函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)

關(guān)于函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)奇偶性單調(diào)性有界性周期性第2頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、函數(shù)的定義第3頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天▲函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f辨別下列各對(duì)函數(shù)是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同

相同,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同第4頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天▲函數(shù)的定義域在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實(shí)數(shù)，通常要考慮以下幾點(diǎn)：(6)如果函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組合而成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負(fù)數(shù)不能開偶次方根；

(3)在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]第5頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：求下列函數(shù)的定義域

［Ａ］．即所以定義域?yàn)?-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域?yàn)閇-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母取其公共部分第6頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解所以定義域?yàn)?-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

所以定義域?yàn)?-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數(shù)有意義，必須有解得練習(xí)：P923第7頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例.設(shè)

,求下列函數(shù)值

解:

解:解：

1）2）3）第8頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質(zhì)第9頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)函數(shù)的單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第10頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)函數(shù)的有界性:第11頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(4)函數(shù)的周期性:oyx第12頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天第13頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系3、反函數(shù)第14頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第15頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.冪函數(shù)第16頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.指數(shù)函數(shù)第17頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.對(duì)數(shù)函數(shù)第18頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第19頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天余弦函數(shù)第20頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天正切函數(shù)第21頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天余切函數(shù)第22頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.反三角函數(shù)第23頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第26頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天7、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).練習(xí)：P1011第27頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無(wú)窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)唯一性無(wú)窮小兩者的關(guān)系無(wú)窮大第28頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、極限第29頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天第30頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天左極限右極限第31頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)的極限與左、右極限有如下關(guān)系：2.常用來(lái)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限是否存在例判斷函數(shù)

在點(diǎn)處是否有極限.

解:因?yàn)樗哉f(shuō)明：1.左極限與右極限中只要有一個(gè)不存在，或者都存在但不相等，則函數(shù)的極限不存在。第32頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天左右極限存在但不相等,證習(xí)題：P183第33頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過(guò)程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界．函數(shù)極限的性質(zhì)第34頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(保號(hào)性)推論第35頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天無(wú)窮小:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大:在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2、無(wú)窮小與無(wú)窮大第36頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)1有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)第37頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、無(wú)窮小量二、無(wú)窮小的性質(zhì)三、極限與無(wú)窮小的關(guān)系四、無(wú)窮大量五、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系六、小節(jié)補(bǔ)充無(wú)窮大與無(wú)窮小第38頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義若變量Y在某過(guò)程下以零為極限，則稱變量Y在此過(guò)程下為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.例1例2時(shí)的無(wú)窮小量.時(shí)的無(wú)窮小量.因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸弧o(wú)窮小量第39頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如函數(shù)時(shí)的無(wú)窮小，但當(dāng)時(shí)不是無(wú)窮小。當(dāng)時(shí)，的極限不為零，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是無(wú)窮小，而當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小量。應(yīng)該注意無(wú)窮小量是在某一過(guò)程中，以零為極限的變量，而不是絕對(duì)值很小的數(shù)。因此應(yīng)明確指出其變化過(guò)程。

第40頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.(3)常量與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.(2)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.

(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的性質(zhì)定理在自變量的同一變化過(guò)程中第41頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3解注意這個(gè)極限不能用極限的四則運(yùn)算法則求得，因?yàn)椴淮嬖?所以時(shí)的無(wú)窮小量.為有界變量,第42頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第43頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義在自變量x的某一變化過(guò)程中,若函數(shù)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱f(x)為此變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.記作四、無(wú)窮大量第44頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.第45頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天簡(jiǎn)言之無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系為：在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小,無(wú)窮小(不等于0)的倒數(shù)是無(wú)窮大.定理在自變量的同一變化過(guò)程中，若f(x)為無(wú)窮大,則為無(wú)窮小;反之,若f(x)為無(wú)窮小且f(x)不等于0,則為無(wú)窮大.例如：五、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系第46頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結(jié)果.例4解例5考察

當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮大量；

當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量；第47頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天六、小結(jié)1、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;定理.2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1）無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.第48頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理推論1推論23、極限的性質(zhì)第49頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第50頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天求極限方法舉例例2解例1解：原式第51頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié):第52頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解商的法則不能用由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得例3第53頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解例4(消去零因子法)第54頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)解解第55頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天分母有理化，分子有理化第56頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：第57頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解(無(wú)窮小因子分出法)第58頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6

，然后再求極限，得分母同時(shí)除以分子,3x解第59頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié):無(wú)窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限.第60頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)解第61頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7解先變形再求極限.第62頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例8解第63頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例9解左右極限存在且相等,第64頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連接點(diǎn)處的極限

（２）被考慮的函數(shù)中，含有某些項(xiàng)其左右極限不相等

２.下列幾個(gè)極限不存在第65頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天一個(gè)重要的結(jié)論則有例題練習(xí)：P19－201第66頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)第67頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)(2)6、兩個(gè)重要極限第68頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天=0注意：(1)第69頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解第70頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3解第71頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：解答：第72頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)注意：第73頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4解練習(xí)：或第74頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題第75頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解第76頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義:7、無(wú)窮小的比較第77頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)8、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)第78頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天幾個(gè)重要的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)時(shí)，

第79頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意第80頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例解解錯(cuò)第81頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類第82頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、連續(xù)的定義第83頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而，則一定滿足以下條件第84頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1證由定義2知第85頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天第86頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.單側(cè)連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件第87頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第88頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如通俗的說(shuō)即一筆劃過(guò)第89頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天5、間斷點(diǎn)的定義第90頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.跳躍間斷點(diǎn)例解6、間斷點(diǎn)的分類第91頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.可去間斷點(diǎn)例第92頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如上例中,第93頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx第94頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.第二類間斷點(diǎn)例解第95頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例解第96頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天例解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒(méi)有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)所以x=-1是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)(Ⅰ)(Ⅱ)第97頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以x=1是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)(Ⅲ)第98頁(yè),共110頁(yè)，2024年2月25日，星期天解分界點(diǎn)為x=