大數(shù)定律與中心極限定理

關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律背景1.為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計？2.為何能以樣本均值作為總體期望的估計？3.為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？4.大樣本統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)是什么？第2頁,共35頁，2024年2月25日，星期天1.切比雪夫不等式

設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=

,方差D(X)=

2,則對任意的正數(shù)

，不等式或成立.第3頁,共35頁，2024年2月25日，星期天利用切比雪夫不等式可以估計一些隨機事件的概率。例1設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈，夜晚每一盞燈開燈的概率是0.7，假定開、關(guān)時間彼此獨立，估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率解設(shè)X表示在夜晚同時開著的燈的數(shù)目，它服從參數(shù)為n=10000,p=0.7的二項分布，則有而用切比雪夫不等式估計E(X)=np=7000,D(x)=np(1-p)=2100P(6800<X<7200)=P(|X-7000|<200)>0.95使用切比雪夫不等式只能得到事件的大致概率，能否得到其較精確的概率呢？這就要用到中心極限定理第4頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2.大數(shù)定律

定義1

設(shè)Y1，Y2，，Yn，,是一隨機變量序列，a為一常數(shù).若對任意給定正數(shù)

>0,有則稱隨機變量序列Y1,Y2,,Yn,,依概率收斂于a．

定義2

設(shè)X1，X2，，Xn，是一隨機變量序列.若存在常數(shù)列{an}使對任意給定的正數(shù)

，恒有,則稱隨機變量序列{Yn}服從大數(shù)定律．第5頁,共35頁，2024年2月25日，星期天注意：第6頁,共35頁，2024年2月25日，星期天切比雪夫大數(shù)定理

若X1，X2，，Xn，，為獨立同分布隨機變量序列,E(Xk)=

D(Xk)=

2(k=1,2,…)，則對任意的正數(shù)

>0,有或第7頁,共35頁，2024年2月25日，星期天注意第8頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證明:（利用切比雪夫不等式）根據(jù)已知條件由切比雪夫不等式，有又所以第9頁,共35頁，2024年2月25日，星期天伯努利大數(shù)定理設(shè)nA為是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率,則對任意的正數(shù)

>0,有或第10頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證：設(shè)由切比雪夫大數(shù)定理,有所以

即那么相互獨立，且服從參數(shù)為p的0—1分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p).第11頁,共35頁，2024年2月25日，星期天辛欽大數(shù)定理

若X1，X2，，Xn，，為獨立同分布隨機變量序列,E(Xk)=

(k=1,2,…)，則對任意的正數(shù)

>0,有或第12頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)中心極限定理設(shè){Xn}為獨立隨機變量序列，記其和為問這個和的極限分布是什么？第13頁,共35頁，2024年2月25日，星期天1.獨立同分布中心極限定理

若X1，X2，，Xn，，為獨立同分布隨機變量序列,E(Xk)=

D(Xk)=

2(k=1,2,…)，則隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化量的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足第14頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例2每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?解：設(shè)箱中第i袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.第16頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2.李雅普諾夫中心極限定理

若X1，X2，，Xn，，為獨立隨機變量序列,，若存在正數(shù)，使當(dāng)時，則隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化量Zn的分布函數(shù)Fn(x)對于任意x滿足第17頁,共35頁，2024年2月25日，星期天說明：中心極限定理表明無論各隨機變量Xk(k=1,2,)服從什么分布，只要滿足定理的條件，那么他們的和當(dāng)n很大時，就近似服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機變量在概率論中占有非常重要地位的一個基本原因第18頁,共35頁，2024年2月25日，星期天3.棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理定理表明：二項分布的極限分布是正態(tài)分布，即

設(shè)隨機變量服從參數(shù)為n,p的二項分布，則對任意x，有第19頁,共35頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)中心極限定理注第20頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例3解：所以第21頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例4(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.7,并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力15千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?解供電所至少要供給這個車間x千瓦的電力,才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).以X記200臺車床在同一時間段內(nèi)開動的臺數(shù)，則由已知條件X服從參數(shù)為200，0.7的二項分布，于是由棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理有第23頁,共35頁，2024年2月25日，星期天即供電所至少要供給這個車間2392.6千瓦的電力.第24頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

例5對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立，且服從同一分布.(1)求參加會議的家長人數(shù)X超過450的概率；

(2)求有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率.第25頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解

(1)以Xk記第k個學(xué)生來參加會議的家長人數(shù)，則由已知條件Xk的分布率為Xk012P0.050.80.15可以計算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，，400.由獨立同分布中心極限定理，得第26頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(2)以Y記由一名家長參加會議的學(xué)生人數(shù)，則Y服從參數(shù)為400，0.8的二項分布.于是由棣莫弗——拉普拉斯中心極限定理，得從而有1名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率約為0.9938.第27頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例6在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.(1)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?(2)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.

設(shè)，k=1,2,…第28頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解（1）設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理第29頁,共35頁，2024年2月25日，星期天欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.第30頁,共35頁，2024年2月25日，星期天（2）在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09即第31頁,共35頁，2024年2月25日，星期天=0.6826即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.第32頁,共35頁，2024年2月25日，星期天思考題1.甲乙兩電影院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每位觀眾在選擇時隨機的，且彼此相互獨立，問甲至少應(yīng)設(shè)多少個座位，才能使觀眾因無座位而離去的概率小于1％？2.根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.第33頁,共35頁，2024年2月25日，星期天3.電視臺需作節(jié)目A收視率的調(diào)查.每天在播電視的同時,隨機地向當(dāng)?shù)鼐用翊螂娫捲儐柺欠裨诳措娨?若在看電視,再問是否在看節(jié)目A.