人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 軸對(duì)稱同步課時(shí)訓(xùn)練

軸對(duì)稱同步課時(shí)訓(xùn)練

知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱的有關(guān)概念

1.如果一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，對(duì)折的兩部分能完全重合，那么就稱這

樣的圖形為軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們就說(shuō)這

個(gè)圖形關(guān)于這條直線（或軸）對(duì)稱。

2.把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠和另一個(gè)圖形完全重合，

那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。兩個(gè)圖形中經(jīng)過(guò)翻折之

后互相重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn)。

整癡

1、一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條；

2、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個(gè)圖形，后

者是一個(gè)圖形。

3、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關(guān)。

題型一:軸對(duì)稱圖形的判斷

【例1】如圖，我國(guó)主要銀行的商標(biāo)設(shè)計(jì)基本上都融入了中國(guó)古代錢幣的圖案,

下圖中我國(guó)四大銀行的商標(biāo)圖案中軸對(duì)稱圖形的是（）

①②③④

A.①②③B.②③④C.③④①D.④①②

分析：圖形沿一條直線折疊-一相互重合一-軸對(duì)稱圖形一一判斷

舉一反三:

1、下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.角B.等邊三角形C.線段D.不等邊三角形

2、下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

A.兩條相交直線B.線段

C.有公共端點(diǎn)的兩條相等線段D.有公共端點(diǎn)的兩條不相等線段

3、下列英文字母屬于軸對(duì)稱圖形的是（

A、NB、SC、LD、E

4、下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.兩個(gè)全等三角形組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形

B.直角三角形一定是軸對(duì)稱圖形

C.軸對(duì)稱圖形是由兩個(gè)圖形組成的

D.等邊三角形是有三條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形

題型二：找軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸

【例2】等腰三角形的對(duì)稱軸條.

舉一反三：

1、下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）軸對(duì)稱圖形只有一條對(duì)稱軸，（2）軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條線段，（3）

兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這兩個(gè)圖形是全等圖形，（4）全等的兩個(gè)圖形一定成軸對(duì)稱,

（5）軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，而軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形而言。

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

2、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)（）

(A)只有一條(B)2條(C)3條(D)至少一條

3、正五角星的對(duì)稱軸的條數(shù)是()

A.1條B.2條C.5條D.10條

4、下列圖形中有4條對(duì)稱軸的是()

A.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形

常見圖形及其對(duì)稱軸：

名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的直線

長(zhǎng)方形是2條對(duì)邊中線所在的直線

正方形是4條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線

所在的直線

圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊形不是。條

小結(jié)：

軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對(duì)一個(gè)圖形而言；

別

②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。②指一個(gè)圖形的特殊形狀。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

系

②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把

軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

知識(shí)點(diǎn)二：線段的垂直平分線

1、線段垂直平分線的概念：

(1)垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；

(2)線段的垂直平分線可以看做和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等。

3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：

到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

注意：

(1)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)距離相等”的作用是：證明兩

條線段相等；

(2“到段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。”的作用是：判

定一點(diǎn)在線段的垂直平分線上；

(3)“如果到兩點(diǎn)到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么，這兩點(diǎn)所在直線是

該線段的垂直平分線?！钡淖饔檬牵捍怪逼椒志€的判定。

題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)

【例3】如圖1,在4ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,

A

交AC于點(diǎn)E,ZXBCE的周長(zhǎng)等于50,求BC的長(zhǎng).八

BC

圖-1

點(diǎn)評(píng)：此題是4ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當(dāng)AB的垂直平分

線與BC相交時(shí)，（如圖2）,對(duì)應(yīng)的是4ACE的周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)也等于AC+BC.圖

形變化，但結(jié)論不變.

圖-2

舉一反三：

1、如圖1,在aABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若NBEC=70。，

則NA=?

點(diǎn)評(píng)：此題變式求角的計(jì)算方法，應(yīng)用了兩個(gè)定理.按照同樣的方法，圖2中也能

得出相應(yīng)的結(jié)論：NAEC=2NB.

【例4】如圖3,在4ABC中，AB=AC,BC=12,ZBAC=120°,AB的垂直平分線交

BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.A

(1)求4AEN的周長(zhǎng).

(2)求NEAN的度數(shù).—A4---------------V——

(3)判斷4AEN的形狀.'圖一3/

舉一反三：

1.如圖4,在AABC中，AB=AC,BC=12,NBAC=130°,AB的垂直平分線交BC邊

于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.

(1)求4AEN的周長(zhǎng).

(2)求NEAN的度數(shù).

N

(3)判斷4AEN的形狀.

圖一4

2.如圖，己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB=12cm,BC=10cm,

A

NA=49°,求aBCE的周長(zhǎng)和NEBC的度數(shù).

BC

【例5】如圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，若NABC=50。A

求NADC

舉一反三：

1.如圖，4ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,NA=30°,ZACB=80°,求NCBE

c

D

AEB

2.如圖，AABC內(nèi)有一點(diǎn)D,且D為直線AB、AC垂直平分線的交點(diǎn),

若NDAB=20°,NDAC=30°,則NBDC的大小是（）

A.100°B.80°C.70°D.50°

題型二:線段垂直平分線的判定

【例6】如圖所示，RtZkABC中，D是AB上一點(diǎn)，BD=BC,過(guò)D作AB的垂線交AC

于點(diǎn)E,CD交BE于點(diǎn)Fo求證：BE垂直平分CD。（用定義法和判定定理法兩種

方法）

【經(jīng)典例題回顧】現(xiàn)在你有什么更加簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程嗎?

【例7】如圖，在AABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，AD平分NBAC,且DEJ_AB于

點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F,連接EF交AD于點(diǎn)G,求證：AD垂直平分EF。A

舉一反三:

如圖所示，AB>AC,NA的平分線與BC的垂直平分線相交于D,自D作兩用與于

E,。吐1工C于尸，求證：BF=CG。

知識(shí)點(diǎn)三：軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖像的性質(zhì)

1、軸對(duì)稱的性質(zhì)：

（1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形；

（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線;

（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)

在對(duì)稱軸上；

(4)如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個(gè)圖形關(guān)于

這條直線對(duì)稱。

2、軸對(duì)稱作(畫)圖：

(1)畫圖形的對(duì)稱軸

(2)如果一個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱點(diǎn)之間的線段的垂直平分線就是

該圖形的對(duì)稱軸。

(3)畫某點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法

(4)畫已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形

(1)全等的圖形不一定是軸對(duì)稱的，軸對(duì)稱的圖形一定是全等的。

(2)性質(zhì)(4)的作用是判定兩個(gè)圖形是否關(guān)于某直線對(duì)稱，它是作對(duì)對(duì)稱圖

形的主要依據(jù)。

【例8】如圖，AABC和AA'B'C'關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中：

①AABC絲AA'B'C':②NBAC'絲NB'AC;③/垂直平分CC，;

④直線BC和B'C'的交點(diǎn)不一定在/上，正確的有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

A

C

BB'

舉一反三：

1、如圖,△ABC與△A”。關(guān)于直線I對(duì)稱，則NB的度數(shù)為（）

A.50°D.90°

2、如圖六邊形ABCDEF是軸對(duì)稱圖形，CF所在的直線是它的對(duì)稱軸，若NAFC+

NBCF=150°,則NAFE+NBCD的大小是（）.

A.150°B.300°C.210°D.330°.

【例9】如圖，點(diǎn)P在/AOB內(nèi)，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)、BO

的對(duì)稱點(diǎn)，若4PEF的周長(zhǎng)為15,求MN的長(zhǎng)

等腰三角形專題講解

【知識(shí)精讀】

（-）等腰三角形的性質(zhì)

1.有關(guān)定理及其推論

定理：等腰三角形有兩邊相等；

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角

推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等

腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形

是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；

2.定理及其推論的作用

等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊

相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的

中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，

兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。

（二）等腰三角形的判定

1.有關(guān)的定理及其推論

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫

成“等角對(duì)等邊工）

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等

于斜邊的一半。

2.定理及其推論的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相

等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù),

是本節(jié)的重點(diǎn)。

3.等腰三角形中常用的輔助線

等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰

三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明

線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊

上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平

分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定。

【分類解析】

【例1】如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，且CE=CD,DM1BC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。

【例2】如圖，已知：AABC中，AB=AC,D是BC上一點(diǎn)，且

AD=DB,DC=CA,求NBAC的度數(shù)。

［例3］已知：如圖，AABC中，AB=AC,CD_LAB于Do求證:

ZBAC=2ZDCB。

4、中考題型:

1.如圖，ZXABC中，AB=AC,ZA=36°