達芬奇之手。從圖中看到從人體中能找到三角形、四邊形、五邊形、等邊三角形、圓形

第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天“永遠吃不完”的巧克力

一塊成黃金比例的巧克力經(jīng)過多次黃金分割和位移得到一個等比例的黃金比例圖形。這塊小的巧克力再進行分割，無窮無盡啊。咋會這樣？障眼法么？第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天※如何用尺規(guī)作出黃金分割點：（1）作出線段BA的中點C（2）過A作線段BA的垂線，在垂線上截取線段AD，使AD=AC（3）聯(lián)結BD，在BD上截取DE=DA，在線段AB上截取BF=BE，則點F為線段BA的黃金分割點一、WhatisitFBA第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天※黃金三角形什么是黃金三角形？所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比證明：角平分線定理？一、Whatisit第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

l1∥l2∥l3.證明？第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天二、平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.2三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.3預備定理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.

若則ED證明？F第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天中位線定理三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

梯形中位線定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。反之亦得第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天※梅涅勞斯定理（梅氏定理）當直線交三邊所在直線

于點

時，GFG

拓展1第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天※角平分線定理三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例

拓展2在△ABC中，BD平分∠ABC，則AD：DC=AB：BC

反之亦得E證明：作DE∥BC交AB于E，則AB：BC=AE：ED又∠DBC=∠DBE，DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=∠DBE∴BE=ED∴AE：ED=AE：BE=AD：DC∴AB：BC=AD：DC第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

拓展2※角平分線定理三角形的外角平分線定理：三角形的外角平分線外分對邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對應成比例。△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長線于點D，則BD︰CD=AB︰AC。第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天Let’spractise.例1.已知線段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm.(1)線段a、b、c、d是否是成比例的線段？解：∴a、b、c、d不是成比例的線段.(2)經(jīng)過重新排列后，以上四條線段能否是成比例的線段？解：∵12×10=120,15×8=120,∴ab=cd.

∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的線段.第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例2：(2)已知,且,則的值是_____________14逢比設kLet’spractise.第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天三、例題和練習：例1.如圖，若EF∥AB,DE∥AC,以下比例正確的有（）個.A.1個.B.2個.C.3個.D.4個.C第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例2.已知：如圖梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD相交于O.過O作AD的平行線交AB于M，交CD于N.

求證：MO=ON.證明：∵AD∥BC,MN∥AD.MN∥BC.

在△ABC中，∵MO∥BC.

在△DBC中，∵ON∥BC.

即MO=ON.三、例題和練習：第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例3.已知，如圖，在△OCE中，BD∥CE,AD∥BE.

求證：OB是OA和OC的比例中項.證明:在△OCE中，∵BD∥CE.

在△OBE中，∵AD∥BE.

即OB2=OA·OC.

∴OB是OA和OC的比例中項.三、例題和練習：第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例4、如圖，為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和F處樹立標桿DC和FE，標桿的高都是3丈，相隔1000步，并且AB、CD和EF在同一平面內(nèi)，從標桿DC退后123步的G處，可看到山峰A和標桿頂端C在一直線上，從標桿FE退后127步的H處，可看到山峰A和標桿頂端E在一直線上．求山峰的高度AB及它和標桿CD的水平距離BD各是多少？解：∴∴

∴∴BD=30750步∴AB=753丈三、例題和練習：第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例5.已知：如圖△ABC中，D、E分別是AB、AC上兩點，DE、BC的延長線相交于F.AD=CF.

求證：證明：作DN∥BC交AC于N.

則

∵AD=CF.

在△ABC中，DN∥BC.三、例題和練習：第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例5.已知：如圖△ABC中，D、E分別是AB、AC上兩點，DE、BC的延長線相交于F.AD=CF.

求證：另解：直線DEF截△ABC

∵AD=CF∴∴第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天五、練習題1、如圖已知，求證：===

證明：由合比性質(zhì)可得

兩邊同時加上1，等式依然成立，通分后即第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2、如圖BD，CE是△ABC的中線，P，Q分別是BD，CE的中點，則PQ∶BC等于（）A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6五、練習題解：連結ED，連結DQ并延長，交BC于點F

由中位線定理，EDBC

又Q為EC中點，P為BD中點，∴

∴FC=ED=BC，PQ=BF=（BC-FC)=BC∴PQ：BC=1：4FB第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天五、練習題3、在邊長為8的正方形ABCD中，P為AD上一點，且AP＝5，BP的垂直平分線交AB、DC分別于E，F(xiàn)，Q為垂足，試求EQ：QF的值．G解：延長BP、CD交于G∵ABCD是正方形∴CG∥AB，AD=CD=AB=8∴DP=3∴

又EF垂直平分BP，∴PQ=QB∴GQ=GP+PQ=PB+PB=PB

∴EQ：QF=PB：GP=PB：PB=5：11第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天五、練習題4、在△ABC中，AC=2AB，∠A的平分線交BC于D，過D分別作AB、AC的平行線交AC、AB于F、E，F(xiàn)E和CB的延長線交予G，求證EF=FG。證明：由ED∥AC，及AD平分∠BAC，知故GF=2GE

因此EF=EG

第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天五、練習題*5、梯形ABCD中，AD∥BC（AD<BC），AC和BD交于M，過M作EF∥AD，交AB、CD于E、F，EC和FB交于N，過N作

GH∥AD，交AB、CD于G、H，求證：證明：

故同理故同理兩式相加，整理后得證第33頁,共36頁，2024年2月25日，星期天五、練習題6、如圖梯形