河南省鄭州市登封市嵩陽中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市嵩陽中學(xué)九年級（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A.兩組對邊分別平行 B.兩組對角分別相等C.對角線相等 D.對角線互相平分【答案】C【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：A、∵矩形的兩組對邊平行，平行四邊形的兩組對邊平行，∴矩形和平行四邊形都具有兩組對邊分別平行，故此選項不符合題意；B、∵矩形的四個角相等，都要等于90度，平行四邊形的兩組對角分別相等，∴矩形和平行四邊形都具有兩組對角分別相等，故此選項不符合題意；C、∵矩形的對角線互相平分且相等，平行四邊形的對角線互相平分，∴矩形具有對角線相等，平行四邊形不具有對角線相等，故此選項符合題意；D、∵矩形的對角線互相平分且相等，平行四邊形的對角線互相平分，∴矩形和平行四邊形都具有對角線互相平分，故此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如圖，絲帶重疊的部分一定是（）A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.都有可能【答案】A【解析】【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條絲帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形．【詳解】解：過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因為兩條彩帶寬度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．故選A．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定和性質(zhì)，利用平行四邊形的面積公式得到一組鄰邊相等是解題關(guān)鍵．3.下列方程中是關(guān)于的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，依次判斷即可，本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是：明確一元二次方程的定義．【詳解】解：、是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合題意；、整理為，是關(guān)于x的一元二次方程，符合題意；、當(dāng)時，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合題意；、分母上有未知數(shù)，是分式方程，不是一元二次方程，不符合題意，故選：．4.已知關(guān)于x的一元二次方程(m+3)x2+5x+m2-9=0有一個解是0，則m的值為()A.-3 B.3 C.±3 D.不確定【答案】B【解析】【分析】方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=0代入原方程即可求得m的值．【詳解】把x=0代入原方程得：m2-9=0；

解得：m=±3；

當(dāng)m=-3時,原方程為：5x=0,不是一元二次方程，故舍去.所以m=3.故選B．【點睛】考查的是方程的根即方程的解的定義，注意該題說明該方程是一元二次方程，所以m=-3不符合題意，所以m的值是3．5.已知a，b，c，d是成比例線段，若，則d的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了比例線段．注意根據(jù)題意構(gòu)造方程是關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴∵，∴∴故選：C．6.經(jīng)過某路口的汽車，只能直行或右轉(zhuǎn)．若這兩種可能性大小相同，則經(jīng)過該路口的兩輛汽車都直行的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】從所有等可能的情況中找出符合條件的情況數(shù)，利用概率公式求解．【詳解】解：由題意知，A，B兩輛汽車經(jīng)過該路口時共有4種等可能的情況，分別是：A直行B右轉(zhuǎn)，A直行B直行，A右轉(zhuǎn)B右轉(zhuǎn)，A右轉(zhuǎn)B直行，因此經(jīng)過該路口的兩輛汽車都直行的概率為．故選A．【點睛】本題考查簡單概率的計算，根據(jù)題意列出所有等可能的情況是解題的關(guān)鍵．7.方程的解是（）A B. C. D.無實數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可解答.【詳解】解：由x(x一2)=0得：x=0或x﹣2=0，解得、x1=0，x2=2，故選：B.【點睛】本題考查解一元二次方程，會利用因式分解法解一元二次方程是解答的關(guān)鍵.8.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式，列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：∵x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴且，解得：且，故選：C．9.如圖，在中，，，點P為斜邊上一動點，于點E，于點F，連接，則線段長的最小值為（）A.24 B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】本題考查了線段的最值問題，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．先證明四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，即當(dāng)時，最小，利用勾股定理及面積法計算，即得答案．【詳解】解：連接PC，，，，四邊形是矩形，，∴當(dāng)最小時，也最小，即當(dāng)時，最小，，，，的最小值為，線段長的最小值為．故選C．二、填空題（本大題共有5個小題，每小題3分，共15分）10.如果，則______．【答案】【解析】【分析】利用比例的基本性質(zhì)變形為，由，直接代入即可．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了比例基本性質(zhì)，由比例的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是關(guān)鍵．11.如圖，連接四邊形各邊中點，得到四邊形，還要添加________條件，才能保證四邊形是矩形．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得，，，，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，然后由矩形的四個角都是直角可知，結(jié)合平行線的性質(zhì)求出，可知此時．【詳解】解：如圖，∵E、F、G、H分別是、、、的中點，∴，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，若四邊形是矩形，則有，∵，∴，∵，∴，即，∴還要添加的條件，才能保證四邊形是矩形，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定和矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的四個角都是直角是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則AEF的周長=___cm．【答案】9【解析】【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：(cm)，∴DO=5cm，∵點E，F(xiàn)分別是AO、AD的中點，(cm)，,，△AEF的周長=故答案為：9．13.若，則的值為_____．【答案】【解析】【詳解】解：∵，∴===∴=.故答案為.14.如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運動過程中點D到點O的最大距離是______．【答案】+2【解析】【分析】取AB的中點E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解．【詳解】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=AB=2，DE==，∴OD的最大值為：+2，故答案為+2.【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點O、E、D三點共線時，點D到點O的距離最大是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有8個小題，共75分）15.解下列方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；（2）先移項得到，然后利用因式分解法解方程．【小問1詳解】所以；【小問2詳解】或所以【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．16.已知是的三邊，且滿足，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】是直角三角形，理由見解析．【解析】【分析】本題主要考查了設(shè)比例系數(shù)法和勾股定理的逆定理的運用，解題的關(guān)鍵是設(shè)比例系數(shù)k；設(shè)，得出，再根據(jù)列出方程求出k的值，進(jìn)而得出a、b、c的值，最后根據(jù)勾股定理逆定理，即可解答．【詳解】解：是直角三角形，理由如下：設(shè)，則，，，，，，是直角三角形．17.不透明的口袋里裝有白、紅、黃三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，紅球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為．（1）袋中黃球的個數(shù)為．（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖或列表格法，求兩次摸到都是白球的概率．【答案】（1）1（2）圖見解析，【解析】【分析】（1）首先根據(jù)白球個數(shù)和從中任意摸出一個是白球的概率求出總數(shù)，進(jìn)而求解即可；（2）畫樹狀圖或列表得出所以可能的結(jié)果，然后利用概率公式計算即可．【小問1詳解】∵白球有2個，從中任意摸出一個是白球的概率為∴球的總數(shù)為∴袋中黃球的個數(shù)為，故答案為：1．【小問2詳解】解：畫樹狀圖得：∴共有12種等可能的結(jié)果，兩次都是摸到白球的有2種情況∴兩次都是摸到白球的概率為：．【點睛】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵．18.如圖，，相交于點O，，，．（1）求證：；（2）求的長度．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，（1）由，易得，則可證得：；（2）由，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得的長度；熟練掌握相似三角形的判定是解決此題的關(guān)鍵．小問1詳解】證明：∵，∴，∴；【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，解得：．19.如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【解析】【分析】（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面積是△ABD面積的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有，即，解得t＝，答：當(dāng)t＝3或時，以A、M、N為頂點的三角形與△ABD相似．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．20.2022年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡，某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．該零售店將采用提高售價的方法增加利潤，根據(jù)市場調(diào)研得出結(jié)論：如果將進(jìn)價80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可銷售500件，在此基礎(chǔ)上售價每漲1元，那么每天的銷售量就會減少10件，該零售店要想每天獲得12000元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應(yīng)該定為多少元？【答案】每件商品的售價應(yīng)該定為110元【解析】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為m元，根據(jù)每天獲得12000元的利潤列方程并解方程即可解決．【詳解】解：設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為m元，則每件商品的銷售利潤為元，每天的銷售量為件，依題意可得，解得，∵要使銷量盡可能大，∴，答：每件商品的售價應(yīng)該定為110元．21.如圖，在中，，過點C的直線，D在邊上一點．過點D作，交直線于E，垂足為F，連接、．（1）求證：；（2）當(dāng)點D在中點時，四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由．【答案】（1）證明見解析（2）四邊形是菱形，理由見解析【解析】【分析】（1）由可知，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得；（2）由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，證是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即為中點，可知是的中位線，則，由四邊形是平行四邊形，可得，進(jìn)而有，進(jìn)而可判斷四邊形的形狀；【小問1詳解】證明：由題意知，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；【小問2詳解】解：四邊形是菱形；理由如下：∵在中，D在中點，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴中點，∴是的中位線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，，，∴四邊形是菱形；【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，菱形的判定，中位線，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．22.[問題背景](1)