2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 概率的基本性質(zhì) 學(xué)案

10.1.4概率的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)掌握概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)求一些簡(jiǎn)單事件的概率．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.6，兩人下成平局的概率是0.3．問題：甲獲勝的概率是多少？知識(shí)點(diǎn)概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若A與B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1． ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B為對(duì)立事件． ()[答案](1)×(2)×2．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則P(A∩B)＝________．0.3[P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]類型1互斥事件概率公式的應(yīng)用【例1】在某一時(shí)期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個(gè)范圍內(nèi)的概率如下表：年最高水位(單位：m)[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18]概率0.10.280.380.160.08計(jì)算在同一時(shí)期內(nèi)，這條河流這一處的年最高水位(單位：m)在下列范圍內(nèi)的概率：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].[解]記該河流這一處的年最高水位(單位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分別為事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82．(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38．(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24．運(yùn)用互斥事件的概率加法公式解題的步驟(1)確定題中哪些事件彼此互斥；(2)將待求事件拆分為幾個(gè)互斥事件的和；(3)先求各互斥事件分別發(fā)生的概率，再求和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)1點(diǎn)”，B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”．已知P(A)＝P(B)＝16(2)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球．設(shè)事件A表示“3只球中有1只紅球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只紅球，1只白球”．已知P(A)＝310，P(B)＝1(1)13(2)45[(1)設(shè)事件C為“出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)”，因?yàn)槭录嗀，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16(2)因?yàn)锳，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310+1類型2對(duì)立事件的概率公式【例2】甲、乙兩人下棋，和棋的概率為12，乙獲勝的概率為1(1)甲獲勝的概率；(2)甲不輸?shù)母怕剩甗解](1)“甲獲勝”和“和棋或乙獲勝”是對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－12-1(2)法一：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(A)＝16法二：設(shè)事件A為“甲不輸”，可看成是“乙獲勝”的對(duì)立事件，所以P(A)＝1－13＝2利用對(duì)立事件的概率公式解題的思路(1)當(dāng)對(duì)立事件A，B中一個(gè)事件的概率易求，另一個(gè)事件的概率不易求時(shí)，直接計(jì)算符合條件的概率較煩瑣，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事件的概率．(2)應(yīng)用對(duì)立事件的概率公式時(shí)，一定要分清事件和其對(duì)立事件到底是什么．該公式常用于“至多”“至少”型問題的求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次：(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．[解]記“射擊一次，命中k環(huán)”為事件Ak(k＝7，8，9，10)．(1)因?yàn)锳9與A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．(2)記“至少命中8環(huán)”為事件B，則B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10兩兩互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．(3)記“命中不足8環(huán)”為事件C.則事件C與事件B是對(duì)立事件．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．類型3非互斥事件概率加法公式的應(yīng)用【例3】從1～20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，設(shè)事件A表示“選到的數(shù)能被2整除”，事件B表示“選到的數(shù)能被3整除”，求下列事件的概率：(1)這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除；(2)這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除；(3)這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除．[解]顯然從1～20這20個(gè)整數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，樣本點(diǎn)總數(shù)為20．其中這20個(gè)整數(shù)中能被2整除的有10個(gè)，能被3整除的有6個(gè)，所以P(A)＝1020＝12，P((1)“這個(gè)數(shù)既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因?yàn)?～20這20個(gè)整數(shù)中既能被2整除也能被3整除的有3個(gè)，所以P(AB)＝320(2)“這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝12(3)由于事件“這個(gè)數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”(即事件AB)與事件“這個(gè)數(shù)能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)為對(duì)立事件，所以PAB＝1－P(A∪B)＝1－首先判斷該事件不是互斥事件，為此需要考慮非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)進(jìn)行計(jì)算．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽，他們跑每一棒的概率均為14[解]設(shè)事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，則P(A)＝14，P(B)＝1記甲跑第x棒，乙跑第y棒為(x，y)，則共有可能結(jié)果12種，樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一種結(jié)果，即(1，4)，故P(A∩B)＝112所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝141．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，則P(B)等于()A．0.3B．0.7C．0.1D．1A[∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3．故選A.]2．從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，如果其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量不小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85)g范圍內(nèi)的概率是()A．0.62 B．0.38C．0.70 D．0.68B[質(zhì)量在[4.8，4.85)g范圍內(nèi)的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38．]3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)如果B?A，則P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝_______，P(AB)＝________．(1)0.40.2(2)0.60[(1)因?yàn)锽?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2．(2)如果A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．P(AB)＝P(?)＝0．]4．一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________．0.96[設(shè)A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，則甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．若事件A和事件B為互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．3．若事件A和事件B是對(duì)立事件，那么P(A)，P(B)有什么關(guān)系？[提示]P(A)＋P(B)＝1．課時(shí)分層作業(yè)(四十七)概率的基本性質(zhì)一、選擇題1．某學(xué)校高一年級(jí)派甲、乙兩個(gè)班參加學(xué)校組織的拔河比賽，甲、乙兩個(gè)班取得冠軍的概率分別為13和14，則該年級(jí)在拔河比賽中取得冠A．712B．112C．5A[甲班取得冠軍和乙班取得冠軍是兩個(gè)互斥事件，該校高一年級(jí)取得冠軍是這兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率為兩個(gè)互斥事件的概率之和，即為132．若A，B是互斥事件，則()A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1D[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(當(dāng)A，B對(duì)立時(shí)，P(A∪B)＝1)．]3．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7B[設(shè)事件A為“只用現(xiàn)金支付”，事件B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”，事件C為“不用現(xiàn)金支付”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.4．故選B.]4．某學(xué)校組織參加興趣小組，其中有82%的學(xué)生選擇數(shù)學(xué)小組，60%的學(xué)生選擇英語小組，96%的學(xué)生選擇數(shù)學(xué)或英語小組，則該學(xué)校既選擇數(shù)學(xué)小組又選擇英語小組的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C[設(shè)“選擇數(shù)學(xué)小組”為事件A，“選擇英語小組”為事件B，則“選擇數(shù)學(xué)或英語小組”為事件A＋B，“既選擇數(shù)學(xué)小組又選擇英語小組”為事件AB，依題意得P(A)＝82%，P(B)＝60%，P(A∪B)＝96%，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝82%＋60%－96%＝46%.故該學(xué)校既選擇數(shù)學(xué)小組又選擇英語小組的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.]5．若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．54，2C．54，3D[由題意可知0即0即1＜a＜2，54二、填空題6．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為25，且P(A)＝2P(B)，則P(A25[因?yàn)槭录嗀，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為2所以P(A)＋P(B)＝1－25又因?yàn)镻(A)＝2P(B)，所以P(A)＋12P(A)＝3解得P(A)＝25.7．已知盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知從中取出2粒都是黑子的概率是17，從中取出2粒都是白子的概率是121735[從中取出2粒棋子，“都是黑棋子”記為事件A，“都是白棋子”記為事件B，則A，B為互斥事件．所求概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝18．如圖所示，靶子由一個(gè)中心圓面Ⅰ和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則不命中靶的概率是________．0.10[“射手命中圓面Ⅰ”為事件A，“命中圓環(huán)Ⅱ”為事件B，“命中圓環(huán)Ⅲ”為事件C，“不中靶”為事件D，則A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．因?yàn)橹邪泻筒恢邪惺菍?duì)立事件，故不命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]三、解答題9．(源自湘教版教材)某企業(yè)有三個(gè)分廠，現(xiàn)將男女職工人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：項(xiàng)目第一分廠第二分廠第三分廠總計(jì)男400人350人250人1000人女100人50人50人200人總計(jì)500人400人300人1200人若從中任意抽取一名職工，則該職工是女性或是第三分廠職工的概率是多少？[解]設(shè)A＝“抽到女工”，B＝“抽到第三分廠職工”，則P(A)＝2001200＝16，P(B)＝3001200＝14，因此，該職工是女性或是第三分廠職工的概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1＝3810．(2022·北京豐臺(tái)期中)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，其中3個(gè)事件A1，A2，A3的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說法中正確的是()A．A1＋A2與A3是互斥事件，也是對(duì)立事件B．A1＋A2＋A3是必然事件C．P(A2∪A3)＝0.8D．P(A1＋A2)≤0.5D[由已知條件可知，一次隨機(jī)試驗(yàn)中產(chǎn)生的事件可能不止事件A1，A2，A3這三個(gè)事件，故P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝1，從而AB錯(cuò)誤；P(A2∪A3)≤P(A2)＋P(A3)＝0.8，故C錯(cuò)誤；P(A1＋A2)≤P(A1)＋P(A2)＝0.5，故D正確．故選D.]11．已知隨機(jī)事件發(fā)生的概率滿足P(A∪B)＝34，某人猜測(cè)事件AA．1B．12C．1C[事件A∩B與事件A∪B是對(duì)立事件，PA12．(多選)黃種人群中各種血型的人所占的比例如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以輸血，O型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可以給AB血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血．下列結(jié)論正確的是()A．任找一個(gè)人，其血可以輸給B型血的人的概率是0.64B．任找一個(gè)人，B型血的人能為其輸血的概率是0.29C．任找一個(gè)人，其血可以輸給O型血的人的概率為1D．任找一個(gè)人，其血可以輸給AB型血的人的概率為1AD[任找一個(gè)人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別為A′，B′，C′，D′，它們兩兩互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件B′∪D′，根據(jù)概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，A正確；B型血的人能為B型、AB型的人輸血，其概率為0.29＋0.08＝0.37，B錯(cuò)誤；由O型血只能接受O型血的人輸血知，C錯(cuò)誤；由任何血型的人都可以給AB血型的人輸血，知D正確．]13．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)任意一種點(diǎn)數(shù)的概率都是16，記事件A為“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則概率P(A∪B23[拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)任意一種點(diǎn)數(shù)的概率都是1所以P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝1214．袋中有外形、質(zhì)量完全相同的紅球、黑球、黃球、綠球共12個(gè)，從中任取一球，得到紅球的概率是13，得到黑球或黃球的概率是512，得到黃球或綠球的概率也是(1)試分別求得到黑球、黃球、綠球的概率；(2)從中任取一球，求得到的不是紅球也不是綠球的概率．[解](1)從袋中任取一球，記“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為事件A，B，C，D，它們彼此互斥，則P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝5P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝P(