垂直與弦的直徑

關(guān)于垂直與弦的直徑垂徑定理

定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)垂徑定理與推論可知：對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：

那么，由五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論。①經(jīng)過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧?！馩ABCDM└第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天垂徑定理及推論●OABCDM└條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（2）平分弦的直線，必定過圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。

ABCDO(1)ABCD

O(2)ABCD

O(3)第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。

ABC

O(4)ABCD

O(5)ABCD

O(6)E（7）平分弦的直徑垂直于弦

第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天填空：1、如圖：已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若_____________________________________________________，則CE=DE（只需填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）2、如圖：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，則O到AB的距離是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCB。OAB第1題圖第2題圖AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）24H第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天選擇：如圖：在⊙O中，AB為直徑，CD為非直徑的弦，對(duì)于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所對(duì)的弧。若以其中的一個(gè)為條件，另兩個(gè)為結(jié)論構(gòu)成三個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAA第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1.平分已知弧AB.你會(huì)四等分弧AB嗎?AB第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天問題2(1)如圖,已知⊙O的半徑為6cm,弦AB與半徑OA的夾角為30°,求弦AB的長(zhǎng).OAOCABM(2)如圖,已知⊙O的半徑為6cm,弦AB與半徑OC互相平分,交點(diǎn)為M,求弦AB的長(zhǎng).630°EB第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例1、如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天（3）.如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為10米，橋拱的跨度AB=16米，則拱高為

米。AB·CD4O第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：半徑為５的圓中，有兩條平行弦AB和CD，并且AB=６,CD=８，求AB和CD間的距離..EF.EFDABCO(2)ABDC(1)O做這類問題是，思考問題一定要全面，考慮到多種情況.第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天挑戰(zhàn)自我1.如圖，⊙O

與矩形ABCD交于E,F,G,H，AH=4,HG=6,BE=2.求EF的長(zhǎng).·ABCD0EFGHMN462第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天船能過拱橋嗎?例3.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是的中點(diǎn),CD就是拱高.由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1.過⊙o內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10㎝,最短弦長(zhǎng)為8㎝,那么⊙o的半徑是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直徑CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距離等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圓心O到AB的中點(diǎn)C的距離為1㎝,那么⊙O的半徑為4.如圖,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分別為M,N,且OM=2,0N=3,則AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．求證：四邊形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600CD知識(shí)延伸第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的油面寬AB=600mm，求油的最大深度.BAO600?650DCED┌

600CD第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天E小結(jié):

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天再見第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天2、在直徑為650毫米的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB＝600毫米，求油的最大深度.實(shí)際問題1、已知：⊙O的半徑為6厘米，弦AB與半徑OA的夾角為30°.求：弦AB的長(zhǎng).第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天試一試駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）√

√第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長(zhǎng).OABCDEF第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1．已知⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，則AB和CD的距離為

．2．如圖，已知AB、AC為弦，OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，BC=4，求MN的長(zhǎng)．2或14．ACOMNB提高練習(xí):第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天3.在⊙

O中，直徑CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求⊙

O的半徑.

ABCDEO第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1.過⊙o內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10㎝,最短弦長(zhǎng)為8㎝,那么⊙o的半徑是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直徑CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距離等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圓心O到AB的中點(diǎn)C的距離為1㎝,那么⊙O的半徑為4.如圖,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分別為M,N,且OM=2,0N=3,則AB=,AC=,OA=.BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm練習(xí)第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天OCDAB2.如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，弦AC=8，D是AC的中點(diǎn)，連結(jié)CD，求CD的長(zhǎng).E⌒第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天3.如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，拱高為4m，求拱橋跨度AB的長(zhǎng).

4.一條排水管的截面如圖所示已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16.求水深.DE第30