人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 軸對稱同步課時(shí)訓(xùn)練

軸對稱同步課時(shí)訓(xùn)練

知識(shí)點(diǎn)一：軸對稱的有關(guān)概念

1.如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對折，對折的兩部分能完全重合，那么就稱這

樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對稱軸。這時(shí)，我們就說這

個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，

那么就說這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過翻折之

后互相重合的點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn)。

整癡

1、一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條；

2、兩個(gè)圖形成軸對稱和軸對稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后

者是一個(gè)圖形。

3、成軸對稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。

題型一:軸對稱圖形的判斷

【例1】如圖，我國主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國古代錢幣的圖案,

下圖中我國四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對稱圖形的是（）

①②③④

A.①②③B.②③④C.③④①D.④①②

分析：圖形沿一條直線折疊-一相互重合一-軸對稱圖形一一判斷

舉一反三:

1、下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

A.角B.等邊三角形C.線段D.不等邊三角形

2、下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

A.兩條相交直線B.線段

C.有公共端點(diǎn)的兩條相等線段D.有公共端點(diǎn)的兩條不相等線段

3、下列英文字母屬于軸對稱圖形的是（

A、NB、SC、LD、E

4、下列說法中，正確的是（）

A.兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸對稱圖形

B.直角三角形一定是軸對稱圖形

C.軸對稱圖形是由兩個(gè)圖形組成的

D.等邊三角形是有三條對稱軸的軸對稱圖形

題型二：找軸對稱圖形的對稱軸

【例2】等腰三角形的對稱軸條.

舉一反三：

1、下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）軸對稱圖形只有一條對稱軸，（2）軸對稱圖形的對稱軸是一條線段，（3）

兩個(gè)圖形成軸對稱，這兩個(gè)圖形是全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對稱,

（5）軸對稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對稱是指兩個(gè)圖形而言。

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

2、軸對稱圖形的對稱軸的條數(shù)（）

(A)只有一條(B)2條(C)3條(D)至少一條

3、正五角星的對稱軸的條數(shù)是()

A.1條B.2條C.5條D.10條

4、下列圖形中有4條對稱軸的是()

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形

常見圖形及其對稱軸：

名稱是否是軸對稱圖形對稱軸有幾條對稱軸的位置

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的直線

長方形是2條對邊中線所在的直線

正方形是4條對邊中線所在的直線和對角線

所在的直線

圓是無數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊形不是。條

小結(jié)：

軸對稱軸對稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對一個(gè)圖形而言；

別

②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。②指一個(gè)圖形的特殊形狀。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

系

②把兩個(gè)成軸對稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對稱圖形；反過來，把

軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對稱。

知識(shí)點(diǎn)二：線段的垂直平分線

1、線段垂直平分線的概念：

(1)垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；

(2)線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。

3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：

到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

注意：

(1)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩

條線段相等；

(2“到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上?！钡淖饔檬牵号?/p>

定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上；

(3)“如果到兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是

該線段的垂直平分線?！钡淖饔檬牵捍怪逼椒志€的判定。

題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)

【例3】如圖1,在4ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,

A

交AC于點(diǎn)E,ZXBCE的周長等于50,求BC的長.八

BC

圖-1

點(diǎn)評(píng)：此題是4ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當(dāng)AB的垂直平分

線與BC相交時(shí)，（如圖2）,對應(yīng)的是4ACE的周長，它的周長也等于AC+BC.圖

形變化，但結(jié)論不變.

圖-2

舉一反三：

1、如圖1,在aABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若NBEC=70。，

則NA=?

點(diǎn)評(píng)：此題變式求角的計(jì)算方法，應(yīng)用了兩個(gè)定理.按照同樣的方法，圖2中也能

得出相應(yīng)的結(jié)論：NAEC=2NB.

【例4】如圖3,在4ABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分線交

BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.A

(1)求4AEN的周長.

(2)求NEAN的度數(shù).—A4---------------V——

(3)判斷4AEN的形狀.'圖一3/

舉一反三：

1.如圖4,在AABC中，AB=AC,BC=12,NBAC=130°,AB的垂直平分線交BC邊

于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.

(1)求4AEN的周長.

(2)求NEAN的度數(shù).

N

(3)判斷4AEN的形狀.

圖一4

2.如圖，己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB=12cm,BC=10cm,

A

NA=49°,求aBCE的周長和NEBC的度數(shù).

BC

【例5】如圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若NABC=50。A

求NADC

舉一反三：

1.如圖，4ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,NA=30°,ZACB=80°,求NCBE

c

D

AEB

2.如圖，AABC內(nèi)有一點(diǎn)D,且D為直線AB、AC垂直平分線的交點(diǎn),

若NDAB=20°,NDAC=30°,則NBDC的大小是（）

A.100°B.80°C.70°D.50°

題型二:線段垂直平分線的判定

【例6】如圖所示，RtZkABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC,過D作AB的垂線交AC

于點(diǎn)E,CD交BE于點(diǎn)Fo求證：BE垂直平分CD。（用定義法和判定定理法兩種

方法）

【經(jīng)典例題回顧】現(xiàn)在你有什么更加簡潔的證明過程嗎?

【例7】如圖，在AABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AD平分NBAC,且DEJ_AB于

點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F,連接EF交AD于點(diǎn)G,求證：AD垂直平分EF。A

舉一反三:

如圖所示，AB>AC,NA的平分線與BC的垂直平分線相交于D,自D作兩用與于

E,。吐1工C于尸，求證：BF=CG。

知識(shí)點(diǎn)三：軸對稱與軸對稱圖像的性質(zhì)

1、軸對稱的性質(zhì)：

（1）關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形；

（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線;

（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)

在對稱軸上；

(4)如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于

這條直線對稱。

2、軸對稱作(畫)圖：

(1)畫圖形的對稱軸

(2)如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是

該圖形的對稱軸。

(3)畫某點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)的方法

(4)畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形

(1)全等的圖形不一定是軸對稱的，軸對稱的圖形一定是全等的。

(2)性質(zhì)(4)的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對稱，它是作對對稱圖

形的主要依據(jù)。

【例8】如圖，AABC和AA'B'C'關(guān)于直線對稱，下列結(jié)論中：

①AABC絲AA'B'C':②NBAC'絲NB'AC;③/垂直平分CC，;

④直線BC和B'C'的交點(diǎn)不一定在/上，正確的有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

A

C

BB'

舉一反三：

1、如圖,△ABC與△A”。關(guān)于直線I對稱，則NB的度數(shù)為（）

A.50°D.90°

2、如圖六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，若NAFC+

NBCF=150°,則NAFE+NBCD的大小是（）.

A.150°B.300°C.210°D.330°.

【例9】如圖，點(diǎn)P在/AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO的對稱點(diǎn)、BO

的對稱點(diǎn)，若4PEF的周長為15,求MN的長

等腰三角形專題講解

【知識(shí)精讀】

（-）等腰三角形的性質(zhì)

1.有關(guān)定理及其推論

定理：等腰三角形有兩邊相等；

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角

推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等

腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形

是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；

2.定理及其推論的作用

等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊

相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的

中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，

兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。

（二）等腰三角形的判定

1.有關(guān)的定理及其推論

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫

成“等角對等邊工）

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等

于斜邊的一半。

2.定理及其推論的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相

等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù),

是本節(jié)的重點(diǎn)。

3.等腰三角形中常用的輔助線

等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰

三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明

線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊

上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平

分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定。

【分類解析】

【例1】如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上

一點(diǎn)，且CE=CD,DM1BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。

【例2】如圖，已知：AABC中，AB=AC,D是BC上一點(diǎn)，且

AD=DB,DC=CA,求NBAC的度數(shù)。

［例3］已知：如圖，AABC中，AB=AC,CD_LAB于Do求證:

ZBAC=2ZDCB。

4、中考題型:

1.如圖，ZXABC中，AB=AC,ZA=36°