【中學數(shù)學中不等式問題的求解方法淺論9100字（論文）】

引言不等式是數(shù)學基礎知識的重要組成部分之一。它能作為數(shù)學模型來刻畫現(xiàn)實世界中的不等關系，還能反映事物在量上的區(qū)別，所以說不等式是數(shù)學知識的重要組成部分，是研究數(shù)量的大小關系所必須的知識，是進一步學習數(shù)學和其他學科的基礎和工具。在中學數(shù)學中，不等式的知識主要用以解決不等式的證明、解不等式及應用不等式三類問題。不等式具有很強的工具性，因為數(shù)學學科中的很多其他問題的解決都會用到不等式。如求函數(shù)的定義域、值域，確定函數(shù)的最大值和最小值，求數(shù)列項的最值與前n項和的最值，求直線的斜率k或二次曲線離心率e的范圍，求空間線線、線面、面面之間的距離或交角的范圍，幾何體的表面積或體積的范圍，概率的范圍等，這些問題的解決都會用到不等式知識；同時，不等式在物理學等其他學科中也有廣泛的應用。不等式問題中蘊涵了很多數(shù)學思想方法。而數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓，是聯(lián)系各部分的紐帶，是求解的“指南針”。要想更好的解決數(shù)學問題就要熟練掌握數(shù)學思想方法，因而學好不等式知識是非常必要的。1不等式的性質(zhì)①如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b；（對稱性）②如果a＞b，且b＞c，則a＞c；（傳遞性）③如果a＞b，則a﹢c＞b﹢c；（可加性）④如果a＞b，c＞d，則a﹢c＞b﹢d；⑤如果a＞b，c＞0，則ac＞bc；如果a＞b，c＜0，則ac＜bc；⑥如果a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；⑦如果a＞b＞0，則an＞bn（n∈N+⑧如果a＞b＞0，則na+＞nb+（n∈N不等式的性質(zhì)是不等式知識的核心內(nèi)容，一切不等式問題的解決都依賴于不等式的性質(zhì)，所以學好不等式的關鍵就是學好不等式的性質(zhì)。2不等式求解的常見方法2.1換元法通過對所證不等式添設輔助元素，使原來的未知量（或變量）變換成新的未知量（或變量），從而更容易達到證明的目的，這種證明不等式的方法稱之為換元法。換元法常用來證明條件不等式，換元法中的元素包括三角和代數(shù)。該不等式證明法的證明過程為：1.分析不等式的本質(zhì)特性，巧妙換元；2.換元后，驗證不等式；3.求解后，將之前的不等式導入。2.1.1代數(shù)換元如果代數(shù)式的結(jié)構(gòu)比較特殊，可以利用代數(shù)換元法證明，通過代換，將不等式中的復雜元素轉(zhuǎn)換為已知變量，能夠快速、準確的驗證不等式的正確性。例1設求證：.求解：通過觀察可發(fā)現(xiàn)，如果將中的任何兩個轉(zhuǎn)換，不影響不等式結(jié)果，表明該不等式是對稱不等式，假設可將不等式轉(zhuǎn)換為：這種不等式比較簡單，和已知不等式緊密相關，所以可通過換元法來驗證不等式:證明：令,可得：,時,；若,則(可判定中一定存在兩個負數(shù)，可設,,可得,發(fā)現(xiàn)是不合理的),所以,,以上可知：將導入上述公式得:2.1.2三角換元三角換元需要注意使用正確的換元方法，熟悉三角函數(shù)的誘導公式，理解三角函數(shù)的有界性理論。如果不等式中包含根式或絕對值符號，一般采用三角換元法驗證，這樣能將不等式轉(zhuǎn)換成已知的三角函數(shù)值域求解公式。在假設之間，首先要找出值域的關聯(lián)，是否需要去除根號。設變量x、y滿足公式，那么可運用三角代換法將、代入，將公式轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)。例2若求證：。求解：因為知點在圓的內(nèi)部或邊緣，可使用三角變換法：.證明：當時,有2.2放縮法放縮法是指在證明不等式時，剔除部分正數(shù)項或負數(shù)項，使不等式的其它項變大或變?。换?qū)⒎质街械姆肿踊蚍帜阜糯蠡蚩s小，以方面不等式求解。在證明步驟中，通過合理的放縮，能夠?qū)碗s的項轉(zhuǎn)化為簡單易算的項，提升了證明效果。需要掌握的是放縮技巧，如果合理的放縮范圍，如果放縮范圍過大或過小，容易導致結(jié)論錯誤或現(xiàn)象相反。所以放縮法的使用難度較大，首先要明確放縮目標項，但要想以找出科學的放縮目標，必須分析欲證結(jié)論，找出命題的特征，領悟放縮技巧，能夠靈活應用，針對不同命題的不等式，選用合適的放縮方式。2.2.1添加或舍棄一些正項（或負項）如果增設某個正值到多項式中，多項式的數(shù)值增大，相反，增設某個負值到多項式中，多項式的數(shù)值減小，可根據(jù)不等式的實際類型，適當?shù)脑鲈O或去掉部某一項，使不等式兩側(cè)的數(shù)值發(fā)生變化，利用不等式的傳遞特性，完成不等式求解。例3已知求證：證明： 該命題縮小的對象為，這時分式值和之前比較小，但公式得到簡化。2.2.2先放縮再求和（或先求和再放縮）如果變量同時存在于分子分明中，，需要將其中一個變量轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ａ?。對分式放縮時，一般選擇數(shù)值為正的分子或分母，如果需要將對象放大，那么可將分母縮小，也可將分子適當放大；同理，如果需要縮小，可對應的縮小分子或放大分母。放縮前要先確定命題的本質(zhì)特性，再確定求和與放縮的順序。例4:函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+求解思路：觀察發(fā)現(xiàn)不等式左邊求和難度較大，可觀察不等式右邊的特性，選擇將分子轉(zhuǎn)換為常數(shù)，再講分母適當放縮，達到求和的目的。證明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>備注：該題將公式左邊作為突破口，適當?shù)姆趴s和變形，使其和公式右邊的結(jié)構(gòu)基本相同，進而獲得求證結(jié)果。2.2.3先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）當不等式包含的分式比較復雜，難于處理時，可分析命題特性，對分式進行巧妙的放縮，方便后續(xù)的裂項，進而獲得求證結(jié)果。例5設an=n，求證：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3。證明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3備注：該題首先將分母進行兩次縮小，再進行裂項，后又采用放縮法，獲得求證結(jié)果。2.2.4放大或縮小因式如果發(fā)現(xiàn)因式中含有變量，可根據(jù)命題特性，放縮因式中的部分項，使其轉(zhuǎn)換為常數(shù)。例6假設滿足求證：證明備注：該題將因式適當增大，將公式轉(zhuǎn)換成便于求和的公式，進而獲得求證結(jié)果。例7設求證：證明：∵∴∴，∴備注：該命題借助的特性，將中所有項均進行放縮，獲得易于求和的數(shù)列，進而獲得求證結(jié)果。2.2.5固定部分項，放縮其它項如果從整體上很難證明某個不等式，一般可選擇固定某些項，通過放縮其他項的方式來簡化公式，進而獲得求證結(jié)果。例8求證：證明：備注：求解時，首先將第三項作為拆項目標，進行拆項縮放，可根據(jù)命題特征確定拆項，如果放的過寬或過窄，會影響求證結(jié)果。2.2.6利用基本不等式放縮如果不等式中包含比較特殊的項，我們可借助基礎不等式對其進行縮放和求解。如。例9假設，證明：當為任意正整數(shù)時，不等式均成立.證明：假如，則因為，，所以，需要證明因為，所以命題是正確的。備注：本題通過放縮，將公式簡化，借助基礎不等式的特性，適當?shù)姆糯笠垣@取求證結(jié)果。2.3構(gòu)造法構(gòu)造法是指詳細分析命題的條件和結(jié)論，找出命題的特性，將其和熟悉的數(shù)學模型相關聯(lián)，再虛擬輔助項，如函數(shù)、圖形、等價公式或方程，將公式轉(zhuǎn)換成熟知的數(shù)學式，找出連接條件和結(jié)論的關聯(lián)，進而求解不等式問題。構(gòu)造法的運用和化歸思想類似，其特征為明了、便捷、新穎、奇巧，創(chuàng)造性強，能夠很好的解決數(shù)學不等式難題，2.3.1構(gòu)造幾何圖形部分不等式用基礎的代數(shù)方法驗證顯得比較復雜，假如能夠認清不等式的本質(zhì)特性，將不等式以幾何圖像的形式表現(xiàn)出來，將會使問題簡單化。圖形中能夠看出題設條件和數(shù)量的關聯(lián)，使人們能夠更直觀的發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論的本質(zhì)特征。這種證明方法具有形象、詳細、便捷的特點。利用幾何圖形構(gòu)造法證明不等式的關鍵是巧妙的畫出幾何圖形，用圖形來展示不等式的特征，經(jīng)常使用的幾何理論有：三角形的大邊對應的角最大，兩個點之間的距離最短的線是直線，對三角形的任意兩邊求和均比第三邊大。例10假設正數(shù)符合條件,求證：。求解：可認為，，代表3個長方形的面積，代表正方形的面積，圖1為構(gòu)造的3個矩形圖形。證明：如圖1，首先構(gòu)建一個正方形，假設，，，，，構(gòu)建矩形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。因為，求得圖1構(gòu)建幾何圖形的前提是明確代數(shù)式的幾何特性，通過分析列出的條件和不等式的代數(shù)量，將其轉(zhuǎn)換為一個圖形的變量，構(gòu)建出和條件相符的幾何圖形，再利用幾何圖形的特性來驗證不等式問題。所以，必須熟練掌握函數(shù)圖像、各種曲線圖，這樣才能在證明不等式時，能夠靈活運用。2.3.2構(gòu)造復數(shù)復數(shù)的特點是無大小之分，但復數(shù)的模型、虛項和實項均為實數(shù)，是有大小之分的，所以數(shù)的模型、虛項和實項一定存在某些不等關系，可通過復數(shù)構(gòu)造法來證明不等式，具體步驟為：先觀察不等式的特征和已知條件的關聯(lián)，再構(gòu)建復數(shù)，然后將其導入不等式中的復數(shù)模，再將模不等式轉(zhuǎn)換為常規(guī)的線段或無理不等式，如果不等式中有平方和或算數(shù)根時，一般使用復數(shù)構(gòu)建法，利用復數(shù)模的特征來驗證不等式結(jié)果．例11假定，，，求證：．求解：觀察求證公式結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)其與復數(shù)模的特征相似。證明：首先構(gòu)建復數(shù)模，，，則，，，，而，所以備注：復數(shù)構(gòu)造法的使用范圍較小，很多不等式都不能用復數(shù)構(gòu)造法求解，一般在公式中有算術根或平方根出現(xiàn)時，才會聯(lián)想到復數(shù)構(gòu)造法。2.3.3構(gòu)造定比分點假定、為直線上的任意兩點，點為直線上的任意一點，且不和，重合，那么實數(shù)取某個數(shù)值時，必定能使成立，則稱為分比值．可知，點是線段上的某一個點，；點出現(xiàn)在線段延長線上時，．假設直線為軸，，，對應的軸方向坐標分別為，，(這里)，那么當時，條件才會成立。如此，能夠巧妙的將不等式證明問題轉(zhuǎn)換為實數(shù)符號判定問題。例12求證：。分析：通過觀察分析采用判別式法求解比較便捷，假如，，是有向線段的任意3點，可利用定比值來計算內(nèi)、外分點，進而獲取求證結(jié)果。證明：假定，，分別用點，，代替，為分有向線段比值，可得：，求得，或無解，因此點并非的外分點；若，；若，則；若無解，則．綜上分析可得。2.3.4構(gòu)造主元，局部固定有些不等式比較特殊，如果從宏觀角度著手很難，且結(jié)論和條件中的變量較多時，可將某一變量作為主元，確保該變量值不變，通過主元來一步步驗證不等式。步驟為：先確實某項變量不變，再分析其他變量和結(jié)果的變化，最后驗證宏觀問題的結(jié)果。例13假定，函數(shù)，求證：若，則。思路：遇到這種不等式，一般可用絕對值放縮法進行證明，也可換一種思路，運用主元構(gòu)建法，把當作主元，將函數(shù)當作一次函數(shù)進行計算，可將原命題轉(zhuǎn)換成：一次函數(shù)的最值大于等于。證明：假定，，若，則時，．證得成立。若，則可看作的一次函數(shù)，因此需要求證。由于，求得，；算得，因此，。求得，即。2.3.5構(gòu)造概率模型概率論是數(shù)學的一門獨特理論，能夠闡釋隨機現(xiàn)象，這種理論比較全面，驗證方法新穎，和其它學科有很大的關聯(lián)。所以當遇到相關的數(shù)學不等式問題時，如果能夠以題設條件為基礎，構(gòu)造出合適的概率模型，可將復雜的數(shù)學問題簡單化，便于驗證。這種求解方法的重點是尋找合適的概率模型，如果運用得當，它可以從不聽角度反映問題的本質(zhì)特征和數(shù)學的內(nèi)在關聯(lián)，使人豁然開朗。例14設，求證：。思路：分析得，從條件可推理，．因此可證明，或證明成立即可，可看出用概率模型構(gòu)建法驗證不等式更便捷。證明：假定和是兩個互不關聯(lián)的項，若，，則，得到．，所以，．算得，求得．如果不等式包含與，可根據(jù)概率特性對和加法方程或來求證，重點是求證式必須滿足概率加法公式的條件。2.3.6構(gòu)造方差模型方差(這里=，，，的平均數(shù))，可體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)中的某一個量的波動情況，方差公式為：分析得：(當且僅當時公式中的等號成立)，通過方差構(gòu)造來變換公式，能夠快速發(fā)現(xiàn)多個實數(shù)總和與其平方和之間的關聯(lián)。例15已知，證明：．證明：若原不等式左邊之和等于（），可求得，，，的方差為：，（）故．因為不存在，所以上式不存在相等關系。即時，證得原不等式成立。利用方差特性，構(gòu)建方差模型，能夠使無理不等式簡單化，為后續(xù)的論證提供便利。2.3.7構(gòu)造數(shù)列在解不等式時，通常會發(fā)現(xiàn)公式中包含多種變量，若能找準題目設定條件的性質(zhì)，把部分變量轉(zhuǎn)換成數(shù)列項，那么可利用數(shù)列中項的特性來梳理變量之間的關系，達到求解目的，可巧設等差或等比數(shù)列，把不等式所包含的某種或某幾種變量用公差或公比代替，此時多元不等式可轉(zhuǎn)換為一元不等式，使不等式證明變得更加容易。部分不等式中包含自然數(shù)元素，若把這些和自然數(shù)關聯(lián)的變量轉(zhuǎn)換成數(shù)列項，通過數(shù)列構(gòu)建法，利用數(shù)列的特性來證明不等式。例16求證：．思路：此為證明不等式的一道題目，如果學生的思維一直停留在不等式領域，就不能很好的解決問題，可從不同角度對其進行分析，發(fā)現(xiàn)其和自然數(shù)的性質(zhì)有關，由此，我們發(fā)現(xiàn)了求解它的兩種方法，即數(shù)列構(gòu)造法、數(shù)學歸納法，這里我們用數(shù)列構(gòu)造法求解，為某一數(shù)列。證明：設，則=求得，，．征得原不等式成立。2.3.8構(gòu)造向量向量具有圖形和數(shù)列相互轉(zhuǎn)換的特性，它能夠有效的將數(shù)列和圖形相結(jié)合，在證明部分不等式時，如果能掌握不等式的結(jié)論和條件性質(zhì)，巧妙的將其和向量關聯(lián)，使用向量的特性，如數(shù)量積公式，能有效的將復雜不等式求解變?yōu)槭熘那蠼?，降低了求解難度。例17條件，，求證：。證明：設，，則，，。由，得向量構(gòu)造必須建立在不等式的結(jié)構(gòu)特征基礎之上，要把握好構(gòu)造技巧。2.3.9構(gòu)造函數(shù)函數(shù)能夠體現(xiàn)各變量之間的變化關系，能直觀的揭示各變量之間的大小關系，在構(gòu)造函數(shù)時，我們常會用到二次函數(shù)最值特性、函數(shù)的線性特性和函數(shù)的單調(diào)特性，若能分析出命題的條件和不等式結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，巧妙的構(gòu)建函數(shù)，能夠使復雜的不等式變簡單。使用函數(shù)構(gòu)造法來證明不等式之間，首先要設立合適的函數(shù)模型，把需要證明的不等式轉(zhuǎn)換為函數(shù)關系的不等式，尋找某一函數(shù)解析式中各變量的關系，進而求得函數(shù)解析式。（1）一次函數(shù)模型已知一次函數(shù)的圖形，若,，那么時，一直成立。這種一次函數(shù)的這種特性叫做保號性，利用這種性質(zhì)能夠巧妙的證明相關的不等式。例18令、、，求證:。思路：現(xiàn)將不等式轉(zhuǎn)換成，算得，可發(fā)現(xiàn)這是一種和相關的一次函數(shù)式。證明：利用函數(shù)構(gòu)造法，令，若、、,則.由于，，因此,一次函數(shù),若，則函數(shù)圖像必定在軸的正數(shù)方，可知，當、、時，算得，即。以上案例可發(fā)現(xiàn)，用一次函數(shù)構(gòu)建法證明不等式的過程，可分為以下幾個步驟：①移動部分項，使不等式的右邊=0；②對不等式左邊的解析式進行整理，轉(zhuǎn)換成有關變量的一次式；③首選確定的取值范圍，計算與的大小，發(fā)現(xiàn)當時，的符號確定，得出不等式求證結(jié)果。利用一次函數(shù)特性證明不等式，就是把某個不等式求求解轉(zhuǎn)換成解析式固定，變量的最值求求解，將復雜的公式簡單化。（2）構(gòu)造二次函數(shù)觀察并分析所證不等式的條件和結(jié)論特性，巧妙構(gòu)建二次方程，利用二次方程的判別式性質(zhì)來完成不等式的求解。則一直成立的必要條件為，，利用函數(shù)的等價特性，我們可先將不等式轉(zhuǎn)換，得到二次函數(shù)的判定公式，從而進行求解。例19令，求證：。思路：結(jié)論轉(zhuǎn)換為，將公式左邊看成主元為的二次函數(shù)（），然后進行驗證。證明：設，由，可知。構(gòu)建二次函數(shù)。算得對稱軸。（1）若，時，f(x)在(0，)上的數(shù)值不斷減小。算得=0（2）若，算得，可得以上可知，當時，一直成立,證得不等式成立。2.4數(shù)學歸納法在數(shù)學命題中發(fā)現(xiàn)含有n個自然數(shù)，假如：（1）當n取值為時，為使條件成立的整數(shù)最小值，可求證公式成立；（2）當n取值為k時，k為正整數(shù)，且大于等于，條件成立，可證時，公式成立。以上可確定，n為自然數(shù)時，該數(shù)學命題能夠一直成立，此論證方法為數(shù)學歸納法。例20求證不等式(n∈N)．證明：①令n=1，求得公式左邊值為1，右邊值為2．左邊小于右邊，不等式得證。②令n=k，不等式仍然成立，得．則令n=k+1，得。說明當n=k+1時，不等式仍然成立，當n為自然數(shù)時，該數(shù)學命題能夠一直成立，備注：求證重點是，當n=k+1時，需要證明的命題是：，將假設自然數(shù)代入，可證：。2.5幾何法利用數(shù)形關系,掌握代數(shù)(三角)與幾何的知識和方法,把一部分代數(shù)(或三角)不等式轉(zhuǎn)化為幾何問題,例如運用“兩點間以連接這兩點的直線段為最短的連線”、“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形大角對大邊”等幾何結(jié)論,證明不等式往往會比較方便,反之有些幾何不等式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)或三角問題,迅速得到證明。例21已知是一個小于1的正數(shù),證明證明：作邊長為1的正方形,并用將他劃分為四個矩形,使,則可根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊的道理,得到,（1）（2）（1）+（2）即得3中學不等式的求解技巧3.1不等式的反證求解技巧反證方式在解答不等式中使用得比較廣泛，其是在正難則反的基礎上形成的，將其使用在中學數(shù)學不等式的證明問題中有著很好的效果。反證能夠?qū)Σ坏仁较嚓P的問題進行證明，讓整個證明的過程更加的簡單和便捷，以此來讓不等式問題的解答更加高效。就以下面這道題目為例子：例22現(xiàn)在已知a+b+c＞0，abc＞0，ad+bc+ac＞0，請將以下a＞0，b＞0，c＞0進行證明。解析：通過對題目內(nèi)容的詳細分析，我們可以知道的是abc＞0，依據(jù)這個條件獲得的信息就是a、b、c都不可能是0。若是a＜0，bc＜0，所以a+b+c＞0，而b+c＞-a，最終就能夠得出a（b+c）＜0，而ab+bc+ca+a（b+c）+bc＜0，但是因為ab+bc+ca+a（b+c）+bc＜0這一條件本身與題目中的條件相互矛盾，所以這個假設是不成立的。因此，a＞0，并且b＞0，而c也大于0。在對這種不等式的問題進行證明和解答的時候，通常是使用一般的證明方式進行，其解答的過程也相對復雜，在解答的時候也容易發(fā)生一些失誤而導致求解效率不高。因此，通過這種反證的方式反而會讓整個求解過程更加的簡單，同時也能夠有效的提升不等式問題的解答效率。3.2不等式的換元求解技巧在對數(shù)學問題進行解答的時候，將其中的一個式子作為一個整體，使用一個變量將其替換，以此讓問題更加的簡單，這種方式就是換元法。換元的根本是在于轉(zhuǎn)化，其中最重要的是構(gòu)建元和設置元，換元法是在等量代換的基礎上延伸的，其目的是將研究對象進行變換，把問題轉(zhuǎn)移到新對象知識背景中進行分析，以此來讓非標準的問題標準化，將復雜的問題簡單化，讓問題的解答更加簡單。換元法也可以稱之為輔助元素法，經(jīng)過對新的變量進行引進，能把將分散條件綜合在一起，將隱含其內(nèi)的條件呈現(xiàn)出來，或者也能將條件與結(jié)論結(jié)合在一起，使其形成我們最熟悉的一種模式。換元法的方式有局部、三角和均值三種方式。局部換元是在已知或者是未知背景中，其中某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，使用一個字母將其替代來對問題進行簡化，有時候需要經(jīng)過變形之后才能發(fā)現(xiàn)。比如在對4x+2x-2≥0這個不等式進行解答的時候，可以現(xiàn)將其變形，設2x=t，其中t大于0。通過這種我們比較熟悉的一元二次不等式可以進行正確的解答。而三角換元主要是使用在去除根號中，或者是將其變換成為三角式，以此將問題簡化，主要是使用一直的代數(shù)和三角知識中的某個聯(lián)系進行還原。換元法的運用能夠讓不等式問題的解答過程更加簡單，就以下面這道題為例子：例23現(xiàn)在已知a>b>c，請試著證明：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)解析：令x=a-b，y=b-c，則a-c=x+y且x>0，y>0，因為原不等式轉(zhuǎn)化為：1/x+1/y≥4/(x+y)因此，只要證明：(x+y)/x+(x+y)/y≥4，1+y/x+1+x/y≥4，并且證明y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立，這樣原始式子1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)就能夠得到正確的證實。在這道題的解答過程中，通過對換元法的使用，可以化簡、化熟命題，把復雜的、不熟悉的命題化為簡單的、熟悉的命題。這樣就讓整個求解過程更加的高效。3.3用不等式性質(zhì)解答不等式使用不等式的相關性質(zhì)對不等式問題進行解答是最基礎的方式，在對中學不等式進行解答的過程中，很多題目經(jīng)常會需要使用到不等式性質(zhì)。例如不等式自身存在的傳遞性，也就是如過a＞b，b＞c，則a＞c。第二個總之是不等式有可加性，比如a大于b，則a+c＞b+c；第三個特點是如果a大于b，c大于0，則ac大于bc，以上這些都是不等式所存在的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)對不等式問題進行解答也十分的有效。就以下面這道題為例：例24有n個圓，其中每2個圓都相交于兩點，而每3個圓都不相交于同一個點，試證明這n個圓將平面分成f（n）=n2-n+2個部分。解析：這道題證明可以使用數(shù)學歸納法，在n=1的時候，一個圓將平面分為兩個部分，也就是f（1）=2，在n=1的情況下，n2-n+2=2，所以命題成立?；蛘?/p>