湖南省邵陽(yáng)市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省邵陽(yáng)市教育學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在正三角形△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到A，B，C的距離都大于該三角形邊長(zhǎng)一半的概率為（）A．1﹣ B．1﹣ C．1﹣ D．1﹣參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】先求出滿足條件的正三角形ABC的面積，再求出滿足條件正三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)到三角形的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于1的圖形的面積，然后代入幾何概型公式即可得到答案．【解答】解：滿足條件的正三角形ABC如下圖所示：設(shè)邊長(zhǎng)為2，其中正三角形ABC的面積S三角形=×4=．滿足到正三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離至少有一個(gè)小于1的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其加起來(lái)是一個(gè)半徑為1的半圓，則S陰影=π，則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于1的概率是：P=1﹣．故選：A．2.已知向量，則等于A、0B、－1C、D、參考答案：A3.給出下列三個(gè)命題①若,則②若正整數(shù)m和n滿足,則③設(shè)為圓上任一點(diǎn)，圓O2以為圓心且半徑為1.當(dāng)時(shí),圓O1與圓O2相切其中假命題的個(gè)數(shù)為

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B4.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)且滿足|PF1|=2|PF2|，直線PF2交雙曲線C于另一點(diǎn)N，又點(diǎn)M滿足=且∠MF2N=120°，則雙曲線C的離心率為（）A．B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即可求出雙曲線C的離心率．【解答】解：由題意，|PF1|=2|PF2|，由雙曲線的定義可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由四邊形PF1MF2為平行四邊形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故選：B．5.設(shè)、表示兩條不同的直線，、表示兩個(gè)不同的平面，下列命題中真命題是

(

)． A．若，則 B．若 C．若 D．若參考答案：C6.某錐體三視圖如右，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)，該錐體的各側(cè)面中，面積最大的是（）

A.3B.2

C.6D.8參考答案：C

【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2解析：因?yàn)槿晥D復(fù)原的幾何體是四棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面矩形的長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，底面邊長(zhǎng)分別為4，2，后面是等腰三角形，腰為3，所以后面的三角形的高為：=，所以后面三角形的面積為：×4×=2．兩個(gè)側(cè)面面積為：×2×3=3，前面三角形的面積為：×4×=6，四棱錐P﹣ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最大的是前面三角形的面積：6．故選C．【思路點(diǎn)撥】三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐，利用三視圖的數(shù)據(jù)直接求解四棱錐P﹣ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積，得到最大值即可．7.已知點(diǎn)滿足則的最大值為(

)A.0

B.

C.6

D.不存在參考答案：C8.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是A．

B．

C．

D．

參考答案：C10.設(shè)是實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)=的定義域是R則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.參考答案：[0,1]12.如圖在三棱錐S﹣ABC中，SA=SB=SC，且，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)．則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為

，直線SM與面SAC所成角大小為

．參考答案：，．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角．【分析】連接MC，取MC中點(diǎn)為Q，連接NQ，BQ，則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角，利用余弦定理可得結(jié)論；由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，即可求解．【解答】解：連接MC，取MC中點(diǎn)為Q，連接NQ，BQ則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角．設(shè)SA=SB=SC=a，則AB=BC=CA=a因?yàn)?，△ABC是正三角形，M、N、Q是中點(diǎn)所以：NQ=SM=a，MC=a，QB=a，NB=a∴cos∠QNB=，∴異面直線SM與BN所成角的余弦值為，由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，∵SA=SB，∠ASB=，∴∠ASM=故答案為，．13.若向量滿足，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________.參考答案：(－3,1)【分析】根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14.已知，，，則的最小值為

▲

．參考答案：415.某籃球隊(duì)6名主力隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球個(gè)數(shù)如下表所示：隊(duì)員i123456三分球個(gè)數(shù)下圖（右）是統(tǒng)計(jì)該6名隊(duì)員在最近三場(chǎng)比賽中投進(jìn)的三分球總數(shù)的程序框圖，則圖中判斷框應(yīng)填

.參考答案：16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足，且，則

．參考答案：18解得，即，則

17.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為cm2．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC．該幾何體可以看成是兩個(gè)底面均為△PCD，高分別為AD和BD的棱錐形成的組合體，進(jìn)而可得答案．【解答】解：如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P﹣ABC．該幾何體可以看成是兩個(gè)底面均為△PCD，高分別為AD和BD的棱錐形成的組合體，由幾何體的俯視圖可得：△PCD的面積S=×4×4=8cm2，由幾何體的正視圖可得：AD+BD=AB=4cm，故幾何體的體積V=×8×4=cm3，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（滿分15分）動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過(guò)作曲線兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為、.（1）求曲線的方程；（2）求證：直線必過(guò)定點(diǎn).參考答案：解：（1）設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得…………6分（2）設(shè)，代入得，，,故………………10分因?yàn)?，所以將點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，即得。則

，整理得,故不論為何值，直線必過(guò)定點(diǎn).………………15分19.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差為d，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的，恒成立．（1）如果數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，證明數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列；（2）如果數(shù)列為等比數(shù)列，求d的值；（3）如果，數(shù)列{cn}的首項(xiàng)為1，，證明數(shù)列{an}中存在無(wú)窮多項(xiàng)可表示為數(shù)列{cn}中的兩項(xiàng)之和．參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，①，②①-②得，③

即，所以為常數(shù)，所以為等差數(shù)列．

（2）由③得，即，所以是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以或?yàn)槌?shù)．

①當(dāng)時(shí)，，符合題意；

②當(dāng)為常數(shù)時(shí)，在中令，則，又，解得，…8分所以，此時(shí)，解得．綜上，或．

（3）當(dāng)時(shí)，，

由（2）得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，即．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以．

設(shè)，則，即，如果，因?yàn)闉?的倍數(shù)，為3的倍數(shù)，所以2也為3的倍數(shù)，矛盾．

所以，則，即．所以數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)可表示為數(shù)列中的兩項(xiàng)之和．

20.（本小題滿分12分）箱子里裝有10個(gè)大小相同的編號(hào)為1、2、3的小球，其中1號(hào)球有2個(gè)，2號(hào)球有m個(gè)，3號(hào)球有n個(gè)，且m<n，從箱子里一次摸出兩個(gè)球，號(hào)碼是2號(hào)和3號(hào)各一個(gè)的概率是.(1)求m,n的值；

（2）從箱子里一次任意摸出兩個(gè)球，設(shè)得到小球的編號(hào)數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。參考答案：(1)解：由已知有，∴，

2分

又，，∴

4分(2)解：的可能取值為2，3，4，5，6

5分

10分

的分布列為

的數(shù)學(xué)期望為：

12分略21.某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長(zhǎng)為米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為元．假設(shè)座位等距離分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為元．（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（Ⅱ）當(dāng)米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？參考答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）當(dāng)座位個(gè)數(shù)為個(gè)（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，則，22.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”