應力應變概念

關于應力應變概念2.剪切應力和剪切應變負荷作用在面積為S的ABCD面上，剪切應力：

=P/S;剪切應變：=U/L=tg.正應力引起材料的伸長或縮短，剪應力引起材料的畸變，并使材料發(fā)生轉(zhuǎn)動。PABCDEA

B

ULF

第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天xyz

zx

xy

yy

xx

zz

yz

zy

yx

xz應力分量S圍繞材料內(nèi)部一點P，取一體積單元2.1.2任意的力在任意方向上作用于物體1.應力第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天說明：下腳標的意義：每個面上有一個法向應力和兩個剪應力，應力分量下標：第一個字母表示應力作用面的法線方向；第二個字母表示應力的作用方向。方向的規(guī)定正應力的正負號規(guī)定：拉應力（張應力）為正，壓應力為負。剪應力的正負號規(guī)定：正剪應力負剪應力第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天應力間存在以下關系：根據(jù)平衡條件，體積元上相對的兩個平行平面上的法向應力大小相等，方向相反；剪應力作用在物體上的總力矩等于零。應力張量T1T2T3T4T5T6

xx

yy

zz

yz

zx

xy結(jié)論：一點的應力狀態(tài)有六個分量決定體積元上任意面上的法向應力與坐標軸的正方向相同，則該面上的剪應力指向坐標軸的正方向者為正；如果該面上的法向應力指向坐標軸的負方向，則剪應力指向坐標軸的正方向者為負。第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.應變dxdyBCACBA(v/y)dy(v/x)dx(u/x)dx(u/y)dy

xy0XY面上的剪應變

xy

yx第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天已知：O點沿x,y,z方向的位移分量分別為u,v,w應變?yōu)椋簎/x，用偏微分表示：

u/

x在O點處沿x方向的正應變是：

xx=u/x同理：yy=v/y

zz=w/z.uxOA

xA′O′

u（1）正應變第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天A點在x方向的位移是：u+(u/x)dx，OA的長度增加(u/x)dx.O點在y方向的應變：v/x,A點在y方向的位移v+(v/x)dx,A點在y方向相對O點的位移為：(v/x)dx,同理：B點在x方向相對O點的位移為：(u/y)dy（2）剪切應變第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天線段OA及OB之間的夾角變化OA與OA

間的夾角=(v/x)dx/dx=v/xOB與OB

間的夾角=(u/y)dy/dy=u/y線段OA及OB之間的夾角減少了

v/x+u/y，xz平面的剪應變?yōu)?

xy=v/x+u/y（xy與yx)第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天同理可以得出其他兩個剪切應變：

yz=v/z+w/y

zx=w/x+u/z結(jié)論：一點的應變狀態(tài)可以用六個應變分量來決定，即三個剪應變分量及三個正應變分量。第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天（1）各向同性體的虎克定律

xLLbcc

b

xzxy長方體在軸向的相對伸長為：

x=

x/E應力與應變之間為線性關系，E------彈性模量，對各向同性體，彈性模量為一常數(shù)。2.1.3彈性形變1.廣義虎克定律（應力與應變的關系）第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天當長方體伸長時，橫向收縮：

y=－

c/c

z=－

b/b橫向變形系數(shù)（泊松比）：=|y/x|=|z/x|則y=－x=－x/E

z=－x/E如果長方體在

x

y

z的正應力作用下，虎克定律表示為：

x=

x/E－y/E－z/E=[

x－（y＋z

）]

/E

y=

y/E－x/E－y/E=[

y－（x＋z

）]

/E

z=

z/E－x/E－y/E=[

z－（x＋y

）]

/E第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天對于剪切應變，則有如下虎克定律：

xy=xy/G

yz=yz/G

zx=zx/GG------剪切模量或剛性模量。G,E,參數(shù)的關系：G=E/2(1+)如果x=y=z

，材料的體積模量K------各向同等的壓力與其引起的體積變化率之比。

K=－p/(V/V)=E/[3(1－2)]第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天作用力對不同方向正應變的影響各種彈性常數(shù)隨方向而不同，即：Ex

Ey

Ez,

xy

yz

zx在單向受力x時，在y,z方向的應變?yōu)椋?/p>

yy=－yx

x=－yx

x/Ex=（－yx/Ex

）

x=S21

x

zz=－zx

x=－zx

x/Ex=S31

xS21,S31為彈性柔順系數(shù)。1,2,3分別表示x,y,z(2)各向異性第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天同時受三個方向的正應力，在x,y,z方向的應變?yōu)椋?/p>

xx=xx/Ex+S12

yy+S13

zz

yy=yy/Ey+S21

yy+S23

zz

zz=zz/Ez+S31

yy+S32

zz第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天正應力對剪應變有影響，剪應力對正應變也有影響，通式為：

xx=S11

xx+S12

yy+S13

zz+S14

yz+S15

zx+S16

xy

yy=S22

yy+S21

xx+S23

zzS24

yz+S25

zx+S26

xy

zz=S33

zz+S31

yy+S32

zzS34

yz+S35

zx+S36

xy

yz=S41

xx+S42

yy+S43

zz+S44

yz+S45

zx+S46

xy

zx=S51

xx+S52

yy+S53

zz+S54

yz+S55

zx+S56

xy

xy=S61

xx+S62

yy+S63

zz+S64

yz+S65

zx+S66

xy

總共有36個系數(shù)。第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)倒順關系有（由彈性應變能導出）：

Sij=Sji,－21/E1

－12/E2，系數(shù)減少至21個考慮晶體的對稱性，例如：斜方晶系，剪應力只影響與其平行的平面的應變，不影響正應變，S數(shù)為9個(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有5個S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系為3個S(S11,S44,S12)MgO的柔順系數(shù)在25oC時，S11=4.03×10-12Pa-1;

S12

=－0.94×10-12Pa-1;S44=6.47×10-12Pa-1.由此可知，各向異性晶體的彈性常數(shù)不是均勻的。第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2.彈性變形機理虎克定律表明，對于足夠小的形變，應力與應變成線性關系，系數(shù)為彈性模量E。作用力和位移成線性關系，系數(shù)為彈性常數(shù)K。第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天rrror

12＋－＋－FUm在r=ro時，原子1和2處于平衡狀態(tài)，其合力F=0.當原子受到拉伸時，原子2向右位移，起初作用力與位移呈線性變化，后逐漸偏離，達到r

時，合力最大，此后又減小。合力有一最大值，該值相當于材料斷裂時的作用力。斷裂時的相對位移：r

－ro=

把合力與相對位移的關系看作線性關系，則彈性常數(shù)：

KF/=tg(1)原子間相互作用力和彈性常數(shù)的關系第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

U(ro+

）=U(ro)+(dU/dr)ro+1/2(d2U/dr2)ro

2=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro

2F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K=(d2U/dr2)ro就是勢能曲線在最小值u(ro)處的曲率。結(jié)論：K是在作用力曲線r=ro時的斜率，因此K的大小反映了原子間的作用力曲線在r=ro處斜率的大小.(2)原子間的勢能與彈性常數(shù)的關系結(jié)論：彈性常數(shù)的大小實質(zhì)上反映了原子間勢能曲線極小值尖峭度的大小。第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天使原子間的作用力平行于x軸，作用于原子上的作用力：

F=－u/r,應力：xx

－(u/r)/ro2dxx

－(2u/r2)dr/ro2,相應的應變：dxx=dr/rodxx=C11dxxC11

－(d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1C------彈性剛度系數(shù)（與彈性柔順系數(shù)S成反比）結(jié)論：彈性剛度系數(shù)的大小實質(zhì)上也反映了原子間勢能曲線極小值尖峭度的大小。大部分無機材料具有離子鍵和共價鍵，共價鍵勢能曲線的谷比金屬鍵和離子鍵的深，即：彈性剛度系數(shù)大。(3)彈性剛度系數(shù)第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天晶體C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51NaCl型晶體的彈性剛度系數(shù)（1011達因/厘米2，200C）第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天（4）用原子間振動模型求彈性常數(shù)原子振動時有以下關系：m1r1=m2r2,r=r1+r2=r1(1+m1/m2)外力使其產(chǎn)生振動時，則：F=m1d2r1/dt2=m2d2r2/dt2=－K(r－ro)得:md2(r－ro)/dt2=－K(r－ro)或md2/dt2=－K

其中：m=m1·m2/(m1+m2)（折合質(zhì)量）解此方程可以得共振頻率：

=(K/m)1/2/

2

(與晶格振動中的長光學縱波相似，也叫極化波，能引起靜電極化)，則：K=m(2)2=m(2c/)2可以利用晶體的紅外吸收波長測出彈性常數(shù)。rm1m2r1r2第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3.影響彈性模量的因素架狀結(jié)構(gòu)石英和石英玻璃的架狀結(jié)構(gòu)是三維空間網(wǎng)絡，不同方向上的鍵結(jié)合幾乎相同------幾乎各向同性。單鏈結(jié)構(gòu)Si2O6

雙鏈結(jié)構(gòu)Si4O11

環(huán)狀結(jié)構(gòu)（島狀結(jié)構(gòu)）Si6O18

方向不同彈性模量不一樣（1）晶體結(jié)構(gòu)第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天架狀結(jié)構(gòu)－石英SiO2C11=C22=0.9,C33=1.0石英玻璃SiO2C11=C22=C33=0.8單鏈狀硅酸鹽霓輝石NaFeSi2O6C11=1.9C22=1.8C33=2.3普通輝石(CaMgFe)SiO3C11=1.8C22=1.5C33=2.2透輝石CaMgSi2O6C11=2.0C22=1.8C33=2.4雙鏈狀硅酸鹽角閃石普通角閃石(CaNaK)2-3(HgFeAl)5(SiAl)8O22(OH)2C11=1.2C22=1.8C33=2.8環(huán)狀硅酸鹽綠柱石Be3Al2Si6O8C11=C22=3.1C33=0.6電氣石(NaCa)(LiMgAl)3(AlFeMn)6(OH)4(BO3)3Si6O18C11=C22=2.7C33=1.6層狀硅酸鹽黑云母K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.9C33=0.5白云母KAl2(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.6金云母KMg3(AlSi3O10)(OH)2C11=C22=1.8C33=0.5×1012達因/厘米2第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

大部分固體，受熱后漸漸開始變軟，彈性常數(shù)隨溫度升高而降低。彈性模量與溫度的定量關系：E=Eo－bTexp(-To/T)

或(E－Eo)/T=－bexp(-To/T)Eo,b,To是經(jīng)驗常數(shù)，對MgO,Al2O3，ThO2等氧化物，b=2.7～5.6,To=180～320溫度對彈性剛度系數(shù)的影響，通常用彈性剛度系數(shù)的溫度系數(shù)表示：Tc=(dC/dT)/C對在電子儀器中的所謂延遲線和標準頻率器件十分重要，因為它們尋求零溫度系數(shù)材料。(2)溫度第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天溫度補償材料：一種異常的彈性性質(zhì)材料（Tc是正的），補償一般材料的負Tc值.且壓電偶合因子大。MgOTc11=－2.3Tc44=－1.0SrTiO3Tc11=－2.6