專題12 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與新定義（解析版）

專題12抽象函數(shù)、導(dǎo)數(shù)綜合與新定義題型一抽象函數(shù)（多選）1．（2024?南通模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，，（3），則A． B． C． D．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，，（3），所以，即，錯誤；所以，正確；因?yàn)椋?），所以（3），所以（1），正確；由奇函數(shù)性質(zhì)可得，，所以（4），又（1），（2）（2），即（2），（3），所以（1）（2）（3）（4），（1）（2）（1）（2）（3）（4）（1）（2），正確．故選：．（多選）2．（2024?如皋市模擬）設(shè)為常數(shù)，，，則A． B．恒成立 C． D．滿足條件的不止一個【答案】【詳解】令，可得（a），結(jié)合，解得（a），故正確；令，原式化為（a），代入可得，所以原式即：，故正確；再令得，即函數(shù)值非負(fù)，令，可得（a），即（負(fù)值舍去），故正確；所以僅有一個函數(shù)關(guān)系式滿足條件，故錯誤．故答案為：．（多選）3．（2024?揚(yáng)州校級一模）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，又函數(shù)，且與的函數(shù)圖象恰好有2024個不同的交點(diǎn)，，，，，，，則下列敘述中正確的是A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于對稱 C． D．【答案】【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則有，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，選項(xiàng)錯誤，選項(xiàng)正確；函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移可知，的函數(shù)圖象也關(guān)于對稱，所以與的函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于對稱，不妨設(shè)，則有，，所以，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)錯誤．故選：．（多選）4．（2024?如皋市模擬）已知定義在，上的函數(shù)滿足：，，都有，且，，當(dāng)時，有，則A． B．（1） C． D．【答案】【詳解】令，則由，可得，所以，故正確；因?yàn)?，，所以?），可得（1），故錯誤；因?yàn)?，所以?），故正確；又因?yàn)楫?dāng)時，有，且，，所以當(dāng)，時，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因此合，所以，故正確．故選：．（多選）5．（2024?張家港市模擬）已知函數(shù)滿足，且（1），則A． B．（2） C．函數(shù)為奇函數(shù) D．（1）（2）（3）【答案】【詳解】對于，令，時，則（1），又（1），所以，故正確；對于，令時，則（1）（1）（2），又（1），所以（2），故正確；對于，當(dāng)，時，則（2）（1），又（1），（2），所以，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故錯誤；對于，當(dāng)，時，則（1），又（1），所以，即，所以當(dāng)時，，即，即，，當(dāng)時，代入上式，（1），所以，設(shè)（1）（2），則①，②，①②得，所以，故（1）（2）（3），故正確，故選：．（多選）6．（2024?南通模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?），為偶函數(shù)，則A． B．為偶函數(shù) C． D．【答案】【詳解】對于，因?yàn)椋?，則，故正確；對于，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故錯誤；對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，，由選項(xiàng)可知，為奇函數(shù)，所以，即，故正確；對于，由選項(xiàng)可知，所以，所以的周期為6，又因?yàn)椋?），所以（1），由可得：（2）（1），（3），（4），（5）（2），（6），所以（1）（2）（6），所以（1）（2）（1）（2）（6）（1）（1）（1），故正確．故選：．（多選）7．（2024?江蘇模擬）已知函數(shù)，的定義域均為，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，（2），，則A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C． D．【答案】【詳解】對于，因?yàn)?，所以令，得，即，，所以是偶函?shù)，故正確；對于，令，得（2）（2）（2），所以（2），所以不是偶函數(shù)，故錯誤；對于，令，則，令，則（2）（1）（1），所以（1），（1），所以，所以，令，得，化簡得，故正確；對于，令，得，而，故正確．故選：．（多選）8．（2024?相城區(qū)校級一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 C． D．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即，令，得，故正確；，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確；對于，假設(shè)成立，求導(dǎo)得，即，又，所以，所以與矛盾，故錯誤；對于，因?yàn)?，，所以，?），（2），所以有，且（2）（1），，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故正確．故選：．題型二導(dǎo)數(shù)綜合1．（2024?南通模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則A．（2）（e）（4） B．（4）（2）（e） C．（4）（e）（2） D．（e）（4）（2）【答案】【詳解】，，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，（2）（e）（4），，即（2）（e）（4），故正確．故選：．2．（2024?江蘇模擬）設(shè)，則A． B． C． D．【答案】【詳解】，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則，即，設(shè)，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，令，則，則，設(shè)，則在，上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，所以，即在，上恒成立，令，則，所以，即，所以．故選：．3．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）若，，，則A． B． C． D．【答案】【詳解】令，，，，，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以；令，，當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞減，所以，所以；綜上，．故選：．4．（2024?南通模擬）已知定義在上的函數(shù)，對任意正數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】任取，，且，則，因?yàn)楫?dāng)時，，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于，所以，，令，，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．5．（2024?武進(jìn)區(qū)校級一模）已知函數(shù)與的圖象有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為)A． B． C． D．【答案】【詳解】由題意，“函數(shù)與的圖象有兩個交點(diǎn)”等價于“方程有兩個實(shí)數(shù)根”，等價于“方程有兩個實(shí)數(shù)根，即等價于“與的圖象有兩個交點(diǎn)”，如圖所示，顯然，否則時，與只有一個交點(diǎn)．另一個臨界狀態(tài)為與相切時，不妨設(shè)兩個曲線切于點(diǎn)，，又，所以，可得，即，又，所以，即，令，則且（1），故在上單調(diào)遞增，因此是唯一的零點(diǎn)，所以，代入，可得，所以．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．（多選）6．（2024?武進(jìn)區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．那么A．存在旋轉(zhuǎn)函數(shù) B．旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù) C．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則 D．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則【答案】【詳解】對于，如滿足條件，故正確；對于，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故錯誤；對與，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點(diǎn)．故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)．即與至多1個交點(diǎn)．聯(lián)立可得．當(dāng)時，最多1個解，滿足題意；當(dāng)時，的判別式△，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故．故正確；對與，同，與的交點(diǎn)個數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個解，故為單調(diào)函數(shù)，即為非正或非負(fù)函數(shù)．又（1），故，即恒成立．即圖象在上方，故，即．當(dāng)與相切時，可設(shè)切點(diǎn)，對求導(dǎo)有，故，解得，此時，故．故正確．故選：．（多選）7．（2024?清江浦區(qū)模擬）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，且（1），則下列說法正確的是A．（2）（3） B．若，且，則 C．的最大值為 D．若，則【答案】【詳解】，，，，不妨取，，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，對于，，且在單調(diào)遞減，，所以選項(xiàng)錯誤；對于，，且，所以選項(xiàng)錯誤；對于，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，選項(xiàng)正確；對于，．，即，設(shè)，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，所以選項(xiàng)正確．故選：．（多選）8．（2024?揚(yáng)州模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則A． B． C． D．【答案】【詳解】，，在上是增函數(shù)，，故正確；，故錯誤；在上是增函數(shù)，，，由得：，在上是增函數(shù)，，故正確；令，則，，在上是減函數(shù)，，在上是增函數(shù)，，又，，，故正確．故選：．9．（2024?南京模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，則．【答案】【詳解】由可得，，所以，即，由可得，，所以，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，即，所以．故答案為：?0．（2024?南通模擬）已知有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】，【詳解】，，，有兩個極值點(diǎn)，有兩個變號零點(diǎn)，化為：，令，，令，解得，0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，函數(shù)取得極大值，即最大值，（3）．，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．11．（2024?泰州模擬）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線過原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．【答案】（1）；（2）5【詳解】（1）根據(jù)條件，可得切點(diǎn)，由，得，則切線的斜率（1）．切線方程為，又切線過原點(diǎn)，，．（2）當(dāng)時，，則，由，解得或3，則當(dāng)或時，；當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又，（4），．12．（2024?如皋市模擬）設(shè)曲線在點(diǎn)，（1）處取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）2；（2）見解析【詳解】（1）；；曲線在點(diǎn)，（1）處取得極值；（1）；（2）；；時，，函數(shù)的單調(diào)遞增；或時，，函數(shù)的單調(diào)遞減；故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，；遞減區(qū)間：和；極大值（1）；極小值．13．（2024?江蘇模擬）已知函數(shù)，其中．（1）若，證明；（2）討論的極值點(diǎn)的個數(shù)．【答案】見解析【詳解】（1）證明：當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，從而（1）；（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，，則在上單調(diào)遞增，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?）所以函數(shù)在內(nèi)有一個變號零點(diǎn)，故函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)；②當(dāng)時，由（1）知，函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)；③當(dāng)時，，，因?yàn)椋?，，又?），所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個極值點(diǎn)．14．（2024?南通模擬）已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以（1），解得或，因?yàn)?，所以；?）若，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；若，則，，由，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得；由，結(jié)合函數(shù)的定義域，可得；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，．15．（2024?南京模擬）已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，所以切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為．（2）在上恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則（2），所以，所以的取值范圍為，．16．（2024?揚(yáng)州校級一模）已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1），，曲線在處的切線為（1）（1），即，令，；令，，，得．（2），，若，，在單調(diào)遞減，若，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，若，單調(diào)增區(qū)間為，沒有單調(diào)減區(qū)間；若，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．17．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖像．若過點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱是函數(shù)的“度點(diǎn)”．（1）判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說明理由；（2）已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；（3）求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．【答案】見解析【詳解】（1）由題意，設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，該切線過原點(diǎn)時，，解得，故原點(diǎn)是函數(shù)的一個1度點(diǎn)；又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)，所以，設(shè)，則，令，得，所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，且（1），所以無解，點(diǎn)不是函數(shù)的1度點(diǎn)；（2）證明：設(shè)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則該切線過點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，設(shè)，，時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，恒不成立，即點(diǎn)是的一個0度點(diǎn)；（3），對任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故點(diǎn)為函數(shù)的一個2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則點(diǎn)為函數(shù)的一個2度點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個不同的零點(diǎn)，若，則在上嚴(yán)格增，只有一個零點(diǎn)，不合要求；若，，令得或，由或時，，得嚴(yán)格增；當(dāng)時，，得嚴(yán)格減，故在時取得極大值，在時取得極小值（a），又，，當(dāng)（a）時，由零點(diǎn)存在定理，在，，上各有一個零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)（a）時，僅上有一個零點(diǎn)，不合要求；當(dāng)（a）時，僅上有一個零點(diǎn)，也不合要求；故有兩個不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或（a），若，同理可得有兩個不同零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或（a），綜上，函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或，．18．（2024?江蘇一模）已知函數(shù)，函數(shù)．（1）若過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)．①求的值；②當(dāng)，兩點(diǎn)不重合時，求線段的長；（2）若，使得不等式成立，求的最小值．【答案】（1）①或；②；（2）1【詳解】（1）①設(shè)．因?yàn)椋缘男甭?，又過，所以，即，解得，所以，，的方程為．聯(lián)立，得，令△，得或．②當(dāng)時，方程的根為2，故，此時，兩點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)時，方程的根為，故，此時，兩點(diǎn)不重合，線段的長為，綜上所述，當(dāng)，兩點(diǎn)不重合時，線段的長為．（2）當(dāng)時，由（1）知，（2）（2），即，使得不等式成立；當(dāng)時，下證：對，不等式恒成立．證明：先證對，恒成立．①令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以①得證；再證對，不等式恒成立．②令，對稱軸為．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以（1），即；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以②得證．由①②可得，當(dāng)時，對，不等式恒成立．綜上所述，當(dāng)時，，使得不等式成立；當(dāng)時，對，不等式無解，所以的最小值為1．19．（2024?江蘇模擬）設(shè)函數(shù)，．已知的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且．（1）若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)為曲線在處的切線，證明：與曲線有唯一的公共點(diǎn)．【答案】（1），；（2）見解析【詳解】（1）由的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為，且，可得，即，可得，又，由，可得，則，由，，，，且在區(qū)間上有最大值無最小值，可得的取值范圍是，；（2）證明：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線的斜率為，切點(diǎn)為，，切線的方程為．設(shè)，則，可得在上遞減，而，可得有唯一解，即與曲線有唯一的公共點(diǎn)．20．（2024?宿遷一模）已知函數(shù)．（1）若，求的極小值；（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，．?）若，則，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取極小值．（2）設(shè)切點(diǎn)，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)，所以，即，因?yàn)檫^原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，所以方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，令，，，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故至多有1個零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取極大值，要使函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則，解得：．所以的取值范圍為．21．（2024?蘇州模擬）已知函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值）．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)時，若函數(shù)的最小值為（a），證明：（a）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）時，，，（1），（1），函數(shù)在處的切線方程：，即；（2）函數(shù)，，令，解得，函數(shù)，，函數(shù)有極值，且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn)，，解得．證明：（3），，令，則，令，得，為最小值，且，，，，對于，有唯一解，當(dāng)時，，當(dāng)時，，為最小值，（a），當(dāng)時，（a）是減函數(shù)，（a），（a）．22．（2024?鹽城模擬）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與軸相切，求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：當(dāng)時，的定義域?yàn)?，，又?），在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點(diǎn)，，則，即，所以，設(shè)，則在上單調(diào)遞增且圖象不間斷，又（1），（2），所以，由，得，又因?yàn)?，所以，則，所以．23．（2024?揚(yáng)州模擬）已知且，函數(shù)．（1）若且，求函數(shù)的最值；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，故，當(dāng)時，，故在單調(diào)減，當(dāng)時，，故在單調(diào)增，所以（1），又因?yàn)椋╡），，所以（e）；（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)故有兩解，所以方程有兩個不同的解，即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，令，故，當(dāng)時，，故在單調(diào)減，當(dāng)時，，故在單調(diào)增，如圖所示：而，所以，所以，令，因?yàn)椋?），，所以在上有一個零點(diǎn)，又當(dāng)時，，，，所以在上有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)．所以的取值范圍為．24．（2024?清江浦區(qū)模擬）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在，上的值域；（2）若函數(shù)在上僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，令，則，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，又，所以在，上的值域?yàn)椋?）函數(shù)在上僅有兩個零點(diǎn)，令，則問題等價于在上僅有兩個零點(diǎn)，易求，因?yàn)?，所以．①?dāng)，時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上沒有零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時，令，得，所以在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€零點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)椋?，令，所以在上，在上，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以當(dāng)時，在和內(nèi)各有一個零點(diǎn)，即當(dāng)時，在上僅有兩個零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．25．（2024?連云港模擬）若時，函數(shù)取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)．已知函數(shù)，，其中為正實(shí)數(shù)．（1）若函數(shù)有極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，和的幾何平均數(shù)為，算術(shù)平均數(shù)為．①判斷與和的幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小關(guān)系，并加以證明；②當(dāng)時，證明：．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）在上有變號零點(diǎn)，即在上有變號零點(diǎn)．若，即時，只需矛盾，若，即時，只需，故的取值范圍為．（2）①，先證右邊證，令證：，令，則，在上單調(diào)遞增，（1），再證左邊證：，令證，令，在上單調(diào)遞減，（1），證畢②時，關(guān)于單調(diào)遞減，，，設(shè)，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)時，．26．（2024?南通模擬）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）函數(shù)，求的最小值（a）；（2）若，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）（a）；（2）見解析【詳解】（1）由可得，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的最小值為（1），故（a）（1）．（2）證明：由于，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，所以，也是的兩個零點(diǎn)，故（a）（1），故，，，令，令，則，當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增，故（a）（e），則（a）（a），所以由零點(diǎn)存在定理可知，，設(shè)，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故（1），故，故，故，所以由零點(diǎn)存在定理可知，，即，所以．27．（2024?張家港市模擬）已知函數(shù)，．（1）求在處的切線方程；（2）記函數(shù)，，．①當(dāng)時，求證：不恒成立；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）①見解析；②1【詳解】（1），則，故，，所以在處的切線方程為：．即．（2）①證明：當(dāng)，，，．則，，，令，，所以在，上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖?，，使得，則當(dāng)，，，則，當(dāng)，，，則，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，而，所以不恒成立．②因?yàn)?，所以一定有，即（必要性）；下證充分性，當(dāng)時，，令，，令，在，上恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，，所以，故在，上單調(diào)遞增，，故，滿足充分性．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．所以實(shí)數(shù)的最大值為1．28．（2024?南通模擬）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，記為的零點(diǎn)，，．①證明：；②探究與的大小關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【詳解】（1），當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．（2）①證明：在上單調(diào)遞增，要證：證，而，令，，（a）在上單調(diào)遞減，（a），，，令，則，（a）在上單調(diào)遞增，（a），，．②，（a），（a）在上單調(diào)遞增，（a），．29．（2024?相城區(qū)校級一模）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：；（3）若函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，設(shè)，則△，①當(dāng)時，△，恒成立，且至多一點(diǎn)處為0；②當(dāng)時，△，有兩個零點(diǎn)，，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即．綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；（2）證明：由（1）知當(dāng)時，時，，所以，令，則，，所以；（3），因?yàn)榕c同號，所以只有一個零點(diǎn)，令，由（1），則有三個不同的零點(diǎn)等價于函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時，因?yàn)椋?），且，所以，所以（1），由（2）知，時，，所以，即，所以，所以由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上有唯一的一個零點(diǎn)，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以時，存在三個不同的零點(diǎn)，1，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型三新定義1．（2024?南通模擬）已知為包含個元素的集合，．設(shè)為由的一些三元子集（含有三個，元素的子集）組成的集合，使得中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集中，則稱組成一個階的三元系．若為一個7階的三元系，則集合中元素的個數(shù)為．【答案】7【詳解】由題設(shè)，令集合，，，，，，，共7個元素，所以的三元子集，如下共35個：，，，，，，，，，，，，．．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，因?yàn)橹屑蠞M足中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以中元素滿足：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共7個；共有15種滿足要求的集合，都只有7個元素．故答案為：7．2．（2024?泰州模擬）將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”若單位圓上個顏色各不相同的點(diǎn)經(jīng)過次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱這個點(diǎn)和條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件”，并將所有滿足“條件”的圖形個數(shù)記為，則．【答案】125【詳解】，即，，如圖，在單位圓上有5個顏色不同的點(diǎn)，由4條邊連接起來，每條邊有2個端點(diǎn)，條邊一共有8個端點(diǎn)，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著這邊可以達(dá)到任意一點(diǎn)，每一點(diǎn)必定會作邊，至少一條邊的端點(diǎn)，可能出現(xiàn)的情形有三種情形，按照5個點(diǎn)可能同時做幾條邊的公共端點(diǎn)來分情況討論，情形1：有3個點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，另2個點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，有種，情形2：有1個點(diǎn)是3條邊的端點(diǎn)，有1個點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn)，有種；情形3：有1個點(diǎn)是4條邊的端點(diǎn)，另4個點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn)，共有5種．綜上，．故答案為：125．3．（2024?江蘇模擬）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如為，，，四點(diǎn)的交比，記為，；，．（1）證明：；（2）若，，，為平面上過定點(diǎn)且互異的四條直線，，為不過點(diǎn)且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：，；，，；，；（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若與△的對應(yīng)邊不平行，對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，則與△對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上．【答案】見解析【詳解】證明：（1）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用，設(shè)，，，是直線上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如為，，，四點(diǎn)的交比，記為，；，．，；（2）；（3）設(shè)與交于，與交于，與交于，連接，與交于，與交于，與交于，欲證，，三點(diǎn)共線，只需證在直線上，考慮線束，，，，由第（2）問知，；，，；，，再考慮線束，，，，由第（2）問知，；，，；，，從而得到，；，，；，，于是由第（2）問的逆命題知，，，交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，從而過點(diǎn)，故在直線上，，，三點(diǎn)共線．4．（2024?南通模擬）已知是個正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)，時，記，．設(shè)，若滿足如下兩個性質(zhì)：①，2，3；，，2，，；，2，，；②對任意，2，3，，，存在，2，，，，2，，，使得，則稱為數(shù)表．（1）判斷是否為數(shù)表，并求，，的值；（2）若數(shù)表滿足，，2，3；，2，，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對任意數(shù)表，存在，，使得，．【答案】（1）5；（2）22；（3）見解析【詳解】（1）是數(shù)表，，，；（2）由題可知，，2，3；，2，，當(dāng)時，有，，所以，當(dāng)時，有，，所以，所以，2，3；，2，，所以，，，或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時，各數(shù)之和取得最小值22；（3）證明：由于數(shù)表中共100個數(shù)字，必然存在，2，3，，使得數(shù)表中的個數(shù)滿足，設(shè)第行中的個數(shù)為，2，，，當(dāng)時，將橫向相鄰兩個用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，設(shè)第列中的個數(shù)為，2，，．當(dāng)時，將縱向相鄰兩個用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，所以，因?yàn)?，所以．所以必存在某個既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn)，即存在，，使得，所以，，則命題得證．5．（2024?如皋市模擬）對于給定的正整數(shù)，記集合，其中元素稱為一個維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對一組向量，，，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．（1）對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．（2）已知，，線性無關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．（3）已知個向量，，，線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明：①如果存在等式，則這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個等式，同時成立，其中，則．【答案】見解析【詳解】（1）對于①設(shè)，則可得，所以，線性相關(guān)；對于②設(shè)則可得，，，所以，，所以線性相關(guān)；對于③，設(shè)，則可得，，解得，所以，，線性相關(guān)；（2）設(shè)，則，因?yàn)橄蛄?，，線性無關(guān)，所以，，，解得，所以向量，，線性無關(guān)；（3）①，如果某個，，2，，，則，因?yàn)槿我鈧€都線性無關(guān)，所以，，，，，，都等于0，所以這些系數(shù)，，，或者全為零，或者全不為零，②因?yàn)樗?，，，全不為零，所以由，可得，代入，可得，所以，所以，，，所?．（2024?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，直線與相切，與圓相交于，兩點(diǎn)．當(dāng)垂直于軸時，．（1）求的方程；（2）對于給定的點(diǎn)集，，若中的每個點(diǎn)在中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為．（ⅰ）若，分別為線段與圓，為圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為．已知，，均存在，證明：，，，．【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ）見解析【詳解】（1）當(dāng)垂直于軸時，，解得，離心率，解得，所以的方程為：．（2）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為：，由，消去得：，由直線與橢圓相切，得△，整理得，于是圓心到直線的距離，則的面積為，設(shè)（d），，求導(dǎo)得（d），當(dāng)時，（d），函數(shù)（d）單調(diào)遞增，當(dāng)時，（d），函數(shù)（d）單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，（d）取得最大值，此時，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，由（1）知，，由，得，則，對于線段上任意點(diǎn)，連接并延長與圓交于點(diǎn)，則是圓上與最近的點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，取得最大值，所以．（ⅱ）因?yàn)椋?，均存在，設(shè)點(diǎn)，，，，，，且，，，設(shè)是集合中到的最近點(diǎn)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，，，令點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，因此，，，而在坐標(biāo)平面中，，又點(diǎn)是集合中到點(diǎn)的最近點(diǎn)，則，所以，，，．7．（2024?揚(yáng)州模擬）在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)，，表示，其中，．而在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，，其中，．現(xiàn)有如下定義：在維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)，，，，與，，，，坐標(biāo)差的絕對值之和，即為．回答下列問題：（1）求出維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；（2）在維“立方體”中任取兩個不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離①求出的分布列與期望；②證明：在足夠大時，隨機(jī)變量的方差小于．（已知對于正態(tài)分布，隨變化關(guān)系可表示為【答案】（1）共有個頂點(diǎn)；（2）見解析【詳解】（1）對于維坐標(biāo)，，，，有，兩種選擇，所以共有種選擇，即共有個頂點(diǎn)；（2）①對于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)，，，，與，，，，中有個坐標(biāo)值不同，即，剩下個坐標(biāo)值滿足，此時所對應(yīng)情況數(shù)為種，所以，則的分布列為：012所以，倒序相加得，故；②證明：當(dāng)足夠大時，，設(shè)正態(tài)分布，正態(tài)分布曲線為，因?yàn)樵撜龖B(tài)分布期望為，方差為，不妨設(shè)分布列所形成的曲線為，所以函數(shù)與均在處取最大值，當(dāng)，且時，此時可認(rèn)為方差，若，當(dāng)時，，所以；若，當(dāng)足夠大時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．綜上所述，可以認(rèn)為．8．（2024?揚(yáng)州校級一模）定理（三角不等式），對于任意的、，恒有．定義：已知且，對于有序數(shù)組、、、，稱為有序數(shù)組、、、的波動距離，記作，，，，即，，，，請根據(jù)上述信息解決以下幾個問題：（1）求函數(shù)的最小值，并指出函數(shù)取到最小值時的取值范圍；（2）①求有序數(shù)組2、5、3、4的波動距離，5，3，；②求證：若、、、且，則，，，，，