余弦定理在求邊以及求邊的范圍的幾點(diǎn)思考

精品文檔-下載后可編輯余弦定理在求邊以及求邊的范圍的幾點(diǎn)思考【摘要】余弦定理在求邊和求邊的范圍上都有其自身的特點(diǎn)，如果能應(yīng)用的話當(dāng)在完成題目的過(guò)程中有著事半功倍的效果.

【關(guān)鍵詞】余弦定理；求邊；求邊的范圍

余弦定理在高中數(shù)學(xué)中是一項(xiàng)重要內(nèi)容，尤其是在求邊和求邊的范圍上相比正弦定理而言有其獨(dú)到的地方，下面具體通過(guò)幾個(gè)例題就余弦定理求邊及求邊的范圍問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明.

余弦定理求邊是余弦定理應(yīng)用中很常見(jiàn)的問(wèn)題，通過(guò)以下例子來(lái)談?wù)剳?yīng)用余弦定理求邊.

分析用正弦定理來(lái)解決這個(gè)題目，雖然思路簡(jiǎn)單，但計(jì)算比較復(fù)雜，容易出錯(cuò).

解法二由余弦定理有

解得a1=5，a2=4.

分析此題利用余弦定理來(lái)完成題目比較容易，但給出的條件不是兩邊及其夾角，而是兩邊及其非夾角的余弦值，這樣的題目用正弦定理去做比余弦定理做要麻煩得多，我們就可以明顯地發(fā)現(xiàn)余弦定理求邊的好處.

通過(guò)以上例子可以看出用余弦定理求邊除直接應(yīng)用定理求邊外，還有些題目不用正弦定理，而用余弦定理，可以減少運(yùn)算量，使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化，達(dá)到事半功倍的效果.

余弦定理也可以用來(lái)求三角形邊的范圍，下面通過(guò)實(shí)例就余弦定理求邊問(wèn)題做一探討.

例3已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2，4，x，則x的取值范圍是什么？

解析由題意，x應(yīng)滿足條件22+42-x2>0，22+x2-42>0，

解得23

分析此題直接利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，要使角A為銳角，則cosA>0，所以只需b2+a2-c2>0來(lái)完成題目，但根據(jù)大邊對(duì)大角我們不需要邊長(zhǎng)為2的邊所對(duì)的角是銳角的判斷，只要邊長(zhǎng)為4所對(duì)的邊是銳角就夠了，這樣三角形的三個(gè)角都是銳角，所以三角形為銳角三角形，從而確定了第三邊的范圍.通過(guò)此例，筆者發(fā)現(xiàn)用余弦定理來(lái)確定三角形邊的范圍是一個(gè)不錯(cuò)的辦法.

例4在銳角ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，邊長(zhǎng)c的取值范圍是什么？

分析直接利用余弦定理來(lái)求邊的范圍很容易犯上述的錯(cuò)誤，出錯(cuò)的主要原因是只考慮了角C為銳角的情況，而忽略了角B也一定是銳角的情況.

解析

利用幾何畫(huà)板對(duì)例4探究，作出兩個(gè)同心圓，小圓的半徑為1cm，大圓的半徑為2cm，動(dòng)點(diǎn)A在大圓周上運(yùn)動(dòng).

如圖，CB=1cm，CA=2cm，這時(shí)利用度量工具可以測(cè)出AB=1.52cm，滿足1

第一個(gè)等式由前面例1可知1

所以cosB=c2-32c∈（0，1），解不等式可得3

綜上可得c的取值范圍為3

分析通過(guò)上面的例子我們可以看出在余弦定理的應(yīng)用中，要全面認(rèn)識(shí)余弦定理所蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn).在利用余弦定理解決問(wèn)題中，考慮問(wèn)題不全面導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，所以要考慮大邊對(duì)大角的知識(shí)點(diǎn)和銳角三角形的三個(gè)角都是銳角.

通過(guò)以上例子可以得出，余弦定理在求邊和求邊的范圍上都有其自身的特點(diǎn)，如果應(yīng)用得當(dāng)就會(huì)在完成題目的過(guò)程中起到事半功倍的效果，只要