廣西壯族自治區(qū)南寧市廣西大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題

期末數(shù)學(xué)模擬卷一一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．每小題都給出代號(hào)為（A）、（B）、（C）、（D）四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)考生用2B鉛筆在答題卡上將選定的答案標(biāo)號(hào)涂墨．）1.生活中有許多對(duì)稱美的圖形，下列是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形定義：把圖形沿某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的新圖形與原圖形重合的圖形叫中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形定義：把一個(gè)圖形沿某條直線對(duì)折兩邊完全重合的圖形叫軸對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義及軸對(duì)稱圖形定義，逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：A、選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，B、選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，C、選項(xiàng)圖形即是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，不符合題意，D、選項(xiàng)圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，符合題意，故選：D；2.下列事件中屬于隨機(jī)事件的是（）A.若今天是星期一，則明天是星期二 B.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上C.拋出的籃球會(huì)下落 D.從一個(gè)裝滿紅球的袋子里摸出了一個(gè)白球【答案】B【解析】【分析】本題考查了隨機(jī)事件，在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件叫隨機(jī)事件，熟練掌握隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)符合題意；C、拋出的籃球會(huì)下落是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；D、從一個(gè)裝滿紅球的袋子里摸出了一個(gè)白球是不可能事件，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3.已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，且的半徑為，則的長(zhǎng)可能為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：若半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則有當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．根據(jù)點(diǎn)在圓外，點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：點(diǎn)是外一點(diǎn)，，的長(zhǎng)可能為，故選：D．4.若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，則m+n的值是()A.1 B.-1 C.3 D.-3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)；兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，可得m、n的值，進(jìn)而可算出m+n的值．【詳解】∵點(diǎn)P1（m，-1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是P2（2，n），∴m=-2，n=1，∴m+n=-2+1=-1，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．5.下列拋物線中，對(duì)稱軸為直線的拋物線的表達(dá)式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸，熟練掌握求二次函數(shù)對(duì)稱軸的方法和技巧是解答本題的關(guān)鍵．分別求出各選項(xiàng)中拋物線的對(duì)稱軸，由此進(jìn)行判斷，得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：選項(xiàng)中，拋物線的對(duì)稱軸為軸，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)中，拋物線的對(duì)稱軸為軸，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)中，拋物線，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，故本選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)中，拋物線，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．6.一元二次方程配方后可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查解一元二次方程—配方法，根據(jù)確配方法的步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方解答即可．【詳解】解：故選：A．7.如果三點(diǎn)和在拋物線的圖象上，那么與之間的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=3，根據(jù)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小，即可得出答案．【詳解】解：∵y=-x2+6x+c=-（x-3）2+9+c，∴圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=3，P1（1，y1）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（5，y1），∵3＜4＜5，∴y2＞y3＞y1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．8.如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，則的直徑為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定．連接、．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得是等邊三角形，則的半徑長(zhǎng)為，再求解即可．【詳解】解：如圖，連接、．是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，，．又，是等邊三角形，，．故選：D．9.下列關(guān)于方程的結(jié)論正確的是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.無(wú)實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】【分析】根據(jù)判別式的符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意得：；∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系．熟練掌握，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．10.如圖，拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，則關(guān)于x的方程的解集為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用圖象解不等式，根據(jù)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，當(dāng)拋物線在直線的上方時(shí)，自變量x的取值即為的解集求解即可．【詳解】解：拋物線在直線的上方時(shí)，自變量x的取值即為的解集，，，或，故選：C．11.如圖，在中，，，O為的內(nèi)心．若的面積為20，則的面積為（）A.20 B.15 C.18 D.12【答案】B【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到，，的距離相等，則、、面積的比實(shí)際為，，三邊的比．【詳解】解：∵O為的內(nèi)心，∴點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O到，的距離相等，∴、面積的比．∵的面積為20，∴的面積為15．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，掌握“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”是解本題的關(guān)鍵．12.如圖，拋物線m：y＝ax2+b（a0，b0）與x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為C1，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A1．若四邊形AC1A1C為矩形，則a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式為（）A.ab＝﹣2 B.ab＝﹣3 C.ab＝﹣4 D.ab＝﹣5【答案】B【解析】【分析】利用矩形性質(zhì)得出要使平行四邊形是矩形,必須滿足AB=BC,繼而可求出a、b滿足的關(guān)系．【詳解】解：令x＝0，得：y＝b．∴C（0，b）．令y＝0，得：ax2+b＝0，∵，∴x＝±，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB＝2，BC＝,要使平行四邊形AC1A1C是矩形，必須滿足AB＝BC，∴,∴，∴ab＝﹣3,∴a，b應(yīng)滿足關(guān)系式ab＝﹣3,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)，靈活利用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）13.當(dāng)=_____時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．【答案】4【解析】【詳解】關(guān)于x的方程是一元二次方程，得m-2=2，解得m=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握此概念．14.邊長(zhǎng)為4的正六邊形內(nèi)接于，則的半徑是______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長(zhǎng)將組成一個(gè)等邊三角形，即可求解．【詳解】解：正六邊形的中心角為，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長(zhǎng)將組成一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)為4的正六邊形外接圓半徑是4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，掌握正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長(zhǎng)將組成一個(gè)等邊三角形是解題的關(guān)鍵．15.若關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，代入求解即可【詳解】設(shè)另一個(gè)根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：即解得：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.將拋物線先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到拋物線__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將拋物線先向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到拋物線，故答案為：．17.如圖所示，某市世紀(jì)廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)方形綠地長(zhǎng)，寬，在綠地中開(kāi)辟三條道路后，剩余綠地的面積為，如圖，設(shè)道路的寬為，則可列方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用題，由題意列出一元二次方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．18.如圖，已知正方形紙片的邊長(zhǎng)為，的半徑為，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使恰好與相切于點(diǎn)（與除切點(diǎn)外無(wú)重疊部分），延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是___________．【答案】##【解析】【分析】連，過(guò)F作于H．由題干條件易證明點(diǎn)共線，即過(guò)圓心O，再由可證明，得、；設(shè)，將和用含x式子表示，在中運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：連，過(guò)F作于H．由折疊的性質(zhì)可知，，∵恰好與相切于點(diǎn)，∴，則點(diǎn)共線，即過(guò)圓心O，∴；∵，∴，∴，∴、，∵，∴；設(shè)，則，，，在中，，則，解得，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，也考查了折疊和正方形的性質(zhì)以及勾股定理．三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）．19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先化簡(jiǎn)零指數(shù)冪，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，立方根，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再運(yùn)算加減法，即可作答．詳解】解：原式．20.解方程：．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，常用的方法有直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．直接利用因式分解法求解方程即可．【詳解】解：或解得：．21.為慶祝黨的二十大勝利召開(kāi)，某學(xué)校舉行作文比賽，題目有“偉大的中國(guó)共產(chǎn)黨”“科技托起強(qiáng)國(guó)夢(mèng)”“家鄉(xiāng)的新變化”“時(shí)代賦予我們的使命”（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個(gè)題目）．比賽時(shí)，將A，B，C，D這四個(gè)字母分別寫在4張無(wú)差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，小青先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由小云從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行比賽．（1）小云抽中題目“時(shí)代賦予我們的使命”的概率是______．（2）試用畫樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出小青和小云抽中不同題目的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解；（2）利用列表法展示所有16種等可能性結(jié)果，再找出小明和小亮加同一項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【小問(wèn)1詳解】解：小云抽中題目“時(shí)代賦予我們的使命”的概率是：．故答案為：【小問(wèn)2詳解】列表如下：ABCDA（AA）（A,B）（A,C）（A,D）B（B,A）（B,B）（B,C）（B,D）C（C,A）（C,B）（C,C）（C,D）D（D,A）（D,B）（D,C）（D,D）一共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中小青和小云抽中不同題目的結(jié)果有12種，所以小青和小云抽中不同題目的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．22.在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程.以下是我們研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過(guò)程，請(qǐng)按要求完成下列各小題.（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下x…-4-3-2-1012…y…41.500.50m4…其中，__________________.（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)的圖象.（3）根據(jù)函數(shù)圖象，下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法正確的有__________________（填序號(hào)）；①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸為y軸②該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，沒(méi)有最大值，但有最小值③當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0④當(dāng)或時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.（4）在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出方程的解__________________.（保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.4）.【答案】（1）（2）畫圖見(jiàn)解析；（3）②③；（4）或【解析】【分析】（1）把代入，可得的值；（2）根據(jù)表中的的對(duì)應(yīng)數(shù)值作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，描點(diǎn)作圖即可得到答案；（3）根據(jù)函數(shù)的圖像逐一判斷即可得到答案；（4）先在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖像，再利用兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的近似解，從而可得答案．【詳解】解：（1）當(dāng)故答案為：（2）描點(diǎn)：再用平滑的曲線連接各點(diǎn)補(bǔ)全圖像如下：（3）由函數(shù)的圖像可得：該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸為直線故①錯(cuò)誤；該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)，沒(méi)有最大值，但有最小值，說(shuō)法正確，故②正確；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故③正確；當(dāng)或＜＜隨的增大而減小，當(dāng)＜＜或＞時(shí)，y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤；綜上：正確的有：②③．故答案：②③．（4）函數(shù)令則令則函數(shù)過(guò)畫出函數(shù)圖像如圖示：由圖像可得：當(dāng)時(shí)，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是探究絕對(duì)值函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時(shí)考查描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，利用函數(shù)圖像求解方程的近似解，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在四邊形中，是對(duì)角線，是等邊三角形，線段CD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，利用等邊三角形的性質(zhì)得到．則，即可得到結(jié)論；（2）證明．則．證明是等邊三角形．進(jìn)一步得到．在中，由勾股定理即可得到的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知．∵是等邊三角形，∴．∴．∴，即．【小問(wèn)2詳解】解：在和中，∴．∴．∵，∴是等邊三角形．∴．∵，∴．在中，．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)擊球線路的方案素材1數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，興趣小組對(duì)擊球線路進(jìn)行探索，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離，，擊球點(diǎn)P在y軸上，且．素材2若選擇點(diǎn)P扣球，如圖2，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系．素材3若選擇點(diǎn)P吊球，如圖2，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系．問(wèn)題解決任務(wù)1確定關(guān)鍵數(shù)據(jù)求a和b的值．任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案興趣小組探索發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng)．要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．【答案】任務(wù)一：的值是；b的值是2.8任務(wù)二：選擇吊球方式，球的落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離更近【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征．任務(wù)一：先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別代入一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式計(jì)算即可求解；任務(wù)二：在中，令得，在中，令可得（舍去）或，由，即可得到答案．【詳解】解：任務(wù)一：∵，∴，把代入得：，解得：，的值是；把代入得，∴b的值是2.8．任務(wù)二：，，，，在中，令得，在中，令得（舍去）或，，選擇吊球方式，球的落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離更近．25.筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，車輪縛以竹筒，旋轉(zhuǎn)時(shí)低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅(qū)動(dòng)筒車按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，竹筒把水引至A處，水沿射線方向?yàn)a至水渠，水渠所在直線與水面平行．設(shè)筒車為，與直線交于P，Q兩點(diǎn)，與直線交于B，C兩點(diǎn)，恰有，連接．（1）求證：為的切線；（2）筒車的半徑為，，．當(dāng)水面上升，A，O，Q三點(diǎn)恰好共線時(shí)，求和的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，直接寫出筒車在水面下的最大深度（精確到．參考值：，）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2），（3）【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于，根據(jù)為的直徑可以得到，繼而得到，根據(jù)，，即可得到，即可證明為的切線；（2）根據(jù)，解出，根據(jù)為的直徑得到，進(jìn)而得出，，又根據(jù)得出，故可得到；（3）過(guò)作交于，交于，于是在等腰中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出長(zhǎng)，進(jìn)而求出最大深度．【小問(wèn)1詳解】證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接，如圖1，為的直徑，，，又，，，，是的半徑，為的切線；【小問(wèn)2詳解】解：如圖2所示，，，，是的直徑，，，，，，，，，；【小問(wèn)3詳解】解：過(guò)作交于，交