北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案

第七章平行線的證明

1.為什么要證明

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生的技能基礎(chǔ)：在七年級和八年級上學(xué)生學(xué)習(xí)了很多與幾何

相關(guān)的知識，為今天的進一步的學(xué)習(xí)作好了知識儲備，同時.，學(xué)生也經(jīng)歷

了很多驗證結(jié)論合理性的過程，有了初步的邏輯推理思維，合情推理能力

得到了很大的提高，為今天系統(tǒng)的培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Υ蛳铝肆?/p>

好的基礎(chǔ).

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)參與了對幾

何圖形的觀察、比較、動手操作、猜測、歸納等活動，對今天本節(jié)課的分

組討論、自主探究等活動有很大的幫助.

二、教學(xué)任務(wù)分析

學(xué)生的直觀能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)的一個方面，但如果學(xué)生僅有對

圖形的直觀感受而不能進行推理、論證，有時是會產(chǎn)生錯誤的結(jié)論，本課

時安排《你能肯定嗎》的教學(xué)是讓學(xué)生的直觀感受與實際結(jié)果之間產(chǎn)生思

維上的碰撞，從而使學(xué)生對原有的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，從而確立對某一事

物進行合理論證的必要性。因此，本課時的教學(xué)目標(biāo)是：

L運用實驗驗證、舉反例驗證、推理論證等方法來驗證某些問題的結(jié)

論正確與否.

2.經(jīng)歷觀察、驗證、歸納等過程，使學(xué)生對由這些方法所得到的結(jié)論

產(chǎn)生懷疑，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心，從而認識證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生的

推理意識.

3.了解檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理論證

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的教學(xué)思路為：驗證活動（1）一一猜想并驗證活動（2）——

猜想并驗證活動（3）一—經(jīng)驗總結(jié)一一學(xué)生練習(xí)一一課堂小結(jié)一一鞏固

練習(xí)

第一環(huán)節(jié)：驗證活動（1）

活動內(nèi)容：

某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=0,1,2,3時，代數(shù)式/-n+ll的值都是

質(zhì)數(shù)，于是得到結(jié)論：對于所有自然數(shù)n,r?-n+ll的值都是質(zhì)數(shù).你認

為呢？與同伴交流.

參考答案：列表歸納為

n01234567891011???

2

n-

11111317233141536783101121

n+ll

是否為

是是是是是是是旦是是是是不是

質(zhì)數(shù)

活動目的:

對現(xiàn)在結(jié)論進行驗證，讓學(xué)生感受到知識有時具有一定的迷惑性

（欺騙性），從而對不完全歸納的合理性產(chǎn)生懷疑，為下一步的學(xué)習(xí)提供

必要的精神準(zhǔn)備.

注意事項：

學(xué)生通過列表歸納，根據(jù)自己以往的經(jīng)驗判斷，在n=10以前都一直

認為｛-n+ll是一個質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n=10時，找到了一個反例，進而發(fā)現(xiàn)不

能根據(jù)少數(shù)幾個現(xiàn)象輕易肯定某個數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性.

第二環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（2）

活動內(nèi)容:

如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起

來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放

進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？

參考答案：設(shè)赤道周長為C,鐵絲與地球赤道之間的間隙為:

C+1_C

—w0.16(n)

2?2x

它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一

個拳頭.

活動目的：

通過理性的計算，驗證了很難想像到的結(jié)論，讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的

碰撞，進而對自己的直觀感覺產(chǎn)生懷疑，再次為論證的合理性提供素材.

注意事項：

要充分讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，首先讓學(xué)生對自己的結(jié)論確信無

疑，再進一步計算，結(jié)果與學(xué)生的感覺產(chǎn)生矛盾，切忌直接進行計算，把

結(jié)論告訴學(xué)生，這樣就達不到預(yù)想的要求，不能讓學(xué)生留下深刻的印象.

第三環(huán)節(jié)：猜想并驗證活動（3）

活動內(nèi)容：

如圖，四邊形ABCD四邊的中點E、F、G、H,度量四邊形EFGH的

邊和角，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？改變四邊形ABCD的形狀，還能得到類似的

結(jié)論嗎？

參考答案：連接AC.

???E、F、G、H分別是四邊形ABCD四邊中點,

.?.EF〃AC,EF=AC；GH/7AC,GH=AC；

.?.EF平行且等于GH,

...四邊形EFHG為平行四邊形.

活動目的：

通過對圖形的直觀感受得出結(jié)論，但要使學(xué)生清楚地知道對兒何結(jié)

論的驗證，通常是用嚴謹?shù)倪壿嬐评韥碚撌?

注意事項：

讓學(xué)生大膽地進行預(yù)測，但要讓學(xué)生說清理由，讓學(xué)生了解幾何

證明的必要性.

第四環(huán)節(jié)：歸納與總結(jié)

活動內(nèi)容：

①通過以上三個數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生對每一個問題的結(jié)論的正確性

有了懷疑，從而知道了由觀察、猜想等渠道得到的結(jié)論還必須經(jīng)過有效的

證明才能對其進行肯定.也即：要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是正確，僅觀察、猜

想、實驗還不夠，必須經(jīng)過一步一步，有根有據(jù)的推理.

②舉例說明“推理意識”與推理方法.

活動目的：

使學(xué)生理解僅有對圖形的直觀感受是不夠的，從而幫助學(xué)生建立推

理意識.

注意事項：

讓學(xué)生用自己的語言進行敘述，培養(yǎng)學(xué)生的表達能力.

第五環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)

活動內(nèi)容：1.如圖中兩條線段a與6的長度相等嗎？請你先觀察，再

度量一下.

答案：a與8的長度相等.

b

2.如圖中三條線段a、b、c,哪一條線段與線段d在同一直線上？請你先觀

察，再用三角尺驗證一下.

答案：線段6與線段d在同一直線上.

3.當(dāng)〃為正整數(shù)時，#+3〃+1的值一定是質(zhì)數(shù)嗎？

答案：經(jīng)驗證：當(dāng)〃為正整數(shù)時，〃2+3〃+1的值一定是質(zhì)數(shù).

第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：

今天這節(jié)課你學(xué)到了什么知識？

參考答案：①要說明一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，無論驗證多少個特殊的例

子，也無法保證其正確性.

②要確定一個數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性，必須進行一步一步、有根有

據(jù)的推理.

活動目的:

通過學(xué)生的總結(jié)，使學(xué)生對證明的必要性有一個清楚的認識，數(shù)學(xué)

杜絕隨意性，數(shù)學(xué)是嚴密的科學(xué).

注意事項：

通過前三個例題的感受以及反饋練習(xí)，學(xué)生都清楚地知道推理、論

證的必要性，了解了數(shù)學(xué)不是一種直觀感受，而是一種嚴密的科學(xué).

第七環(huán)節(jié)鞏固練習(xí)

課本第217頁習(xí)題6.1第2,3題.

四、教學(xué)反思

2.定義與命題（第1課時）

總體說明

在了解推理的重要性以后，從本節(jié)課開始的連續(xù)兩節(jié)課將向?qū)W生簡單

介紹定義、命題、真命題、假命題、公理、定理等一些術(shù)語和名詞，為后

面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，作好鋪墊.

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中接觸了不少的幾何知識，對很多

名詞、概念有了很深刻的認識，本節(jié)課將對學(xué)生傳授定義與命題的基本含

義，學(xué)生對此已經(jīng)有比較多的經(jīng)驗和基礎(chǔ).

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對本節(jié)課將要采取的討論、舉

例說明等學(xué)習(xí)方式有了比較深刻的認識，為今天的學(xué)習(xí)作了必要的鋪墊.

二、教學(xué)任務(wù)分析

在幾何中，有許許多多的定義、定理、公理等概念，還有一些真真假

假的命題需要學(xué)生去辨別、去認識，本節(jié)課安排《定義與證明》旨在讓學(xué)

生對定義、定理、公理等概念有一個清楚的認識和了解，為此，本節(jié)課的

教學(xué)目標(biāo)是：

1.了解定義與命題的含義，會區(qū)分某些語句是不是命題.

2.用比較數(shù)學(xué)化的觀點來審視生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的語句特

征.

3.通過對某些語句特征的判斷學(xué)會嚴謹?shù)乃伎剂?xí)慣.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計思路為：情景引入一一命題含義（情景引入）一一課

堂練習(xí)一一課堂小結(jié)一一課后練習(xí)

第一環(huán)節(jié)：情景引入（由學(xué)生表演）

活動內(nèi)容：

小亮和小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學(xué)》.

小亮說：...

小剛說：“是的，現(xiàn)在因特網(wǎng)廣泛運用于我們的生活中，給我們帶來

了方便，但……”

小亮說：“……”

小剛說：“……”

小亮說：“哈！，這個黑客終于被逮住了.”……

坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄議論著：

一人說：“這黑客是個小偷吧？”

另一人說：“可能是喜歡穿黑衣服的賊.”……

一人說：“那因特網(wǎng)肯定是一張很大的網(wǎng).”

另一人說：“估計可能是英國造的特殊的網(wǎng).”……（表演結(jié)束）

教師提出問題：在這個小品中，你得到什么啟示？

（人與人之間的交流必須在對某些名稱和術(shù)語有共同認識的情況下才

能進行.為此，我們需要給出它們的定義.）

這家等*個/可能是4址

小病七？**長展的殘.

①關(guān)于“黑客”對話的片斷來引入生活中交流時必須對某些名稱和術(shù)

語有共同的認識才能進行；

②對定義含義的解釋；

③舉例說明生活中和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所熟知的定義（學(xué)生舉例，看哪個小組

的舉例又多又好）；

活動目的：

讓學(xué)生通過對一個學(xué)生比較感興趣的名詞：“黑客”、“因特

網(wǎng)”的不同理解，從而使學(xué)生了解定義的含義.

教學(xué)效果：

很多學(xué)生對黑客的概念是很熟悉的，而小品中出現(xiàn)的黑客的定義

與自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此產(chǎn)生了對定義的興趣.

第二環(huán)節(jié)：命題含義（情景引入）

活動內(nèi)容：

①師：如果B處水流受到污染，那么__一處水流便受到污染；

如果C處水流受到污染，那么__處水流便受到污染；

如果D處水流受到污染，那么一處水流便受到污染；

②學(xué)生自編自練：如果__一處水流受到污染，那么___一處

水流便受到污染.

(［生甲］如果8處工廠排放污水，那么從B、C、〃處便會受到污染.

［生乙］如果8處工廠排放污水，那么￡、F、G處也會受到污染的.

［生丙］如果。處受到污染，那么從B、。處便受到污染.

［生?。萑绻鸆處受到污染，那么〃處也會受到污染的.

［生戊1如果《處受到污染，那么4、B處便會受到污染.

［生己］如果H處受到污染，我認為是力處的那個工廠或6處的那個工廠

排放了污水.因為A處工廠的水向下游排放，6處工廠的污水也向下游排放.

老師歸納：同學(xué)們在假設(shè)的前提條件下，對某一處受到污染作出了判斷.

像這樣，對事情作出判斷的句子，就叫做命題.

即：命題是判斷一件事情的句子.如：

熊貓沒有翅膀.

對頂角相等.

大家能舉出這樣的例子嗎？

［生甲］兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

［生乙］無論〃為任意的自然數(shù)，式子的值都是質(zhì)數(shù).

［生丙］內(nèi)錯角相等.

［生?。萑我庖粋€三角形都有一個直角.

［生戊］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相

平行.

［生己］全等三角形的對應(yīng)角相等.

［師］很好.大家舉出許多例子，說明命題就是肯定一個事物是什么

或者不是什么，不能同時既否定又肯定，如：

你喜歡數(shù)學(xué)嗎？

作線段AB=a.

平行用符號“〃”表示.

這些句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它們就不是命題.

一般情況下：疑問句不是命題.圖形的作法不是命題.)

活動目的：

通過對水流的污染問題引入命題的概念，使學(xué)生了解命題的含

義，會判斷某些語句是不是命題.

教學(xué)效果：

命題的判斷只有兩種形式，要么肯定，要么否定。作判斷時，必

須涇渭分明，不能模棱兩可；二是命題的句子只能是完整的句子，對一件

事情的前因后果應(yīng)敘述完整。從語法上講，它應(yīng)是陳述句，不能是祈使

句、疑問句或感嘆句.

第三環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)

活動內(nèi)容：

1.你能列舉出一些命題嗎？

答案：能?舉例略.

2.舉出一些不是命題的語句.

答案：如：①畫線段力用3cm.

②兩條直線相交，有幾個交點？

③等于同一個角的兩個角相等嗎？

④在射線0A上，任取兩點B、C.等等.

活動目的：

訓(xùn)練與反饋

教學(xué)效果:

一般都能正確解答。

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：

①定義的含義：對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，就是它

們的定義；

②命題的含義：判斷一件事情的句子，叫做命題，如果一個句子沒有對某

一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題.

活動目的：

通過課后的總結(jié)，使學(xué)生對定義、命題等概念有更清楚的認

識，讓學(xué)生在頭腦中對本節(jié)課進行系統(tǒng)的歸納與整理.

教學(xué)效果：

學(xué)生在有了前面對定義、特別是命題概念的學(xué)習(xí)后，能了解命題

的結(jié)構(gòu)，以及哪些是命題，使學(xué)生對命題的學(xué)習(xí)有了清楚的認識。

第五環(huán)節(jié)課后練習(xí)

學(xué)習(xí)小組搜集八年級數(shù)學(xué)課本中的新學(xué)的部分定義、命題，看誰

找得多.

四、教學(xué)反思

2.定義與命題（第2課時）

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)對命題的含義有所了

解，并且已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些公理和定理，為公理化思想的培養(yǎng)作好了充分準(zhǔn)

備.

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：有了上一節(jié)的活動基礎(chǔ)，學(xué)生對本節(jié)課主要采取

學(xué)生分組交流、討論、舉例說明的學(xué)習(xí)方式有比較好的活動經(jīng)驗.

二、教學(xué)任務(wù)分析

在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對命題的概念有了清楚的認識，但學(xué)生對

于命題的構(gòu)造，什么是真命題，什么是假命題還不甚了解，本節(jié)課旨在讓

學(xué)生對真假命題有一個清楚的認識，從而進一步了解定理、公理的概念，

為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.了解命題中的真命題、假命題、定理的含義；

2.解命題的構(gòu)成，能區(qū)分命題中的條件和結(jié)論。

3.經(jīng)歷實際情境，初步體會公理化思想和方法，了解本教材所采用的

公理.

4.培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力。

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計分為五個環(huán)節(jié)：回顧引入一一探索命題的結(jié)構(gòu)一一思

考探討一一讀一讀一一課堂反思與小結(jié).

第一環(huán)節(jié)：回顧引入

活動內(nèi)容：

①什么叫做定義？舉例說明.②什么叫命題？舉例說明.

活動目的：回顧上節(jié)知識，為本節(jié)課的展開打好基礎(chǔ).

教學(xué)效果：

學(xué)生舉手發(fā)言，提問個別學(xué)生.

第二環(huán)節(jié)：探索命題的結(jié)構(gòu)

活動內(nèi)容：

①探討命題的結(jié)構(gòu)特征

觀察下列命題，發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)構(gòu)有什么共同特征？

(1)如果兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.

(2)如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩個底角相

等.

(3)如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平

行四邊形.

(4)如果一個四邊的對角線相等，那么這個四邊形是矩形.

(5)如果一個四邊形的兩條對角線互相垂直，那么這個四邊形是菱

形.

②總結(jié)命題的結(jié)構(gòu)特征

(1)上述命題都是“如果……，那么……”的形式.

(2)“如果……”是已知的事項，“那么……”是由已知事項推斷

出的結(jié)論.

(3)一般地命題都可以寫成“如果……，那么……”的形式，其中

“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的結(jié)論，每個命題都有條件

和結(jié)論.

活動目的：對命題的結(jié)構(gòu)進行分析，讓學(xué)生會判斷一個命題的條件和結(jié)

論.

教學(xué)效果：

分小組交流討論，教師引導(dǎo)進行歸納.

應(yīng)告誡學(xué)生當(dāng)一個命題改寫成“如果……那么……”的形式時，

要注意改寫時不要機械地添上“如果”和“那么”，應(yīng)適當(dāng)?shù)匮a充一些修

飾語句，使改寫后的語句通順，完整。

第三環(huán)節(jié)：思考探討

活動內(nèi)容:

①找出下述命題中的條件和結(jié)論，指出它們哪些是正確的命題？哪些

是不正確的命題？你又是如何知道的呢？

(1)如果兩個角相等，那么它們是對頂角；

(2)如果a>6,b>c,那么a=c；

(3)兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

(4)菱形的四條邊都相等；

(5)全等三角形的面積相等.

②探究真假命題的驗證

說明一個命題是假命題，通常舉出一個反例就可以了，使之具備命題

的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例，但是要說明一個命題

是正確的無論驗證多少個特例，也無法保證命題的正確性.如何驗證命題

的正確性呢？

結(jié)論：正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

活動目的：使學(xué)生了解命題有真假之分，并且知道怎樣去判斷真假命題。

教學(xué)效果：

分組交流、討論、教師引導(dǎo)使得學(xué)生形成共識.

在對前面5個命題的真?zhèn)芜M行判斷的基礎(chǔ)上，大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)對

命題的真假性有了初步的判斷，但有部分學(xué)生誤認為假命題不是命題.

第四環(huán)節(jié)：讀一讀

活動內(nèi)容：

①介紹《幾何原本》、公理、定理等知識.

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題.公元前3世紀，人

們已經(jīng)積累了大量知識，在此基礎(chǔ)上，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德(公元前

300前后)編寫了一本書，書名叫《原本》，為了說明每一結(jié)論的正確

性，他在編寫這本書時進行了大膽創(chuàng)新，挑選了一部分數(shù)學(xué)名詞和一部分

公認的真命題作為證實其它命題的起始依據(jù)，其中的數(shù)學(xué)名詞稱為原名，

公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他真命題的正確性都通過推理的

方法證實，推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理，而證明所

需要的定義、公理和其他定理都編寫在要證明的這個定理的前面.

《原本》問世之前，世界上還沒有一本數(shù)學(xué)書籍象《原本》這樣編

排，因此，《原本》是一部具有劃時代意義的著作.

②公理、定理、概念和證明的關(guān)系.

③介紹本教材的公理.

1.兩點確定一條直線。

2.兩點之間線段最短。

3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直

線平行.

5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

6.兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

7.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

8.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

此八條基本事實前面已詳細探索過，不必驗證它們的正確性，可以直

接用來證實其它命題的正確性，另外一條我們將在以后認識它。此外等式

和不等式的有關(guān)性質(zhì)也可看作公理.比如：如果a=b,b=c,那么a=c.

④讀一讀《原本與幾何原本》

活動目的：培養(yǎng)學(xué)生公理化思想和方法，養(yǎng)成科學(xué)、嚴謹思維習(xí)慣.

教學(xué)效果：

采取教師講解與學(xué)生習(xí)讀相結(jié)合的方式.

第五環(huán)節(jié)：課堂反思與小結(jié)

教學(xué)效果：

學(xué)生能自行歸納本節(jié)課的知識，形成了較為清晰的知識脈絡(luò)。

課后練習(xí)：課本第227頁習(xí)題6.3第1、2、3題

四、教學(xué)反思

3.平行線的判定

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生對平行線的判定已經(jīng)比較

熟悉，也有了初步的邏輯推理能力，對簡單的證明步驟有較清楚的認識，

這為今天的學(xué)習(xí)奠定了一個良好的基礎(chǔ).

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生對動手操作、猜

想、說理、討論等活動形式比較熟悉，本節(jié)課主要采取學(xué)生分組交流、討

論等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生已經(jīng)具備必要的基礎(chǔ).

二、教學(xué)任務(wù)分析

在以前的幾何學(xué)習(xí)中，主要是針對幾何概念、運算以及幾何的初步證

明（說理），在學(xué)生的頭腦中還沒有形成一個比較系統(tǒng)的幾何證明體系，

本節(jié)課安排《為什么它們平行》旨在讓學(xué)生從簡單的幾何證明入手，逐步

形成一個初步的、比較清晰的證明思路，為此，本課時的教學(xué)目標(biāo)是：

1.熟練掌握平行線的判定公理及定理；

2.能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應(yīng)用于幾何證明

中.

通過經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，逐步

掌握規(guī)范的推理論證格式.

3.通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動，給學(xué)生滲透化

歸思想和分類思想.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情景引入一一探索平行線判定方法的證

明一一反饋練習(xí)一一反思與小結(jié).

第一環(huán)節(jié)：情景引入

活動內(nèi)容：

回顧兩直線平行的判定方法

師：前面我們探索過直線平行的條件.大家來想一想：兩條直線在什

么情況下互相平行呢？

生1：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就叫做平行線.

生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行.

生3：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互

補兩直線平行.

師：很好.這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活

動得到的.

上節(jié)課我們談到了要證實一個命題是真命題.除公理、定義外，其他

真命題都需要通過推理的方法證實.

我們知道：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”是定

義.“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平

行”是公理.那其他的三個真命題如何證實呢？這節(jié)課我們就來探討.

活動目的：

回顧平行線的判定方法，為下一步順利地引出新課埋下伏筆.

教學(xué)效果：

由于平行線的判定方法是學(xué)生比較熟悉的知識，教師通過對話的形

式，可以使學(xué)生很快地回憶起這些知識.

第二環(huán)節(jié)：探索平行線判定方法的證明

活動內(nèi)容：

①證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么

這兩條直線平行.

師：這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖

形和符號語言.所以根據(jù)題意，可以把這個文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式：

如圖，已知，N1和N2是直線a、6被直線c截出的同旁內(nèi)角，且N1與

N2互補，求證：a//b.

如何證明這個題呢？我們來分析分析.

師生分析：要證明直線a與6平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證

明.這時從圖中可以知道：N1與N3是同位角，所以只需證明N1=N3,

則a與6即平行.

因為從圖中可知N2與N3組成一個平角，即N2+N3=180°,所以：

Z3=180°-Z2.又因為已知條件中有N2與N1互補，即：

N2+Nl=180°,所以Nl=180°-/2,因此由等量代換可以知道：

Z1=Z3.

師：好.下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫.（在書寫的

同時說明：符號“：”讀作“因為”，“???”讀作“所以”）

證明：VZ1與N2互補（已知）AZl+Z2=180°（互補定義）

AZl=180°-Z2（等式的性質(zhì)）VZ3+Z2=180°（平角定

義）

AZ3=180°-Z2（等式的性質(zhì)）

AZ1=Z3（等量代換）

（同位角相等，兩直線平行）

這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命

題稱為：直線平行的判定定理.

這一定理可簡單地寫成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

注意：（1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依

據(jù).用來證明新定理.（2）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想

當(dāng)然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的

定理.在初學(xué)證明時.，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi).

②證明：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

師：小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？

（見相關(guān)動畫）

生：我認為他的作法對.他的作法可用上圖來表示：

NC上45°,N灰戶45°.因為/區(qū)次與/加組成一個平角，所以

/曲=180。一/龐芹180°-45°=135°.而與/曲是同旁內(nèi)

角.且這兩個角的和為180°,因此可知：CD//AB.

4H-A

BE

師：很好.從圖中可知：N5?與/比8是內(nèi)錯角.因此可知：“內(nèi)錯角

相等，兩直線平行”是真命題.下面我們來用規(guī)范的語言書寫這個真命題

的證明過程.

師生分析：已知，N1和N2是直線a、6被直線c截出的內(nèi)錯角，且

Z1=Z2.

求證：a//b

證明：VZ1=Z2（已知）Zl+Z3=180°（平角定義）

.,.Z2+Z3=180°（等量代換），N2與N3互補（互補的

定義）

（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直

線平行.

③借助“同位角相等，兩直線平行”這一公理，你還能證明哪些熟悉的

結(jié)論呢？

生1：已知，如圖，直線aJ_c,8_Lc.求證：a//b.

證明：???a_Lc"_Lc（已知）

AZ1=90°Z2=90°（垂直的定義）

AZ1=Z2（等量代換）

（同位角相等，兩直線平行）

生2：由此可以得到：“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條

直線平行”的結(jié)論.

師：同學(xué)們討論得真棒.下面我們通過練習(xí)來熟悉掌握直線平行的判定定

理.

活動目的：

通過對學(xué)生熟悉的平行線判定的證明，使學(xué)生掌握平行線判定公

理推導(dǎo)出的另兩個判定定理，并逐步掌握規(guī)范的推理格式.

教學(xué)效果：

由于學(xué)生有了以前學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識，對幾何證明題的格式有所

了解，今天的學(xué)習(xí)只不過是將原來的零散的知識點以及學(xué)生片面的認識進

行歸納，學(xué)生的認識更提高一步.

第三環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)

活動內(nèi)容：

課本第231頁的隨堂練習(xí)第一題

活動目的：

鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，讓教師能對學(xué)生的狀況進行分析，以便調(diào)整

刖進.

教學(xué)效果：

由于此題只是簡單地運用到平行線的判定的三個定理（公理），因

此，學(xué)生都能很快完成此題.

第四環(huán)節(jié)：學(xué)生反思與課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：

①這節(jié)課我們主要探討了平行線的判定定理的證明.同學(xué)們來歸納一下

完成下表：

野定文字敘述符號語言圖形

同位角相

第

等,兩直線已知）

種

平行:）

向旁內(nèi)角互VZ24-Z4-

第

二補，兩直就】80,己知）

種

平行二“M）

內(nèi)情角相VZ2-

第

等，兩直戲N3（已知）

平行

②由角的大小關(guān)系來證兩直線平行的方法，再一次體現(xiàn)了“數(shù)”與

“形”的關(guān)系；而應(yīng)用這些公理、定理時，必須能在圖形中準(zhǔn)確地識別出

有關(guān)的角.

③注意：證明語言的規(guī)范化.推理過程要有依據(jù).

活動目的：

通過對平行線的判定定理的歸納，使學(xué)生的認識有進一步的升

華，再一次體會證明格式的嚴謹，體會到數(shù)學(xué)的嚴密性.

教學(xué)效果：

學(xué)生充分認識到證明步驟的嚴密性，對平行線判定的三個定理有了

更進一步的認識.

課后作業(yè)：課本第232頁習(xí)題6.4第1,2,3題

思考題：課本第233頁習(xí)題6.4第4題（給學(xué)有余力的同學(xué)做）

四、教學(xué)反思

平行線是眾多平面圖形與空間圖形的基本構(gòu)成要素之一，它主要借助

角來研究兩條直線之間的位置關(guān)系，即通過兩條直線與第三條直線相交所

成的角來判定兩條直線平行與否，在教學(xué)中，要緊緊圍繞這些角（同位

角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）與平行線之間的關(guān)系展開。

學(xué)生初學(xué)證明時.，對于證明中的每一步的因果關(guān)系很茫然，有的學(xué)生

盡管頭腦中對每一步的前因后果都比較清楚，但寫出來的證明過程前后沒

有因果關(guān)系，這需要教師在學(xué)生剛接觸證明題時.，再三強調(diào)這一點。對于

初學(xué)者而言，為了更好地掌握推理方法，要保證推理有根有據(jù)，上一步的

因與下一步的果的因果關(guān)系明確，保證證明過程層次分明、條理清楚。

4.平行線的性質(zhì)

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生對平行線的性質(zhì)已經(jīng)比較

熟悉，也有了初步的邏輯推理能力，特別是上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對簡

單的證明步驟有了更為清楚的認識，這為今天的學(xué)習(xí)奠定了一個良好的基

礎(chǔ).

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在以往的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生對動手操作、猜想、

說理、討論等活動形式比較熟悉，本節(jié)課主要采取學(xué)生分組交流、討論等

學(xué)習(xí)方式，學(xué)生已經(jīng)具備必要的基礎(chǔ).

二、教學(xué)任務(wù)分析

在以前的幾何學(xué)習(xí)中，主要是針對幾何概念、運算以及兒何的初步證

明（說理），在學(xué)生的頭腦中還沒有形成一個比較系統(tǒng)的幾何證明體系，

上一節(jié)課安排的《為什么它們平行》和本節(jié)課安排的《如果兩條直線平

行》旨在讓學(xué)生從簡單的幾何證明（平行線的判定與性質(zhì)）入手，逐步形

成一個更為清晰的證明思路，為此，本課時的教學(xué)目標(biāo)是：

1.認識平行線的三條性質(zhì)。

2.能熟練運用這三條性質(zhì)證明幾何題。

3.進一步理解和總結(jié)證明的步驟、格式、方法.

4.了解兩定理在條件和結(jié)構(gòu)上的區(qū)別，體會正逆的思維過程.

5.進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情境引入一一探索與應(yīng)用一一反饋練習(xí)

一-反思與小結(jié)

第一環(huán)節(jié)：情境引入

活動內(nèi)容：

一條公路兩次拐彎后，和原來的方向相同，第一次拐的角NB是

130°,第二次拐的角NC是多少度？

B

說明：這是一個實際問題，要求出NC的度數(shù)，需要我們研究與判定相反

的問題，即已知兩條直線平行，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角有什么關(guān)系，

也就是平行線的性質(zhì).

活動目的：

通過對一個實際問題的解決，引出平行線的性質(zhì)。

教學(xué)效果：

由于學(xué)生對平行線的性質(zhì)比較熟悉，因此，在學(xué)生回憶起這些知

識后，能很快解決實際問題。

第二環(huán)節(jié)：探索與應(yīng)用

活動內(nèi)容：

①畫出直線AB的平行線CD,結(jié)合畫圖過程思考畫出的平行線，被

第三條直線所截的同位角的關(guān)系是怎樣的？

②平行公理：兩直線平行同位角相等.

③兩條平行線被第三條直線所截，同位角是相等的，那么內(nèi)錯

角、同旁內(nèi)角有什么關(guān)系呢？

?.,a〃b（已知），

.?.N1=N2（兩條直線平行，同位角相等）

=對頂角相等），

二/2=/3（等量代換）.

師：由此我們又得到了平行線有怎樣的性質(zhì)呢？

學(xué)生活動：同學(xué)們積極舉手回答問題.

教師根據(jù)學(xué)生敘述，給出板書：兩條平行線被第三條直線所截，

內(nèi)錯角相等.

師：下面請同學(xué)們自己推導(dǎo)同旁內(nèi)角是互補的.并歸納總結(jié)出平

行線的第三條性質(zhì).請一名同學(xué)到黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上完

成.師生共同訂正推導(dǎo)過程并寫出第三條性質(zhì)，形成正確板書.

?；a〃b（已知）

.?.N1=N2（兩直線平行，同位角相等）

???Zl+Z4=180°（鄰補角定義）

.,.Z2+Z4=180°（等量代換）

即：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，簡單說成，兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補

師：我們知道了平行線的性質(zhì)，在今后我們經(jīng)常要用到它們?nèi)ソ鉀Q、論述

一些問題，所需要知道的條件是兩條直線平行，才有同位角相等，內(nèi)錯角

相等，同旁內(nèi)角互補，即它們的符號語言分別為：

??.N1=N2（兩直線平行,同位角相等）.

?；a〃b（已知），

.?.N2=N3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

?；a〃b（已知）,

...N2+N4=180°.（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

(板書在三條性質(zhì)對應(yīng)位置上)

活動目的：

通過對平行線性質(zhì)的探索，使學(xué)生對證明的步驟、格式有更進一

步的認識，認識證明的必要性。

教學(xué)效果：

在前面復(fù)習(xí)引入的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生的觀察、分析、討論，此時

學(xué)生已能夠進行推理，在這里教師不必包辦代替，充分調(diào)動學(xué)生的主動性

和積極性，進而培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，在學(xué)生有成就感的同時也激勵

了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)

活動內(nèi)容：

①已知平行線AB、CD被直線AE所截

BzDzBL----------------------

(1)若Nl=110°,可以知道N2是多少度嗎？為什么？

(2)若Nl=110°,可以知道N3是多少度嗎？為什么？

(3)若Nl=110°,可以知道N4是多少度嗎，為什么？

②變式訓(xùn)練：如圖是梯形有上底的一部分，已知量得NA=115°,ZD=

100°,梯形另外兩個角各是多少度？

解：?；AD〃BC(梯形定義)，

.-.ZA+ZB=180°.ZC+ZD=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)，

.\ZB=180°-ZA=180°-115°=65°.

AZC=180°-ZD=180°-100°=80°.

③變式練習(xí)：如圖，已知直線DE經(jīng)過點A,DE/7BC,NB=44°,NC=

57°

DE

23\4

(l)NDAB等于多少度？為什么？

(2)NEAC等于多少度？為什么？

(3)NBAC、NBAC+NB+NC各等于多少度？

④如圖，A、B、C、D在同一直線上，AD/7EF.

(1)ZE=78°時，Nl、N2各等于多少度？為什么？

(2)NF=58°時;N3、N4各等于多少度？為什么？

活動目的：

通過學(xué)生對證明的螺旋式上升的認識，更認識到數(shù)學(xué)嚴密性與證

明的必要性，做到每一步都有根有據(jù)。

教學(xué)效果：

在教師不給任何提示的情況下，學(xué)生獨立完成，把理由寫成推理格

式.對于學(xué)習(xí)困難一點的同學(xué)允許他們相互之間討論后，再試著在練習(xí)本

上寫出解題過程.對學(xué)生中出現(xiàn)的不同解法給予肯定，培養(yǎng)學(xué)生的解題能

力.

第四環(huán)節(jié)：課堂反思與小結(jié)

活動內(nèi)容：

①歸納兩直線平行的判定與性質(zhì)

1.同位角相等

性質(zhì)

兩直線平行2.內(nèi)錯角相等

判定3.同旁內(nèi)角互補

②總結(jié)證明的一般思路及步驟

活動目的：

使學(xué)生認識到平行線的判定與性質(zhì)是一對互逆定理，并由感性認識

上升到理性認識，歸納總結(jié)出證明題的一般思路及步驟。

教學(xué)效果：

應(yīng)讓學(xué)生積極討論，說出平行線的判定及性質(zhì)，由角的關(guān)系得到兩

條直線平行的結(jié)論是平行線的判定，反過來，由已知直線平行，得到角相

等或互補的結(jié)論是平行線的性質(zhì)，能通過具體實例，使學(xué)生在有充足的感

性認識的基礎(chǔ)上上升到理性認識，總結(jié)出平行線性質(zhì)與判定的不同，總結(jié)

證明的一般步驟，養(yǎng)成嚴謹?shù)耐评砹?xí)慣.

課后練習(xí)：課本第236頁的習(xí)題6,5第1,2,3題

四、教學(xué)反思

語言是思維的工具，要學(xué)好證明，必須學(xué)會語言的表達和運用，初學(xué)

幾何證明題時.，學(xué)生對于幾何語言不甚清楚，兒何語言分為文字語言、符

號語言和圖形語言，老師有必要強調(diào)：將圖形語言和符號語言相結(jié)合是學(xué)

好證明的基本功，畫圖時按要求將符合題意的圖形畫出來。但要注意以下

幾點：

(1)注意所畫圖形的多種情況；

(2)能根據(jù)題意畫出簡單的圖形，掌握“題”與“圖”的對應(yīng)關(guān)

系，一般圖形不要畫成特殊圖形，否則就意味著人為增加了已知條件，

反之，特殊圖形也不要畫成一般圖形，這兩種做法都沒有真實的表達題

意；

(3)圖形力求準(zhǔn)確，便于觀察，有利于解題。

5.三角形內(nèi)角和定理(第1課時)

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)生在以前的幾何學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的

判定定理與平行線的性質(zhì)定理以及它們的嚴格證明，也熟悉三角形內(nèi)角和

定理的內(nèi)容，而本節(jié)課是建立在學(xué)生掌握了平行線的性質(zhì)及嚴格的證明等

知識的基礎(chǔ)上展開的，因此，學(xué)生具有良好的基礎(chǔ)。

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：本節(jié)課主要采取的活動形式是學(xué)生非常熟悉的

自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生具有較熟悉的活動經(jīng)驗.

二、教學(xué)任務(wù)分析

上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于平行線的判定定理和性質(zhì)定理以及與平

行線相關(guān)的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經(jīng)具有初步的幾何意識，

形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，木節(jié)課安排《三角形內(nèi)角和定理

的證明》旨在利用平行線的相關(guān)知識來推導(dǎo)出新的定理以及靈活運用新的

定理解決相關(guān)問題。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應(yīng)用。

2.靈活運用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問題。

3.用多種方法證明三角形定理，培養(yǎng)一題多解的能力。

4.對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作

用.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情境引入一一探索新知一一反饋練習(xí)-

一課堂小結(jié)

第一環(huán)節(jié)：情境引入

活動內(nèi)容：（1）用折紙的方法驗證三角形內(nèi)角和定理.

實驗1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點落在對邊上，折

線與對邊平行（圖6—38（1））然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點與已

折角的頂點相嵌合（圖（2）、（3））,最后得圖（4）所示的結(jié)果

c

(1)(2)(

3)(4)

試用自己的語言說明這一結(jié)論的證明思路。想一想，還有其它折法

嗎？

(2)實驗2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。

試用自己的語言說明這一結(jié)論的證明思路。想一想，如果只剪下一

個角呢？

活動目的：

對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。

將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號語言對于學(xué)生來說還存在一定困難，因此需要一

個臺階，使學(xué)生逐步過渡到嚴格的證明.

教學(xué)效果：

說理過程是學(xué)生所熟悉的，因此，學(xué)生能比較熟練地說出用撕紙

的方法可以驗證三角形內(nèi)角和定理的原因。

第二環(huán)節(jié)：探索新知

活動內(nèi)容：

①用嚴謹?shù)淖C明來論證三角形內(nèi)角和定理.

②看哪個同學(xué)想的方法最多？

方法一：過A點作DE〃BC

VDE#BC

...NDAB=NB,ZEAC=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

,/ZDAB+ZBAC+ZEAC=180°

.\ZBAC+ZB+ZC=180o（等量代換）

方法二：作BC的延長線CD,過點C作射線CE〃BA.

?；CE〃BA

.\ZB=ZECD（兩直線平行，同位角相等）

ZA=ZACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

,/ZBCA+ZACE+ZECD=180°

.\ZA+ZB+ZACB=180o（等量代換）

活動目的：

用平行線的判定定理及性質(zhì)定理來推導(dǎo)出新的定理，讓學(xué)生再次

體會幾何證明的嚴密性和數(shù)學(xué)的嚴謹，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

教學(xué)效果：

添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結(jié)論，需要引用某個定

義、公理、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時就需要添輔

助線創(chuàng)造條件，以達到證明的目的.

第三環(huán)節(jié)：反饋練習(xí)

活動內(nèi)容：

(1)Z\ABC中可以有3個銳角嗎？3個直角呢？2個直角呢？若有

1個直角另外兩角有什么特點？

(2)AABC中，ZC=90°,ZA=30°,ZB=?

(3)ZA=50°,ZB=ZC,則aABC中NB=?

(4)三角形的三個內(nèi)角中，只能有____個直角或____個鈍角.

(5)任何一個三角形中，至少有___個銳角；至多有_____個銳角.

(6)三角形中三角之比為1：2：3,則三個角各為多少度？

(7)已知：AABC中，NC=NB=2NA。

(a)求NB的度數(shù)；

(力若BD是AC邊上的高，求NDBC的度數(shù)？

活動目的：

通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理

的概念是否清楚，能否靈活運用三角形內(nèi)角和定理，以便教師能及時地進

行查缺補漏.

教學(xué)效果：

學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好

地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題。

第四環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：

③證明三角形內(nèi)角和定理有哪幾種方法？

④輔助線的作法技巧.

⑤三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用.

活動目的：

復(fù)習(xí)鞏固本課知識，提高學(xué)生的掌握程度.

教學(xué)效果：

學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理的幾種不同的證明方法的理解比較深

刻，并能熟練運用三角形內(nèi)角和定理進行相關(guān)證明.

課后練習(xí)：課本第239頁隨堂練習(xí)；第241頁習(xí)題6.6第1,2,3題

四、教學(xué)反思

三角形的有關(guān)知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，

它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具

和基礎(chǔ).而三角形內(nèi)角和定理又是三角形中最為基礎(chǔ)的知識，也是學(xué)生最

為熟悉且能與小學(xué)、中學(xué)知識相關(guān)聯(lián)的知識，看似簡單，但如果處理不

好，會導(dǎo)致學(xué)生有厭煩心理，為此，本節(jié)課的設(shè)計力圖實現(xiàn)以下特點：

(1)通過折紙與剪紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗，然后從學(xué)生

的直接經(jīng)驗出發(fā)，逐步轉(zhuǎn)到符號化處理，最后達到推理論證的要

求。

(2)充分展示學(xué)生的個性，體現(xiàn)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一主

題。

(3)添加輔助線是教學(xué)中的一個難點，如何添加輔助線則應(yīng)允

許學(xué)生展開思考并爭論，展示學(xué)生的思維過程，然后在老師的引導(dǎo)

下達成共識。

5.三角形內(nèi)角和定理(第2課時)

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生技能基礎(chǔ)：學(xué)生在前面的幾何學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行線的

判定定理與平行線的性質(zhì)定理以及它們的嚴格證明，學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和

定理的證明以及相關(guān)應(yīng)用，有相關(guān)知識的基礎(chǔ)，并具有一定的邏輯思維能

力和嚴謹推理習(xí)慣，為今天的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：本節(jié)課主要采取的活動形式是學(xué)生非常熟悉的自

主探究與合作交流相結(jié)合、實踐和理性證明相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生具有

較熟悉的活動經(jīng)驗.

二、教學(xué)任務(wù)分析

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對于平行線相關(guān)知識以及三角形內(nèi)角和定理的

靈活運用已經(jīng)有了深入的了解，為今天的學(xué)習(xí)奠定了知識基礎(chǔ)，并且他們

已經(jīng)具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力，本節(jié)

課安排《關(guān)注三角形的外角》旨在利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識來推導(dǎo)出新的定

理以及運用新的定理解決相關(guān)問題。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：

1.掌握三角形外角的兩條性質(zhì)；

2.進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧.

3.靈活運用三角形的外角和兩條性質(zhì)解決相關(guān)問題。

4.進一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的幾何

意識。

5.通過在數(shù)學(xué)活動中進行教學(xué)，使學(xué)生能自主地“做數(shù)學(xué)”，特

別是培養(yǎng)有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

三、教學(xué)過程分析

本節(jié)課的設(shè)計分為四個環(huán)節(jié)：情境引入一一探索新知一一反饋練習(xí)-

一課堂反思與小結(jié)

第一環(huán)節(jié)：情境引入

活動內(nèi)容：

在證明三角形內(nèi)角和定理時，用到了把aABC的一邊BC延長得到

ZACD,這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它

的性質(zhì).

活動目的：

引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

注意事項：

教師應(yīng)在學(xué)生充分展示自己的意見之后，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從三角

形的外角的角度進行思考。

第二環(huán)節(jié)：探索新知

活動內(nèi)容：

①三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做

三角形的外角，結(jié)合圖形指明外角的特征有三：

(1)頂點在三角形的一個頂點上.

(2)一條邊是三角形的一邊.

(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線.

②兩個推論及其應(yīng)用

由學(xué)生探討三角形外角的性質(zhì)：

問題1：如圖，AABC中，ZA=70°,ZB=60°,NACD是AABC的一個外

角，能由NA、NB求出NACD嗎？如果能，NACD與NA、NB有什么關(guān)

系？

問題2：任意一個4ABC的一個林角/ACD與NA、ZB的大小會有什么關(guān)

系呢？

BCD

由學(xué)生歸納得出：

推論1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

例1、已知：ZBAF,ZCBD,NACE是aABC的三個外角.

求證：ZBAF+ZCBD+ZACE=360°

分析：把每個外角表示為與之不相鄰的兩個內(nèi)角之和即得證.

證明：（略）.

例2、已知：D是AB上一點，E是AC上一點，BE、CD相交于

F,ZA=62°,ZACD=35°,ZABE=20°.求：（1）NBDC度數(shù)；

⑵NBFD度數(shù).

解：（略）.

活動目的：

通過三角形內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)三角形外角的兩個推論，引導(dǎo)學(xué)生

從內(nèi)和外、相等和不等的不同角度對三角形作更全面的思考.

注意事項：

新的定理的推導(dǎo)過程應(yīng)建立在學(xué)生的充分思考和論證的基礎(chǔ)之上，

教師切勿越俎代庖。

第三環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)

活動內(nèi)容：

（4）已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角NEAC,

ZB=ZC.求證：AD〃BC

E+，

分析：要證明力〃〃6C只需證明“同位角相等"，即需證明N〃4￡=N6.

證明：?..Ng4eN6+NC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和）

/#NC（已知）

盾/口C（等式的性質(zhì)）

?.."平分NBC（已知）

...NZM￡=N￡4C（角平分線的定義）

:.NDAE=NB（等量代換）

.?.49〃8c（同位角相等，兩直線平行）

想一想，還有沒有其他的證明方法呢？

這個題還可以用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來證.

證明：???/屈華/伊NC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和）

N/NC（已知）

J.ZOZEAC（等式的性質(zhì)）

?.,力。平分Ng4C（已知）

：.ZDAC=ZEAC（角平分線的定義）

:./DAO/C（等量代換）

.?./，〃8c（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

還可以用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”來證.

證明：???/口0N8+NC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和）

/后NC（已知）

：.AC=AEAC（等式的性質(zhì)）

?.3。平分NE4c（已知）

：.ADAOZEAC

：.￡DAC=￡C（等量代換）

ZB+ZBAC+Z0180°

：.ZB+ZBAC+ZDAC=180°

即：NB+NDAB=180°

.?"〃〃仇?（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

②已知：如圖，在三角形ABC中，N1是它的一個外角，E為邊AC上一

點，延長BC到D,連接DE.求證：Z1>Z2.

證明：???/I是。的一個外角（已知）

.\Z1>ZACB（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）

?；NACB是△（；/唐的一個外角（已知）

...NACB>N2（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）

AZ1>Z2（不等式的性質(zhì)）

③.如圖，求證：（1）/BDO/A.

（2）仆N4

B

D

如果點〃在線段8C的另一側(cè)，結(jié)論會怎樣？

［分析］通過學(xué)生的探索活動，使學(xué)生進一步了解輔助線的作法及重

要性，理解掌握三角形的內(nèi)角和定理及推論.

證法一：（1）連接4。，并延長力。，如圖，則N1是△?!加的一個外

角，N2是△467?的一個外角.

AZ1>Z3.

Z2>Z4（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）

/.Z1+Z2>Z3+Z4（不等式的性質(zhì)）

即：NBDONBAC.

（2）連結(jié)力〃，并延長/〃，如圖.

則N1是△/!劭的一個外角，N2是的一個外角.

：.Z1=Z3+ZB

N2=N4+NC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

...Nl+N2=/3+N4+N6+NC（等式的性質(zhì)）即：

ZB￡)<=ZB+ZC+ZBAC

B

證法二：（1）延長班交4c于后（或延長空交48于后）,如圖.

則是△C出的一個外角.

/.ABDOADEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)

角）

?.?/?！?。是4力筋的一個外角（已作）

:.乙DEO乙A（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角）

：.ABDOAA（不等式的性質(zhì)）

（2）延長加交47于￡,則是△加下的一個外角.

二4BDC=4C+4DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角

的和）

,?是△力班■的一個外角

.?./應(yīng)'俏N/+N6（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

:./BDOCB+乙彼/BAC（等量代換）

活動目