圓錐曲線(單元)教學設計

圓錐曲線（單元）教學設計 “長程兩段”的教學策略與思想嶗山二中董雪君一、教材的地位和知識結構：本單元是在學生學習完必修教材的直線與圓的基礎上進行的.圓錐曲線是解析幾何的重要內容，分為橢圓、雙曲線、拋物線三部分。而橢圓又是學生遇到的第一種圓錐曲線，能否學好橢圓的定義、標準方程及其簡單的幾何性質，是學生能否比較系統(tǒng)地學好另外兩種圓錐曲線的基礎，甚至是學生能否學好解析幾何的關鍵。而橢圓在教材中具有“承上啟下”的作用，前面是二次曲線中最特殊的圓，后面是雙曲線、拋物線。圓f橢圓f雙曲線f拋物線的定義、方程、性質知識鏈背后貫穿著一條暗線：點與距離和建立適當?shù)闹苯亲鴺讼登蠓匠虇栴}即坐標法。在圓錐曲線的教學中始終貫穿坐標法這一重要思想。因此改變原來的課時“勻速運動”的教學方式，在整個單元的知識結構、特有的育人價值思考的基礎上，把橢圓的教學作為“教學結構”階段；雙曲線、拋物線的教學作為“運用結構”階段。即采取“長程兩段”的教學策略。二、“教學結構”階段知識目標：掌握橢圓的定義、標準方程、簡單幾何性質；能力目標：培養(yǎng)學生的思維能力、探究能力、歸納抽象能力以及等價轉化思想為重點的教學思想.情感與態(tài)度目標：通過動手實驗，激發(fā)學生學習的興趣，應用運動變化的觀點看待問題，體現(xiàn)數(shù)學的美學價值。培養(yǎng)學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力。教學重點：橢圓定義的形成、標準方程、幾何性質；理解坐標法的基本思想。教學難點：橢圓定義的語言表述、符號表示、標準方程的化簡。教學方法：“三放三收”的設計方案。創(chuàng)設問題、啟發(fā)引導、探究活動、歸納總結.橢圓定義與方程的教學過程：問題設計意圖師生活動用繩子、圖釘在本子上怎樣畫出一個圓？復習圓的定義，運用學生的“基礎性資源”為下一步學習新知識作引子。學生動手畫圓。有固定繩子一端的;有繩子兩端點重合固定在圖釘上，再把圖釘固定在本子上。（不能用圓規(guī)）將繩子兩端點分開把問題放下去面向全體學生開放（教學生動手操作，大多數(shù)同學畫

固定在圖釘上，然后把圖釘固定在本子上，用筆構住繩子運動，能畫出什么曲線？學的重心下移）打破學生知識結構的平衡，調動學生原有的知識探究問題的結果，引發(fā)學習興趣。出的是橢圓，有的畫出的橢圓圓，有的畫出的橢圓扁。個別同學畫出的是線段，還有的畫出的曲線不能在一個平面上，到了空間無法展示。為下一步師生的“交互反饋”提供資源準備在運動中同學們畫出的曲線形狀、大小不同，小組討論這些曲線上的點滿足的幾何條件是什么？“生生互動”“師生互動”，整理試驗結果，互動生成。歸納出橢圓的定義。激發(fā)學生形成深層次思考的意識與習慣。根據實驗過程與結果，引導學生抓住作圖的關鍵（點與距離），鼓勵用自己的語言概括定義。（教師把信息收上來生生、師生之間圍繞由圖到定義的交流和討論）橢圓定義中的關鍵詞是什么？缺一個約束條件會變成什么曲線？符號語言怎樣表達？從本質上理解橢圓概念的內涵。通過多維互動及交互的回應反饋生成新問題的“生長元”。通過獨特的符合語言表達的實踐，學會抽象的思考和形成準確、嚴禁的表達能力。關鍵詞：在平面內，距離之和為常數(shù)，常數(shù)大于兩定點的距離。根據學習過的“點與距離”，“點與斜率”同學們還能提出什么問題？再一次把問題放下去，向學生開放，讓學生進行橫向知識的聯(lián)想，發(fā)展和提升學生的發(fā)散思維水平。在生成的教學環(huán)境中實現(xiàn)師生真實的生命成長。對學生產生的疑問平面內到兩定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？可作為課后探究為后面學習雙曲線做準備。平面內與兩定點的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？可讓學生求方程研究。學生思考或小組討論交流提出的問題:平面內到兩定點的距離之差（或之積或之商）為常數(shù)的點的軌跡是什么曲線？同樣平面內與兩定點的連線的斜率的和、差、積、商各為什么曲線？學生提出了問題，但回答不出曲線的形狀。從而激發(fā)學生的求知欲。（第二次“收”）怎樣根據曲線求方體現(xiàn)數(shù)形結合和坐標法的思想。同時學生可先依據圓的方程猜想，程？又怎樣根據方程知表示什么曲線？橢圓的方程是什么形式？怎樣建立坐標系？體會建立“適當”平面直角坐標系的意義。（方程化簡是難點）進一步體會建立坐標系不同所求方程不同。由此總結怎樣建立坐標系叫“適當”。然后建立坐標系求方程。通過“師生”交流，可請學生板演化簡方程。用投影儀展示不同不同坐標系下學生所求方程。橢圓的標準方程形式及應用。師生小結：橢圓是怎樣的點的軌跡？符合語言怎樣表達？標準方程是怎樣？怎樣建系化簡的？橢圓的幾何性質可采取數(shù)形結合方法學習。重點是讓學生改變線段的長度，多畫幾個橢圓，這樣學生會發(fā)現(xiàn)影響橢圓扁圓程度因素，對“橢圓性質”的學習起重要作用。整個橢圓教學階段速度放慢，用圓錐曲線一半的教學課時，讓學生從橢圓定義的形成”標準方程的建立“幾何性質的問題出發(fā)，在問題解決的過程中發(fā)現(xiàn)和建構知識，充分地感悟和體驗知識之間的內在關聯(lián)的結構存在，逐漸形成學習的方法結構。二、“運用結構”階段學習雙曲線的定義時與橢圓定義類比。學生準備一條拉鏈，拉開一部分，在拉開的兩邊各取一點分別固定畫出圖形。然后歸納出文字語言和符號語言。在學習了橢圓的標準方程后學習雙曲線的標準方程不會感到困難。采用學生自主學習形式。重點放在雙曲線性質中漸進線和離心率的學習。通過學生主動探究，借用研究橢圓的方法和思想使學生形成自覺學習數(shù)學的內動力。感悟滲透數(shù)學方法與思想，建立判斷與選擇的自覺意識，形成基本的數(shù)學素養(yǎng)。拋物線的學習可與現(xiàn)實生活溝通將再次體驗和認識轉化為自身的邏輯推理發(fā)展和思維品質提升的力量。運用學習橢圓部分的方法與步驟結構，反復類比，從而加強了與已有知識的聯(lián)系，又找出了與舊知識的不同之處。這一階段的學習以加速的方式進行。數(shù)學課程標準中指出“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式?！币虼藬?shù)學學習的活動應該是學生主動探索、合作交流的過程。經過主動探索，才能有發(fā)現(xiàn)、有生成、有創(chuàng)新；體驗合作交流，才能集思廣益，有所提高。因此“長程兩段”的教學有利于學生形成認知的結構化，有利于學生形成綜合的思維方式，有利于學生形成主動發(fā)展的人生態(tài)度。參考文獻《圓錐曲線與方程》復習學案、知識歸納:、知識歸納:定義平面內到兩定點F,F的距離的和為1 2常數(shù)(大于［FF2|)的動點的軌跡叫橢圓.即MF+|MF2|=2a當2a>2c時，軌跡 當2a=2c時，軌跡 當2a<2c時，軌跡 平面內到兩定點F,F的距離的差的絕對值1 2為常數(shù)(小于1勺F2)的動點的軌跡叫雙曲線.即||叫一|欣，2琮當2a<2c時，軌跡 當2a=2c時，軌跡 當2a>2c時，軌跡 標準方程焦點在X軸上時： 焦點在V軸上時： 注：根據分母的大小來判斷焦點在哪一坐標軸上焦點在x軸上時： 焦點在y軸上時： 常數(shù)a,b,c的關系a2=c2+b2,a>b>0,a最大，c=b,c<b,c>bc2=a2+b2,c>a>0c最大，a=b,a<b,a>b漸近線焦點在x軸上時： 焦點在y軸上時： ..一....一,.一、一X2V2橢圓的性質：橢圓方程一+—=1(。>b>0)a2b2(1)范圍： ，橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中。(2)對稱性1(3)頂點：AA叫橢圓的長軸，長為2a，BB叫橢圓的短軸，長為2b。12 12c b~~~b~(4)離心率：橢圓焦距與長軸長之比。e=—ne=..:1-(-)2o(0<e<1)e可以刻畫橢圓的扁平a a程度，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓.(5)點P是橢圓上任一點，(5)點P是橢圓上任一點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|PF| =maxPFmin//F1PF2取最大值.(6)點P是橢圓上任一點，當點P在短軸端點位置時，2、直線與橢圓位置關系(1)直線與橢圓的位置關系及判定方法位置關系公共點判定方法相交有兩個公共點直線與橢圓方程首先應消去一個未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式A相切有且只有一個公共點相離無公共點（2）弦長公式：設直線y=kx+b交橢圓于P（x,y）,P（x,y）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2則IPPI= ，或IPPI= （k豐0）12 123、雙曲線的幾何性質：（1）頂點頂點： ，特殊點：實軸：??長為2a，a叫做實半軸長。虛軸：BB長為2b，b叫做虛半軸長。12 12雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。（2）漸近線X2y2雙曲線——j=1的漸近線 a2b2（3）離心率 ..__ 2cc _ 、雙曲線的焦距與實軸長的比e=丁=—，叫做雙曲線的離心率.范圍：e>12aa（4）等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 _等軸雙曲線的性質：a、漸近線方程為：y=±x；b、漸近線互相垂直；。、離心率e=<2。4.拋物線：拋物線的幾何性質（1）頂點：拋物線y2=2px（p〉0）的頂點就是坐標原點。（2）離心率：拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e=1。（3）P的幾何意義：P表示焦點到準線的距離.2p表示拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）.(4)若點M(x,y)是拋物線y2=2px(p〉0)上任意一點，則|MF|=x+—0 0 0 2(5)若過焦點的直線交拋物線w=2px(p>0)于A(x1,y).B(x2,y2)兩點，則弦|AB\=x1+x2+p二．重點題型.圓錐曲線的定義：(1)已知定點F(-3,0),F(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是()1 2A. pFj+ |PF2| =4 B. pFj+pF2|=6C. |PFj+ p^F^2| =10 D. |PFJ2+|PF2|2=12(2)方程(xx-6)2+y2-J(x+6)2+y2=8表示的曲線是 (標準方程是指中心(頂點)在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程)：(1)已知方程一J+上=1表示橢圓，則k的取值范圍為一3+k2-k(2)若x,yeR，且3x2+2y2=6，則x+y的最大值是—，x2+y2的最小值是(3)雙曲線的離心率等于三5，且與橢圓x2+竺=1有公共焦點，則該雙曲線的方程 TOC\o"1-5"\h\z2 94(4)設中心在坐標原點。，焦點F、F在坐標軸上，離心率e=￡2的雙曲線C過點P(4,-i10)，則1 2C的方程為3.圓錐曲線的幾何性質：(1)若橢圓x2+y2=1的離心率e=配0，則m的值是 5m 5(2)以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為(3)雙曲線的漸近線方程是3x土2y=0,則該雙曲線的離心率等于4.直線與圓錐曲線的位置關系：(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是 x2y2(2)直線y—kx—1=0與橢圓二十二二1恒有公共點，則m的取值范圍是 5mx2y2(3)過雙曲線1-《-=1的右焦點直線交雙曲線于A,B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線有一條JL 乙5、焦半徑(1)已知拋物線方程為y2=8x，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于 ；(2)若該拋物線上的點M到焦點的距離是4,則點M的坐標為(3)拋物線y2=2x上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為6、焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形)問題：常利用定義和正弦、余弦定理求解。(1)短軸長為、：5,離心率e=2的橢圓的兩焦點為F、F，過F作直線交橢圓于A、B兩點，則AABFTOC\o"1-5"\h\z3 1 2 1 2的周長為 ___⑵設P是等軸雙曲線x2-y2=a2(a>0)右支上一點，F(xiàn)「F2是左右焦點，若PJFF=0,IPFJ=6,則該雙曲線的方程為 2127、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質、弦長公式：(1)過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1),B(x2,y2)兩點，若\+乂2=6,那么IABI等于 (2)過拋物線y2=2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知入81=10,O為坐標原點，則AABC重心的橫坐標為 8、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。

X2V2(1)如果橢圓歹十二二1弦被點A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 TOC\o"1-5"\h\z36 9(2)試確定m的取值范圍，使得橢圓二十=二1上有