2017年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ）

2017年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新評標I）

一、選界本大意共12小題，每小題5分,共60分.在年小題給出的四

個選項中,只有一項是符合愿目要求的.

1.（5分）已知集合A?（xxVl},B=（xl3"V?,則《）

A.AAB=|x；x<0lB.AUB=RC.AUB={xx>l}D.ACB=e

2.（5分）如圖.正方形ABCD內的圖形來口中國古代的太極圖.正方形內切園

中的黑色部分和白色部分左門[方形的中心成中心對稱.右：1"形內隨機取

?點.則此點取白黑色部分的概率是（）

3.（5分）設芍下面四個命題

P1：若攵散Z滿足上任乩則ZWR：

Z

P2；若比數Z滿足Z2WR,財Zb;

P3：若發(fā)數Z”Z2滿足gWR，艮九產石：

P4：若復數zWR,則^WR.

其中的真金咫為（）

A-PJ.pjBpvP*C.pj.paD.P2?p4

4.<5分）記S?為等差數列（an-的前n項和一若a「a/24.又=48.則5}的

公差為（）

A.1B.2C.4D.8

5.（5分>函數￡（x）在（-3,+?>）單洲遞減，JL為奇函數.若f（D=-

1,則涓足7Wf（x-2）<1的x的取值范慣是（）

A.[-2.2jB.[-1.1]C.[0.4jD.[1,3]

6.（5分）（卜-與）（l'x）6展開式中/的系數為（）

A.15B.20C.30D.35

7.<5分）某名而體的二視圖如圖所小,其中正視圖和左祀圖都由正方港和等

腰面用三角形組成，正方形的邊長為2.循視圖為等腰口角三角形，諜參

面體的各個面中有若T個是梆形，這些梯形的血枳之利為（）

A.10B.12C.14D.16

8.15分）M圖程序框圖是為了求出滿足3n-2">1000的最小偶數n.那么在

。〉和I—I兩個空白框中,可以分別填入《）

/婆〃/

A.A>1000和n?n+1B.A>1000Hlnun-2

C.A^IOOO和n=n'lD.AW1000和n=n^2

：爺），則下面結論正確的

9.（5分）已知伸線J：y=cosx.Jy=sin（2x

J

是（）

A.把J上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱小標不變，再把用利的前線

向右平移衛(wèi)■個單位長度，得到曲線C?

6

B.把JI：牛點的橫坐標伸長到原來的2倍.縱碓標不變,再把用到的曲線

向左平移需個取位長度,徹到田I線C?

A4

C.把J上各點的橫坐林縮知到原來的5倍，鍬坐標不變,再把得利的曲線

向右平不印個胞位長度,得到曲線C?

0

D.把aI*點的橫坐標縮短到原來%倍.加坐標不變,再把用到的曲戰(zhàn)

向左平和2個胞位長度，得到曲線C?

10.（5分）E知F為拋物線C：Yz=4x的焦點.過F作兩條互相垂宜的I"戈Ip

h.我找h與C交"fA、B兩由.直紋L與C交于D、E兩點,EAB+DE

的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

11.《5分》設K,y,z為正數，IL2*=3*=5r.則（

A.2x<3y<5iB.5z<2x<3yC.3y<5i<2x03y<2x<5i

12.（5分）幾位大學4：響應國'京的創(chuàng)業(yè)號口，開發(fā)了?款應用軟件.為激發(fā)大

京學習數學的興觀,他們推出「解數學即援取軟件激活碼”的活動.這款軟

件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列】，1,2.1,2.4,1.

2,4,8.1.2.4.8.16.…，其中第一項是20,接下來的兩項

是2。.21再接下來的三項是2°.21,23.依此類推一求詢足如下條件

的最小整數N：N>100吐該數列的前N項和為2的整數麻.那么該款軟件的

激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

二、填空題?本?共4小?，每小*5分，共20分.

13.15分）已知向量5的夾角為601a=2.b=1,則ErE=.

x+2y<l

14J5分）設x.y滿足約束條件2"y>-l.則z=3x-2丫的最小值為.

x-y<0

22

15.（5分》L1知雙曲線C：1<a>0.b>0>的右項點為A,以A

b2

為回心,b為半徑作股1A,歐IA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩J工若

ZMAN-60-.則C的離心率為.

16.（5分）如圖，圓形紙片的圓心為。，￥杵為5cm,該紙片上的等以三角

杉ABC的中心為。.D、E、F為團）。上的點，ADBC,△ECA.△FAB

是以BC.CA.AB為底邊的等腰二角形.沿虛伐剪開后,分別以BC.CA.

AB為折痕折起△DBC.AECA.AFAB.使捋。、E、F也介，得到三?；?

當/XABC的邊K變化時,所得三棱僚體枳（單位：cm9的懸大值為.

三、解答麟共70分.解答應寫出文字說明、證男過程或演算步或第17?21

?為必考?,每個試?考生都必須作答.第22、23?為選考■，考生根據

旻求作答.

17.（12分）ZSABC的內角A,B,C的時邊分別為a,b.c,已知Z\ABC

的面枳為金r

3sinA

（1）求sinBsinC：

（2）K6cosBcosC=1.a=3.求△ABC的周K.

18.（12分）如圖，在四棱鍍P-ABCD中，AB7CD,且/BAP=NCDP=90,

（1）證明：平曲PABJ_￥fMPAD：

?2）KPA=PD=AB=DC.ZAPD=90*.求二面角A-PBC的余弦位.

p.

19.（12分）為了監(jiān)控某種零件的條生產線的生產過程,校驗員好天從該生

產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（胞位：cm）.根據長期生產經

臉，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布NR.

的.

（1）假設生產狀態(tài)正常,記X表小天內抽取的16個零件中其尺寸在（口-3°.

-3。》之外的容件數.求P（X2D及X的數學期卬：

（2）一天內抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在（U-3。，23。）之外的零件，就

認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)「異常情況,需時當天的生產

過程進行檢在.

<i）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性.：

（ii）下面是檢雎員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.22100410.059.95

經計餌得■星看千「產9.97,s=出￡（%彳產=拈（￡XJT6,2產0.

212.其中X,為抽取的第1個等件的尺寸,i=1.2.一，16

??

用悻本平均數7作為u的估計值用樣本標準差S作為。的估計值o.HHJ

估計俏判斷是否需對當天的生產過程進行檢今？別除（U-3j,n*3o>

之外的散裾，用剌F的數據侑計M和。（精確到0.01）.

附:若隨機變量Z0R從1E態(tài)分布分內O2）,W1P（p-3a<Z<p-3o）=0.9974.

0.9974ls*0.9592,VO.008^=0.09.

20.（12分）已知閘界C：1（a>b>0）,網點內（1,13P,'0.

ab

1）.PJ（-1.爭,P?<L乎）中恰有三點在橢圓C上.

<1）求C的方程：

（2）設直線I不運過Pe點旦*jC相交于A,B兩點,若口戰(zhàn)P?A萬直段P汨的

斜率的和為-1.證明，I過定點.

21.（12分）已知函數f（x>=ae"+（a-2>e*-x.

（1）討論f（x）的般調性；

<2）若f（x）有兩個零點,求a的取值位用.

［選修4.4,坐標系與套數方程］

22.(10分)在巨角坐標系xOy中，曲我C的參數方程為:.為

ly=3inW

按效).直線I的參數方程為(廣.代.(t為參數》.

(1)若@=-1.求ChH的交點.坐標：

(2)若C上的點到I年宙的最大值為何，求a.

［選修45,不等式選講〕

23.已知函數f(x)--x?ax?4,g(x)?x*ll*x-1.

(I)^13=101.求不等式f(x>Ng3)的解集：

(2)若不等式f(x>云B(x)的制集包含［7.11,求a的取值范圍.

2017年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標I）

一、選押題I本大題共12小題，每小題5分，共6。分.在每小屆始出的四

個地項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合A={xxVl}.B=（x|3*<l}.IW（）

A.ACIB=（xx<01B.AUB=RC.AUB=xx>lD.ACB=H

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】11：計算咫：37：集合思思：40；定義法；5J；集合.

【號點別析】先分別求出集合A和8,再求出ACIB和AUB,由此能求出結果.

【解答】的:?集令A=（xx<lj.

B=（x3M<1I=lxx<0l.

.,.AOB-lxx<0,故A正確.D?誤：

AUB={xX<1}.故B和C都錯誤.

故選：A.

【點評】本期號寅交集和并集求法及應用，是菸礎應，解密時要認真審期.注

意交集、并案定義的合理運用.

2.（5分）如圖,1E方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切181

中的黑色部分和白色部分美:止方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取

一點，則此點取自黑色部分的概率是<）

【考點】CF:幾何概中.

【斤題】35:轉化思想；40：定義法?51:微率馬境計.

［琴點剖析】根據圖&的對稱件求出黑色圖彩的面積，結合幾何微型的概率公

式進行求解叩可.

【解答】解：根據圖象的對稱性知.黑色部分為假面枳的?半,改制的半徑

為3則正方形的邊長為2?

則黑色部分的面枳5=-y.

71

則對應概率p=2=2，

48

故選：B.

【點評】本也主要芍食幾何微型的概率計算，根據對稱性求出黑色陰影部分的

面積是解決本期的關鍵.

3.15分）設仃卜面四個命題

P）：若復數Z涵足工信8則26R:

Z

P2：若復數Z滿足/WR,則ZWR；

p3：若比數Z1，z?滿足ZjZzSR,則Z產W：

P4；若更數zWR,則zWR.

其中的真命髭為（）

A.pi.piB.pi，p?C.pa?pjD.pj，P*

（看點］2K：命即的克假判斷與應用：A1：由數單位i、電數：A5：比數的

運算.

【專題】2A：探究型：51:簡易邏輯：5N:數系的擴充和更數，

【考點劑析】根據發(fā)數的分類，有復數性域.遂一分析給定四個命尊的真假.

可得答案.

【解答】解：若處數z滿足工GR,則ZGR.故命即小為真命題：

Z

P2：狂數Z=i滿足4-1CR,則Z0R.他命超Pz為假命巡:

p3：苔攵數z*=i.zz=2i滿足gWR.1Hz嚴石，故俞起p,為線命出

z：若發(fā)也，￡%則G=ZCR.故命題p,為其命題.

故選；B.

【點評】4、題以命題的真假判斷與應M為載體，號直了基數的運算.身教的分

關,發(fā)數的運莫性質，睢院不大，履F基礎題.

4.45分）0Sn為等空數列｛aj的前c項和-心a「a5=24,又=48.則4｝的

公淹為（）

A.1B.2C.4D.8

【當點】84：等差數列的通頂公式：85：等差數列的前n項和.

【專咫】1L計算理，34：方程也想：40：定義法：54,等差數列與等比

數列.

【導點剖析】利用等差數列通項公式及前n項和公式列出方程組.求出首項和

公差.由此能求出（aJ的公差.

【解答】解：???治為等常數列E,，的前n項和，34-35=24.$6=48.

aj+3d+8,+43=24

解得a產-2.d=4,

，&1的公差為4.

故選：C.

【點評】木題考農等第數列公式的求法及應用.是基的題，解題時要認真布題.

注意等卷數列的性質的合理運用.

5.（5分＞函數￡（x）在（-??.+8）單濾遞減,H.為奇函也若f（D=

1,則滿足-iWf（x-2）＜1的x的取值范旭是（）

A.[-2.2jB.[-1.1]C.[0.4jD.[1,3]

【存力】3P：抽象函數及其應用.

【專題】35:轉化思想；4R：轉化法?5h函數的性質及應用.

【琴點剖析】由已知中由數的單調性及奇爵性，可將不等式-iSf。-2)41

化為-1SX-24L解得答案.

【解答】解：:函數f{x}為奇曲數.

若f(D--1,Wf(-1)-1.

乂：函數f(x)布(?a.tb)單調遞減，-l<f(x-2)<1.

Af(1)Wf(x-2)<f<-1),

「.?IWx-2W1,

解得，xe[i.3],

故選：D.

【點評】本題考杳的知識點是抽象函數及其應用,諉數的雄調性，函數的奇偶

性，碓度中檔.

6.(5分)(卜3)(1”)6展開式中/的系數為()

A.ISB20C.30D35

【考點】DA：二項式定理.

【專題】35：轉化思想；4R；活化法.

[考點例析】直接利用二項式定理的通項公式求髀即可.

【解答】解：<VX)弓展開式中：

X

若(1々)=(1+X")提供常數項1,則(1-X)6提供含有/的項.可用展

開式中X，的系數：

?7(l^y)提供X”項.則(1+X>6提供含有/的J■頁.可得展開式中M的系

數：

由(1+x)6兩項公式可得c^r.

口J知r=2時，可待展開式中XWJ系數為或二16

“J知r=4時，可得取開式中*的系數為。=1S

eg⑴x)6展開式中1的系數為:15?15=30.

X

故選：C.

【點評】本題卜:嚶考古二項式定理的知識點，通項公式的靈活運用.Mr基礎

題.

7.(5分)某名曲體的三視圖如圖所小，K中正初圖和左初圖都由止方彬和單

腰包用三如形加成.正方形的邊長為2,飾祝圖為等便自加三角形.謨匕

面體的各個面中仃若干個是悌形.這些梯形的面積之和為()

B.12C14D16

【考點】LI：由三視圖求而根、體枳.

【專題】11：計算題：31：數形結合：44：數形結合法：5Q：立體幾何.

【考點剖析】由：視圖可得直觀圖,由圖形可知該立體圖中只有兩個相何的悌

彬的面，根據梯形的面枳公式il鴕即可

【解答】解：由三視圖可畫出直觀圖，

該立體圖中只有兩個相同的梯形的曲，

S.產A.X2X(2*4)=6.

2

??.這些樣形的面積之.和為6*2=12,

故選：B.

【點評】本題考查了體積il算公式,L暫了推理能力與計算能力.L干中檔題.

8.<5分）如圖程序楸圖是為了求出滿足3n-2”〉】。他的最小翎歌n.那么在

和匚二I兩個空白框中，可以分別嬉人《）

/情入*0?

4=rr

A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n-2

C.A^IOOO和n=nyD.A^IOOO<?ln=n-2

【考點】EF：程序推圖.

【專題】11:il算題：38：對應思崽：49:綜合法：SK：R法和程序框圖.

【考點剖析）通過要求A>1000時輸出乩框圖中在"否"時輸出確定.O?內

不能輸入"AAKXXT，進而通過倜數的特征峰定n-n+2.

【解捽】解：因為要求A>1000時輸出.M框圖中在"否"時輸出.

所以"、一”內不貸輸入“A>1000”,

又要求n為偶數，且n的初始值為0,

所以“I----------1”中n依次加2可保證其為偶故.

所以D選項滿足要?求.

故選：D.

【點計】本題號表程序桁圖，屬「選城國，意在丁大他分考生省分.

9.（5分）已知曲線C”y=cosx.C2:y=sin<2x-^-）.則下面結論正確的

是（）

A.把J上凸點的橫他林伸長到原來的2倍，縱用標不變,再把得利的曲線

向右平移。個胞位長度,得到曲線C?

B,把Ci上祚點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變,用把得到的曲線

向左平移僉個胞位長度.得到曲線G

C.把J上小點的橫坐標箱知到原來的,倍.W中標不變.種把得目的曲線

向右平畔個單位長度,得到曲綾J

O

D.把Ci上各點的橫坐標縮短到原耒嗚信，隊坐標不變,再把得到的曲線

向左平移專個單位長度，泡到曲線C?

［號點］HJ：函數v=Asin（u?x-4>）的圖象變換.

【專題】11：計算題；35；轉化患想；57：三角函數的圖像與性質.

［考點剖析】利用三角函數的伸縮變換以及平移變換轉化求解即可.

【解答】螃：把G上各點的橫坐標縮短到原來嗎倍，縱坐標不變.得刊函

教尸cos2x圖象，再把得到的曲線向左平/哈個小位長度.得到南數.cos2

（x+=）=cos（2x*-5->=sin（”+三二）的圖象.即曲線Q.

1263

故選：0.

[Aif]本題匕令用函數的圖St變換,橫導公式的應用，考什計算能力.

10.?S分）已知F為他物線C：y?=4x的住點，過F作西脩斤.相垂H的直線h，

In直域h與C交于A、B兩點,克4134c交于D,E兩點,MAB*DE

的段小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【考點】K8：翻物線的性質.

【專題】11;計算罔34:方程也想：4R：轉化法：5D：SS俄曲茂的定義、

性質與方程.

【考點剖析】方法r根據虺氤可判斷當A打D,B.E關rx軸時稱.即

內線DE的斜率為1.AB?DE卅小,根據強長公式計打即可.

方法二：設直線h的傾斜角為6,則b的微斜角為年地.利用焦點弦的孩

長公式分別&示出ABI.|DE|.整理求得答案

【耨谷】解，如圖，hlh,直線h與C交于A、B兩點.

比級b與C交于D、E兩點，

要使AB+DE域小，

則A與D.B.￡關fx抽時稱,即直線DE的斜率為1.

又直線h過點（1,0）.

則宜線h的方程為y=x?l,

,2

聯(lián)立方程組—則,-4y?4=0.

y=x-l

-'?Y1+YJ=4,Y1Y3=-4.

DE=小吃?|丫廣川=&X恁8,

AB-DE的最小值為2DE=16.

方法二：設直線h的幀斜角為&則1的幀斜用為;?a

根據焦點弦長公式叮得AB=2g=1

sin8sin'?

2P

cos2ecos20

416

:，AB，OE=-—?—^―

sin'8cos?8sin28cos26sin?28

?.'OCsir?28a

.,.當6=45?時.ABDE的最小，最小為16,

[AifJ本題考杳了拋物線的荷單性質以及ri線和加物戰(zhàn)的位^關系，芷長公

式，對了?過恁點的弦,能熟練掌握相關的結論,解決問咫事半功倍屬丁中

檔題.

11.(5分》設x.y.z為正數,112*=3*=SS則<

A.2x<3y<5zB,5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

【考點】72：不等式比較大小.

【專邇】35：轉化思坦：51：函數的性研及應用：59：不等式的解法及應用.

【考點剖析）x,y.2為正數，令2%即=5，=k>l.lgk>0.可用x=整.y=罟，

lg2lg3

1=捺可得3戶去'2“孤'年盤.根據/加>曾

貝』/>1%手版即可得出大小關系?

月髀：x、y、z為正數，令2'—k>l」gk>0.可用x=獸Y=密，x=

lg2le3

摧母9￡二擺“可得2x>3y.同理可得5z*

【解答】解：x.Y、z為正數.

>2*-3*-S,-k>l.lgk>0.

則小色,尸色，2BM

1（2lg3IgS

.\3y=」中??2x=Sz=

18^3M嫵

,??將%>海任g炯滬崛派.

???lg^3>lgV2>lgV5>0

.?.3y<2x<5z.

另W：x、y、z為正數，

令2三3丫=5*=k>l,lgk>0.

則x=普，產揩，z=獸.

lg21&3IgS

，衿4X-rl,罟>L可得2K>3V.

3y3U2lg8

衿-1-x44s可得5Z>2K.

2x2lg5}gs2

琮上可得：Sz>2x>3y.

解法一.：對k取特殊值，也可以比較出大小關系.

故選：0.

【點評】本題號查/對數函數的單闊性,換底公式、不等式的性質.號查了推

理能力與計算能力.屬f中檔髭.

12.（5分）幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號4.開發(fā)了款應用軟件.為激發(fā)大

家學習數學的興趣，他們推出廣髀■&學咫獲取軟件激活碼”的活動.這款軟

件的激活因為卜.面數學問題的脊案：已知數列1.1.2.1.2.4.1.

2.4,8.1.2.4.8.16....其中第一項是2°,接下來的兩項

是2°.2?,再接下來的三項是2°,2123.依此類推.求滿足如下條件

的母小夠數N：N>100H該數列的MN項和為2的挈數區(qū)那么該數軟件的

激活嗎是()

A.440B.330C.220D.110

【考點】8E：數列的求和.

【專融】35：轉化思想；4R；轉化法?54：等差數列與等比數河

［考點剖析】方法-?由數列的性質,求得數列hJ的通項公式及前n項和.

可知當N為時(nWN),數利用/的前N項和為數列bj的前n項

和.即為2C-n-2,容易得到N>100時.n^l4.分別判斷.即可求

得該款軟件的激活碼：

方法二：由題意求得數列的幅一廝.及前n項和5*2，「2-n,及項數，由

期意可知：2c1為2的整數石.只需將-2-n消去即可，分別即可求得N

的值.

【解答】薪，設謨數列為匕/，設片a6Dn+~+、S+l)=2。一1.(n

-2-**-2-

n(n+l)

n~~

€N),則￡bx-￡a..

i=li*l

由虺意可設較列國；的前N項和為Sz.數列的前n項和為Tc，財T/2一

1?2J-l?...*2n,-1?2n}-n-2,

可知當N為喈D時(nEN.).數列l(wèi)a/的前N項和為數列hd的前n項和.

即為2心2,

容易得到N>100時，n214.

AJ?.由理工3Q=435.440=435+S.可知S“o=TjvM=2"-29-2-2S-1=2嗎

2

故A項符合胭意.

2bs26

B項.仿上可增r2a325.可知S3?o=TJ5-bs=2-25-2+2-1=2+4.顯

2

然不為2的整數幕，故B項不符合題意.

aWiJ10

C項，仿上可折絲算210.可知S2rt?T?*b10-2-20-2*2-1=2*2

-23,顯然不為2的弟效'幗,故C項不符合超電：.

4

D項，位上可知】/3=105,可知5”0=「4+%=2形-：14-2*23-1=2”，15，H

然不為2的整數墓.故D項不符合題意.

故選A.

20.212°.21.22

方法：：由腥意可知：蹲一項?

第三項

2°.21.22.211

第n項

根據等比數列前n項和公式,求得每項和分別為：21-!.21-1.23-1........

每項含有的項數為：1.2

(l+n)n

總共的項數為N:卜2?3,...?ns

~2~

所有項數的和為Snt21-1+2?-1+23--1=(2"2W.-2")-n=

絲/…2f

1-2

由虺意可知：2c為2的修數案.只需將-2-n消去即可，

則①上2+-2-n)=0,解得：n=1,總共存叫三1+2=3,不滿足N>

100.

②1+244-2-n)=0,解得：n=5,也共有生羅工3=18,不滿足N

>100.

③1+2S8(-2-n)=0.解%n=13.總共有工、；二，4=95.不演

足NA100,

@1+2^4-8+16+<-2n)=0.解得：n=29.總共有幺絲好22+5=440.渦

足N>100,

J.該款軟件的激活碼440.

故選：A.

【點訐】本蜃專介數列的應用.等子數列與等比數列的前n項和，與化計田能

力，風于難題.

二、填空JB:本JI共4小?，每小?5分，共20分，

13.（S分）已知向JifW,E的夾用為60?，Ia|?2,lb=1,則a+2b=2

亞一

【考點】90：平面向量數依枳的性楨及其運貨.

【專題】31：數形結合：40：定義法：5A：平面向量及應用.

【與點例析】根據平面向量的數顯枳求出模長即可.

【解答】解：【解法】向最；，E的央角為6CT.且；=2?

?■?G*2b）2-,?八?隹4鏟

=2>4X2X1XC0S60、4XP

?12.

:.a-2b=2-73.

【解法一】根榭超意畫圉圖形，如圖所示：

結合圖形旗0A*0B=a-2b；

在AOAC中，由余弦定理存

0C=V22+22-2X2X2XCOS120*=

即a*2b.2百.

故答案為：26.

[Aif]本題號套了平面向量的數量枳的應用問題.解題時應利用故以權求出

模長.扯范礎題.

'x+2y<]

14(5分)設x.y滿足均束條件2x+y>-l.艮h=3x-2v的品小佰為-5

x~y*sO

【號點】7c簡單線性規(guī)劃.

【專題】11：計算泡：31：數形結合，35：轉化思想：5T：不等式.

【苦點剖析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標.

數形結合得答案.

x+2y<l

【解答】解；由x.y滿足約束條件2x+y>-l作出可力域如圖，

*Ko

由圖可知，目標函S（的最優(yōu)解為A.

聯(lián)立｛x+2y=l

解得A(7,I).

2x+y=-l

，z=3x-2丫的母小值為-3X1-2X1=-5.

故答案為：?5.

【點評】本題考杳了前單的線性現(xiàn)劃，考臺r數形結合的解跑思想方法.是中

檔題.

15.（5分）已知雙曲線C：1<a>0.b>0）的分眼以為A.以A

為閥心，b為產憐作腳A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若

ZMAN=60\則C的掰心車為怨3.

一3-

（號點】KC：雙曲蛾的性限

【專題】11：計算題；35：轉化思想：49：綜合法：5D；用婚曲線的定義、

性質。方程.

【號點剖析】利用11知條件，轉化求解A到漸近線的即離.推出a.c的美系.

然后求解雙曲找的用心率即叱

【解答】解：雙曲線C：號-/i（a>0,b>0）的右頂點為A（a?0）.

以A為圓心，b為半樓做戰(zhàn)A,圓A與雙曲線C的?條漸近線交于M、N兩點.

?7ZMAN=60".胃汨A到漸近線bx-aV=0的護離為，bcosSQ-=

號牛，可得離心率為：e=羋.

可得:

CiJ

故答案為：羋■.

【點濘】本尊考查雙曲找的冏通性質的應用.點到fl線的距離公式以及圜的方

程的應用?老件轉化思想以及計妹能力.

16.15分）如圖，圓形紙片的圓1心為O,半徑為5cm.諼紙片上的等邊三死

形ABC的中心為0.D、E、F為囪。上的點，ADBC,AECA.AJAB分別

是以BC.CA.AB為帳邊的等腰三角形.沿虛戰(zhàn)剪開后，分別以BC,CA,

AB為折痕折起ADBC.AECA.AFAB.使得D、E、Fjfi臺.得到三校卷.

當&ABC的邊長變化時,所得：校推體積（單位：cm3）的最大伯為一叵

cm

［號點】LF：枝柱、極維、核臺的體枳.

【專題】11：計算均：3S：轉化思想：49：綜合法；5E：圓錐的注中的鼓但

與他削問題.

【考點剖析】法-：lll@.連接0D,交BC十心G,由題意得OD_BC.0G=

gBC.設OG=X,則BC?26X，DG?5-x.?.棱維的/h?U25T0x.求

MS.w36J,V.1SAAKXh.73^25,4_l0l5,令f(x>?25x，?

10x5,x€<0,-1),f(x)?100x3-50x*.f(x)<f(2>>80,由此能

求出體枳最大值.

法二：沒正：角形的邊長為x,則OG=^X李邛＞

FG=SG=56K，SO

怔炳瑞'J(5平x)2-(*x)2=巾(5-冬.

由此能示出三棱推的

體枳的最大值.

【解答】解法一：由四總，連接OD,交BCF點G,由鹿意得OD_BC.OG?

即0G的長度，BC的長度成正比，

設OG=x,則BC=2近x,DG=5-x.

二枝錐的高h=7DG2-OG2=V25-10X+X2-X2=725TOx.

SAAK專X乎x(275?)2=3>/3*2,

2C

則V=ySAABCxh=V3XXV25-10X折，25JTO*

令f(x)=25x4-10x3xG(0.§),f<x>=100xJ-SOx4.

2

令F?x)20,即d-2x3SO.紫籽xW2?

則f(x)Wf(2)=80.

:ZWM/赤4任cm3.,.體積最大值為歙/HcmL

故棄衰為：4V15cm,.

解法二，如圖.設正三角形的邊長為x,則OG=^.X卓廣

JL

，F(xiàn)G=SG=S-

6__________________________

SO=h=VSG2-＜；02=?5半X)2-冷,2=收5-冬.

???三校推的體枳V=^SAAflc-h

="玄加京=倒￥，

令b《X)?5x??零J,則『(x)=20J^^上

JJ

令b(x)=0.則4x；親=0.斛得x=4娟.

V??=^XV5^=W15（5，）.

[Aif]本題若唐一故惟的體枳的鼓大伯的求法，老會空間中線城'線面、而

面間的位留X：系、函數性質、導致等精礎知識,考有推到論證能力，運及求

解能力'空間想取能力，號位數形結合刖想、化歸與轉化思想，是中檔捌.

三、共70分.解答皮寫出文字說典、證明過程或演算步》第17~21

屆為必考題,每個試■考生都必須作答.第22、23屆為選考?，考生根據

要求作答.

17.（12分）ZXABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b.c,已知ZSABC

的面枳為

3sinA

(1)求sinBsinG

(2)若6co$BcosC=l.az3.求△ABC的周長.

【考點】HP：正弦定理：HR:余弦定理.

【專題】11:計算咫：33：南故思想：4R:轉化法：56:三角函數的求侑：

58：解3角形.

【號點剖析】（1）根據三角形面枳公式和正面定理可褥答窠.

（2）根據兩ffj余弦公式可用cosA=費，即可求出慶=三，再根據正弦定理可

得bc=8,根據余弦定理即可求出be.何即得以解決.

2

【解答】解：（1）由三角形的面積公式可得s3=gacsinB=——?

23smA

.'.3c5inBsinA=2a.

由正弦定理可得3sinCsinBsmA=2sinA.

XinA工0,

2

..sinBsinCs—；

（2）V6cosBcosC=1.

cosBcosC=—.

6

:.cosBcosC-sinBsinC==W=>W，

632

?,.cos(B?1

21

co$A=2，

2

V0<A<n.

2

bebe

.?.SinBsinC-3?三2

2R2R(26尸.123'

bc=8,

Va2="c7-2bccosA.

/.b^c2-bc=9.

(b+c)%9-3cb=9-24=33?

.'.b*c=V33

周氏a+b+c=3+V5j

［點計】本咫再杳/:角形的面枳公式和兩角和的余弦公苴和濟導公式和止弦定

理余弦定理，考查了學生的運算能力，屬F中檔題.

18.(12分)如同，在四棱錐P-ABCD中，AB7CD,且/BAP*/CDP=9(T.

(1)證明：平面PABL平面PAD：

<2)rPA=PD=AB-DC.ZAPD=90°.求：面角A?PB-C的余弦tfl.

【考點】W:平面與平面垂直：MJ：-面向的平面角及求法.

【專題】15:綜介題；31：故形結合：41：向量法：5G：空河角.

【弓.士出析】＜1)由已知可得PA.AB.PD1CD,可由AB〃CD,得ABPD.

利用紋面靠一的判定可用AB平面PAD.it-白到平面PAB±THPAD：

（2）由已知可缶四邊形ABCD為平行四邊彬,lh（1）知ABL平面PAD.出到

AB1AD，則四邊形ABCD為矩形，PA=AB=2a,則AD=取AD

中點0,K中點E，連接P0、0E,以。為售林掠點，分別以0A.0E、

0P所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,求出平面PBC的個法向R,

再證明PD一平面PAB，用麗為平面PAB的一個法向量，由兩法向圓所成用

的氽弦值可得二而的A-PB-C的余弦酒.

【解答】（1）證明：VZBAP.ZCDP=90*..*.PA_AB,PD1CD,

VAB^CD,.,.ABLPD.

又VPAnPD-P,HPAu平面PAD.PDc平面PAD，

AB_L平面PAD,又ABc平面PAB.

平面PAB_L平面PAD：

（2）航：TAB//CD.AB=CO.四邊，已ABCD為平行四邊形，

由（1）知AB1.平面PAD..?.ABXAD,則四邊粕ABCO為知形，

frAAPD'I',lilPA=PO.ZAPD=90\可用Z^PAD為等腰直用三角形.

設PA=AB=2a,則AD=2ea.

取AD中點0.BC中點E.連接PO.0E.

以O為坐標原點.分別以OA.OJ0P所在直投為x、丫、z軸建立空間直角坐

標系.

則tD?-V2a?0，0）.8<&a,2a,0）.PIQ.O.近a）.C（2a,0）.

PD=(-V2?>0,-?/2a)*ra=(V2a<2a,-&aA前=(-2&a,0,0)-

設平面PBC的一個法向量為岸Q,y,z），

rt,fn-PB=OJ&ax+2ay-&az=0

由k-Wl-2V2ax=0取r1.得福(Q,1,a)?

n-BC=0

,:AB1平面PAD.ADc平面PAD.ABLP