正態(tài)分布在教育研究中的應(yīng)用(文檔良心出品)

閱讀報告正態(tài)分布在教育研究中的應(yīng)用利用正態(tài)分布確定超前百分位數(shù)排定名次所謂超前百分位數(shù)即是指位列于某一個數(shù)值之后的人在全體人員中所占的百分數(shù);因此求一位考生的超前百分位數(shù)即可利用正態(tài)分布求出任意一個考生的分數(shù)位列在該名考生之后的概率Pξ<K例1某市一次全市初三英語會考的考試成績可以用正態(tài)分布來描述,其平均成績?yōu)棣?70(分),標(biāo)準(zhǔn)差為σ=9(分).一考生考得75分,求其超前百分位數(shù).解記ξ為參加這次英語會考的考生成績.由題意可認為ξ~N(70,于是當(dāng)某位考生考得75分時,其超前百分位數(shù)為:P這表明有71.0%名列得75分的考生之后的學(xué)生.利用正態(tài)分布求各種分數(shù)段內(nèi)的百分比和人數(shù)利用正態(tài)分布求各種分數(shù)段內(nèi)的百分比和人數(shù),可近似看作求任意一個考生的分數(shù)落在各種分數(shù)段內(nèi)的概率;而人數(shù)可用求得的百分比乘上總的人數(shù)即可得到各個分數(shù)段內(nèi)的人數(shù).例2某校有600學(xué)生參加計算機應(yīng)用課程的考試,他們的考試成績可以用正態(tài)分布來描述,其平均成績?yōu)棣?75(分),標(biāo)準(zhǔn)差為σ=8(分),試計算學(xué)生成績分別在90分以上,80分至90分之間,70分至80分之間,60分至70分之間以及不及格的人數(shù).解記ξ為學(xué)生參加該考試的得分,則ξ~N(75,8PPPPP進而有:600×0.0291=17.46,600×0.2356=141.36,600×0.4680=280.8,600×0.2356=141.36,600×0.0304=18.24知學(xué)生成績在各種相應(yīng)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)分別為18人,141人,281人,141人,19人.利用正態(tài)分布進行能力分組或評定成績的等第根據(jù)正態(tài)分布的"3σ原則",可以近似地將所有待分組人員看作是在區(qū)間例3某中學(xué)高二年級有學(xué)生400人,其體育成績可以用正態(tài)分布來描述.今欲將學(xué)生的體育成績定為優(yōu)秀,良好,中等,及格,不及格五個等第,求各組的人數(shù).解記ξ為學(xué)生的體育成績,則ξ~N(μ,σ根據(jù)"3σ原則",為了按照成績將學(xué)生分為五個等第,可以將區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)分為五段,規(guī)定各段的長度相等.如此可得每個小區(qū)間的長度為PPPPP進而,將這些百分數(shù)乘以總?cè)藬?shù)400,即知優(yōu)秀,良好,中等,及格,不及格各組人數(shù)約為14人,95人,182人,95人,14人.例4某中學(xué)的初一年級有500名學(xué)生,他們的某種能力指標(biāo)可以用正態(tài)分布來描述.現(xiàn)在按能力將他們分為A,B,C,D四個組參加一項測試,求各組的人數(shù).解記ξ為學(xué)生的該種能力指標(biāo),則ξ~N(μ,σ同理,根據(jù)"3σ原則"可將區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)分為四段,每段長度為PPPP進而,將這些百分數(shù)乘以總?cè)藬?shù)500,即知A,B,C,D各組人數(shù)約為33人,217人,217人,33人.利用正態(tài)分布預(yù)測錄取分數(shù)線和考生考試名次一般來說,利用所給的信息確定成績或能力指標(biāo)所遵循的正態(tài)分布,即確定系數(shù)μ和σ;然后根據(jù)錄取的人數(shù)確定最后一名被錄取的人的分數(shù)C,即為錄取分數(shù)線.具體方法是近似將錄取人數(shù)比上總?cè)藬?shù)看成是任意一位考生的分數(shù)高于錄取分數(shù)線C的概率P(ξ>C),利用正態(tài)分布表求得C.當(dāng)知道以為考生的分數(shù)時,可以利用正態(tài)分布確定其名次.具體方法為求得任意一個考生分數(shù)比他高的概率,再乘上總?cè)藬?shù)得到分數(shù)比他高的人數(shù),名次也就顯而易見了.例5某公司在一次招工考試中,計劃招工100名,其中正式工80名,臨時工20名;規(guī)定進行三門課程的考試,每門滿分100分,總計滿分300分.實際報考的有693人,考試總平均成績?yōu)?98,265分以上的有14人.預(yù)測最低錄取分數(shù)線;若按總分高低排名次,今有一考生考試總分為237分,試分析他被錄取為正式工的可能性.解記ξ為報考者的總分成績,則對一次規(guī)范的考試來說,可以認為ξ服從正態(tài)分布.由題意知近似地有ξ~N(198,σ2)由條件“265分以上的有14人”以及概率的試驗度量法知：P(ξ>265)≈即:1-Φ265-198σ查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表知:Φ(2.05)≈0.9798,所以應(yīng)有67因此近似地有:ξ~N(198,設(shè)最低錄取分數(shù)線為C,按照從693人中錄取100名職工的要求,C應(yīng)滿足:P(ξ>C)≈即:P由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表得:Φ(1.06)≈0.8557.于是應(yīng)有:C-198計算結(jié)果表明,理論上預(yù)測的最低分數(shù)線為233分.當(dāng)考生總分為237分時,693位報考者中超過237分的概率為:P即考試成績高于該考生的人數(shù)大約占全體報考者的11.9%,從而成績高于該考生的人數(shù)大約有:693×11.9%≈82人計算結(jié)果表明,該考生總分大約排在第83名,故若嚴格地按總分從高到低錄取,他被錄取為正式工的可能性不大.利用正態(tài)分布將原始分數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)而加以利用在教育統(tǒng)計學(xué)上,若記X為應(yīng)試者在被試科目中的原始分數(shù),X為該被試科目原始分數(shù)的平均分室,S為該科目試卷的標(biāo)準(zhǔn)差,則稱標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)Z=為Z分數(shù).再對Z分數(shù)進行線性變換Z每取一組不同的α,β值,即得出一種不同的以標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)為基礎(chǔ)的實用標(biāo)準(zhǔn)分數(shù),并可以此分數(shù)作為不同的考量參考.例6對一所中等師范學(xué)校的畢業(yè)年級進行英語和計算機應(yīng)用兩門課程的測試,經(jīng)統(tǒng)計,英語的平均分數(shù)為80分,標(biāo)準(zhǔn)差為6分;計算機應(yīng)用的平均分數(shù)為70分,標(biāo)準(zhǔn)差為9分.某學(xué)生英語考得85分,計算機應(yīng)用考得80分,試問該生哪門課程的成績在全年級相對更好?解將該生的兩個原始分數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分數(shù),分別記Z1和ZZZ比較這兩科的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)可知,盡管該生英語的原始分數(shù)高于計算機應(yīng)用的原始分數(shù),但與平均分數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差聯(lián)系起來看,該生的計算機應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)高于英語的標(biāo)準(zhǔn)分數(shù),因此該生在全年級的計算機應(yīng)用成績比英語成績好.例7某中學(xué)高二甲,乙兩位學(xué)生五門課程的測驗成績(每門課程滿分均為100分)為:語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)甲7587627870乙8982806065又經(jīng)統(tǒng)計,該年級五門課程這次測驗的平均分數(shù)分別是70分,80分,65分,75分,68分,標(biāo)準(zhǔn)差分別是9分,6分,11分,8分,10分,試運用標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)來比較甲,乙這次測驗總分的順序.解先按照計算標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)的公式列成下表的格式進行計算:科目原始分數(shù)全體考生標(biāo)準(zhǔn)分數(shù)ZT甲乙μσ甲乙甲乙語文75897090.5562.11155.5671.11數(shù)學(xué)87828061.1670.33361.6753.33英語62806511-0.2731.36447.2763.64物理78607580.375-1.87553.7531.25化學(xué)706568100.200-0.30052.0047.00總和=SUM(ABOVE)372=SUM