福建省龍巖市新羅區(qū)龍巖學(xué)院附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

龍巖學(xué)院附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二次月試卷一、單選題1.寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】數(shù)列分子為，分母為，由此可求得一個通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列，則其分母為，分子為，則其通項(xiàng)公式為.故選：B2.已知圓的面積被直線平分，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【答案】B【解析】【分析】由圓的面積被直線平分，可得圓心在直線上，求出，進(jìn)而利用圓心距與半徑和以及半徑差的關(guān)系可得圓與圓的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)閳A的面積被直線平分，所以圓的圓心在直線上，所以，解得，所以圓的圓心為，半徑為．因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以，故，所以圓與圓的位置關(guān)系是相交．故選：B．3.圖中的直線的斜率分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖像得到直線，，的傾斜角滿足，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線，，的傾斜角分別為，，，由圖像可得，由傾斜角與斜率的關(guān)系可得，.故選：D.4.把3個不同的小球放入4個不同的盒子中，共有（）種方法.A.81 B.64 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】分析每一個小球的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種可能的放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知不同放法共有（種）.故選：B.5.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，化簡原式，得到，用基本不等式求最值.【詳解】∵，∴，由已知，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C.6.設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A7.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（）A.36 B.72 C.81 D.144【答案】D【解析】【分析】先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意先將3名女生全排列，然后利用插空法，將4名男生排到3名女生之間的4個空位上，故共有種不同的排法，故選：D8.設(shè)，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，是該雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，，用余弦定理和面積公式求出答案.【詳解】設(shè)，，則由雙曲線的定義可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面積為.故選：C.二、多選題9.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則或C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行列出方程，求出或，經(jīng)檢驗(yàn)，不合要求；再根據(jù)兩直線垂直列出方程，求出.【詳解】令，解得：或．當(dāng)時，與重合；當(dāng)時，．A正確，B錯誤．若，則，解得，C正確，D錯誤．故選：AC10.已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)時，曲線C是橢圓B.當(dāng)或時，曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】【分析】利用橢圓以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，曲線是橢圓等價于，解得且，故A錯誤；B選項(xiàng)，曲線是雙曲線等價于，解得或，故B正確；C選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)在函數(shù)（k，b為常數(shù)）的圖象上，則為等差數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，，，，則當(dāng)時，最大D.若，則為等比數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義判斷A，B，C，D的結(jié)論．【詳解】對于A：點(diǎn)在函數(shù)，為常數(shù)）的圖象上，故，故（常數(shù)），則為等差數(shù)列，故A正確；對于B：由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以（常數(shù)），故（常數(shù)），所以數(shù)列為等比數(shù)列，故B正確；對于C：若為等差數(shù)列，，所以，則，又，所以，故，所以公差，所以等差數(shù)列遞減，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，最大，故C正確；對于D：由于，當(dāng)時，整理得，當(dāng)時，，故，經(jīng)檢驗(yàn)，不滿足上式，故，故選項(xiàng)D錯誤．故選：ABC．12.（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.拋物線的方程為C.直線的方程為 D.【答案】ACD【解析】【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．三、填空題13.已知a是1，2的等差中項(xiàng)，b是1，16的等比中項(xiàng)，則ab等于_________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差和等比中項(xiàng)的定義求，即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，因?yàn)槭?，的等比中?xiàng)，所以，，所以.故答案為：.14.直線l過點(diǎn)（1，2），且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得出答案.②直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，代入求出，即可求出直線l方程.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過原點(diǎn)，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，此時直線的方程為，即；②直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過點(diǎn)，則有，解可得，此時直線的方程為，故直線l的方程為或.故答案為：或.15.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：16.已知點(diǎn)，點(diǎn)B在圓上運(yùn)動，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出動點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)M是線段AB的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在圓上，代入圓的方程得到M的軌跡方程.【詳解】設(shè)，由定點(diǎn)，且M是線段AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即，又點(diǎn)B在圓上，故，即，整理得，所以線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程是,故答案為：.四、解答題17.等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)運(yùn)用等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；(2)根據(jù)條件求出的通項(xiàng)公式，再分組求和.【小問1詳解】已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；【小問2詳解】，.；綜上，18.已知圓．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1），圓心坐標(biāo)，半徑為（2）或【解析】【分析】（1）配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑；（2）由垂徑定理得到圓心到直線距離，從而根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出答案【小問1詳解】由，得，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為．【小問2詳解】由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．19.已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線定義可求得，即可求出拋物線的方程；（2）由弦中點(diǎn)坐標(biāo)為并利用點(diǎn)差法即可求得直線的斜率為，便可得直線方程.【小問1詳解】點(diǎn)拋物線上，由拋物線定義可得，解得，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，如下圖所示：則，兩式相減可得，即，又線段的中點(diǎn)為，可得；則，故直線的斜率為4，所以直線的方程為，即直線的方程為．20.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字：（1）六位奇數(shù)；（2）個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；（3）比400000大的正整數(shù).【答案】（1）288（2）504（3）240【解析】【分析】（1）先在個位排1個奇數(shù)，然后在首位排除0之外的數(shù)字，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；（2）分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，利用兩個計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可；（3）要比400000大，首位必須是4或5，其余位數(shù)全排列，從而利用分步計(jì)數(shù)原理即可得解．【小問1詳解】先排個位數(shù)，有種，因?yàn)?不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得，六位奇數(shù)有；小問2詳解】因?yàn)?是特殊元素，分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，當(dāng)個位數(shù)是0，有，當(dāng)個位不數(shù)是0，有，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，個位數(shù)字不是5的六位數(shù)有；【小問3詳解】要比400000大，首位必須是4或5，其余位數(shù)全排列即可，所以有（個）21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出首項(xiàng)及，構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式；（2）求出，從而利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，．可得，整理得：，從而，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，，所以22.已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時點(diǎn)N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時，解得，所以a=4，橢圓過點(diǎn)M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時△AMN的面積取得最大值.聯(lián)