2020-2021學(xué)年常州市溧陽市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年常州市灤陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)a,b是兩條直線，a,/?是兩個(gè)平面，且a1a,b1貝!J"a1夕”是“a1b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知等差數(shù)列除/*中，%開/-%；=1虬漓也一逸=4,記虱=：%#蜘-H-…H■迎，S3=（）

A.78B.68C.56D.52

3.不等式一2/+%+3〈0的解集是（）

qq

A.{x|-1<x<-}B.{x\x<-1或x>-}

C.{x\x<-1或x>1}D.{x\-^<x<l}

4.“貪吃蛇”的游戲中，設(shè)定貪吃蛇從原點(diǎn)出發(fā)，沿著如圖所示的逆時(shí)針方向螺旋式前進(jìn)，不停

的吞食沿途的每一個(gè)格點(diǎn)（不包括原點(diǎn)）.已知貪吃蛇的初始長為0,并且每吞食一個(gè)格點(diǎn)，長度就

增加1個(gè)單位，如它頭部到達(dá)點(diǎn)22（2,2）,其長度增加到12,若當(dāng)它頭部到達(dá)點(diǎn)Pg（9,9）時(shí)，則它

的長度增加到（）

5.已知正四棱錐S-28C。的側(cè)棱長與底面邊長都等于2,點(diǎn)￡■是棱SB的中點(diǎn)，則直線4E與直線SD

所成的角的余弦值為（）

A農(nóng)B."C.但D.如

2323

6.已知6、尸2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段居尸2為一邊的正方形4BF2a與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且M,

N分別為邊的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）

A.V3-1B.V5-1C.旦D.紅

22

22

7.設(shè)雙曲線C：土—匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi、F,過FI的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，其

8m=2

中M在左支上，N在右支上.若乙F2MN=LFzNM,則|MN|=（）

A.8B.4C.8V2D.4A/2

8.設(shè)點(diǎn)P是圓C：（x+4）2+（y—2）2=5上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的最大值為（）

A.V5B.2V5C.3V5D.4遮

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.已知a>0,b>0,a+b=l,對(duì)于代數(shù)式（1+今（1+》，下列說法正確的是（）

A.最小值為9B.最大值是9

C.當(dāng)a=b=襯取得最小值D.當(dāng)a=b=封取得最大值

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.在△ABC中，若A>B,則sinA>sinB

B,在銳角三角形ABC中，不等式廬+c2-a2>0恒成立

C.在△ABC中，若acosB—bcosA=c,則△ABC是直角三角形

D.在AABC中，若b=3,A=60°,S&ABC=35則△ABC的外接圓半徑為當(dāng)

22

11.已知4B是雙曲線C：京—翥=l（a>03>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C的右支

上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記P4PB的斜率分別為七，k2,且滿足自42=9,則下列說法正確

的是（）

A.雙曲線C的離心率為2

B.雙曲線C的漸近線方程為、=土號(hào)光

2

C.若依用的最小值為4,則雙曲線方程為9—V=1

4

D.存在點(diǎn)P,使得悶+|句=）

12.已知等比數(shù)列｛5｝公比為q,前幾項(xiàng)和為分,且滿足a6=8a3,則下列說法正確的是（）

A.q=2B.衿9

C.S3,S6,S9成等比數(shù)列D.Sn=2an+ar

三、單空題（本大題共4小題，共20?0分）

13.設(shè)平面上向量為=(cosa,sina),(0<a<TT),b=(-py)j若|b五+3|=|五一則角

a的大小為.

C-i

14.在AABC中，2H為BC邊上的高,tan]=m，則過點(diǎn)C,以4H為焦點(diǎn)的雙曲線的離心率為.

15.設(shè)橢圓盤+箕=l(a>b>0)的焦點(diǎn)為0,F2,P是橢圓上一點(diǎn)，且乙F/F2=5,若ABPa的

外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r,當(dāng)R=4r時(shí)，橢圓的離心率為.

2

16.數(shù)列｛%J,an=n-An,若為遞增數(shù)列，貝"的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.若數(shù)列2：cii，a2>廝何>3)中心6N*(l<i<n)且對(duì)任意的2<k<n-1,ak+1+ak_r>

2以恒成立，則稱數(shù)列4為“U—數(shù)列”.

(1)若數(shù)列1,x,y,7為“U-數(shù)列”，寫出所有可能的x、y；

(2)若“U—數(shù)列”4：的，a2,廝中，的=1,an=2017,求九的最大值；

(3)設(shè)他為給定的偶數(shù)，對(duì)所有可能的"U-數(shù)列"A：的,a2,ano,=max｛a1,a2,,anQ],

其中max｛久i，尤2,表示Xi，%2，…，/這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，求M的最小值.

18.如圖，P—4BD和Q—BCD為兩個(gè)全等的正棱錐，且4B,C,D四點(diǎn)共面，其中4B=1,4APB=

90°.

(I)求證：BD1平面APQ；

(□)求直線PB與平面PDQ所成角的正弦值.

19.已知數(shù)列｛即｝是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為?as=81,S2,a3,

。4-S3成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

(2)若,求｛斯?.｝的前幾項(xiàng)和七，并求6的最小值.

從以下所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上，并解答此問題.

①數(shù)列｛%｝滿足：仇=|,3%+1=2r.(neN*)；

②數(shù)列｛,｝的前n項(xiàng)和七=n2(nGN*)；

③數(shù)列｛?。那皫醉?xiàng)和心滿足：6Tn-bn=5(nGN*).

20.如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形,

且側(cè)面PAD1底面4BCD,E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面瓦4C；

(2)若AD=2AB=2,求直線PB與平面4BCD所成角的正切值；

(3)當(dāng)稱為何值時(shí)，PB1AC?

22

21.已知橢圓胃+'=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為a(-c,0)、F2(C,0),是與匕2的等差中項(xiàng)，其中心氏。都

是正數(shù)，過點(diǎn)4(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為當(dāng)

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)4作直線交橢圓于另一點(diǎn)M,求|4M|長度的最大值；

(3)已知定點(diǎn)E(-1,0),直線y=/cc+t與橢圓交于C、。相異兩點(diǎn).證明：對(duì)任意的t>0,都存在實(shí)

數(shù)k,使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn).

22

22.已知F],尸2是橢圓氏京+今=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線

y2=4%的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y=%+百上到焦點(diǎn)F「

F2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖，過點(diǎn)S(0,-｝的動(dòng)直線I交橢圓于4、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M,使以2B為直徑的圓恒過這

個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：由a1a,bLB，aJ_0na_Lb,

若a_La,b1p,alb,可得a與/的二面角為直角，a10,

可得a，a,bl。，貝lj“aJ.段'是“a的充要條件，

故選：C.

利用線面、面面垂直的性質(zhì)與判定即可判斷出關(guān)系.

本題考查了線面、面面垂直的性質(zhì)與判定、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

2.答案：D

■f=4

解桁、#%辦桁J嗨#維一嚓=(?|顏-目IMS,...

解析：試題分析：???,;八，??1?門，??得憐=工,耐I界------娘;=弗.

:癡F=琳|,/=1鬟

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2,等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式.

3.答案：B

解析：解：不等式式一2x2+%+3<0,即2/-%-3>0,即。+1)(2%-3)>0,解得汽<一1或

O

故不等式一2x2+%+3<0的解集是｛%[%<一1或汽>

故選：B.

將不等式變形為。+1)(2%-3)>0,由一元二次不等式的解法得出答案.

本題考查了一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次不等式的求解步驟，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)貪吃蛇的頭部到達(dá)點(diǎn)(幾,九)時(shí)的長度為斯，

則臼=2,

+10，即—=10,

。3=。2+18,即%—。2=18,

以此類推：an-an_r=8n-6,

——2

貝!J有Cln=(Cln—Cln-])+(Gn-1On-2)+……+(。2。1)+的=4n—271,

當(dāng)n=9時(shí)，有cig=306；

故選:B.

根據(jù)題意，設(shè)貪吃蛇的頭部到達(dá)點(diǎn)(心冗)時(shí)的長度為與，歸納分析可得Cln-anT=8踐-6,由累加

法分析可得a“的值，將n=9代入即可得答案.

本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及數(shù)列的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：D

解析：解：如圖,

連接AC,BD,交于0,連接E0,

.-.E0//SD,貝!)直線2E與直線SD所成的角為NAE。.

???正四棱錐S-的側(cè)棱長與底面邊長都等于2,

A0—V2,AE-V3>

在RtA40E中，E0=y]AE2-AO2=(V3)2-(V2)2=1.

,〃cE01V3

???cosZ-AE17O=—=-p=—?

AEy/33

故選：D.

由題意畫出圖形，連接AC,BD,交于0,連接E。，可得E0〃SD,則N4E。為直線4E與直線SD所成

的角，求解直角三角形得答案.

本題考查異面直線所成的角，關(guān)鍵是由異面直線所成角的定義找出角，是中檔題.

6.答案：D

解析：解：連結(jié)MF2,如圖，則正方形28尸2&

的邊長為2c,

M,N分別為邊ZFi，的中點(diǎn)，；?MF1=

c,

由勾股定理可知：MF2=JM母+FH=

yjc2+(2c)2=V5c,

由橢圓定義可知：2a=MF1+MF2=(1+

V5)c，

一、+CcV5-1

二用心率6=二再凝=才，

故選：D.

通過連結(jié)MF2，易得MFI=C,利用勾股定理及橢圓定義計(jì)算即得結(jié)論.

本題考查求橢圓的離心率，涉及勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

7.答案：C

解析：

根據(jù)雙曲線的定義得出|F】M|和|6N|的大小關(guān)系即可.

本題考查拋物線的定義性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合圖形性質(zhì)是解決問題的方法之一.

解：由雙曲線的性質(zhì)可知：|尸2陽=2a=4企，

|&N|-\F2N\=2a=4>②

???|F2M|=\FrM\+4VL=\F2N\+4vL

v乙F2MN=乙F2NM,：.\F2M\=

=\F1M\+8&,

.一.|MN|=\F±N\-\FrM\=8V2.

故選：C.

8.答案：C

解析：

本題考查圓的方程，考查|0P|的最大值，正確利用圓的圖形的特殊性是關(guān)鍵，屬于較易題.

求出圓心與半徑，即可求出|0P|的最大值.

解：圓C：(%+4)2+(y—2)2=5的圓心坐標(biāo)為C(—4,2),半徑為r=時(shí)，

???點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

???|0P|的最大值為|0C|+「=，16+4+遮=3V5.

故選c.

9.答案：AC

解析：解：因?yàn)椤?gt;0,6>0,

所以？>0,->0,

ba

又。+b=1,

則(1+》(1+》

=(1+等)(1+，

=(2+今(2+)

2a_2b

{a+b=1

所以（1+》（1+》的最小值為9,故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)a=b=之時(shí)取得最小值，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

利用“1”的代換將所求式子進(jìn)行變形，然后再利用基本不等式求解最值，由此判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

本題考查了利用基本不等式求解最值的應(yīng)用，主要考查了“1”的代換的應(yīng)用，在使用基本不等式求

解最值時(shí)要滿足三個(gè)條件：一正、二定、三相等，屬于中檔題.

10.答案：ABC

解析：解：對(duì)于A：在中，若4>8,故a>6,利用正弦定理：sinA>sinB,故A正確；

對(duì)于B：在銳角△ABC中，0<4<所以cosA>0,故cosA=史二^幺>0,所以b2+c2-a2>0

22bc

恒成立，故8正確；

對(duì)于C：在^ABC中，若acosB—bcosA=c,整理得：sinAcosB—sinBcosA=sinC,所以2—B=C,

由于4+B+C=〃，解得4=壬則△ABC是直角三角形，故C正確；

對(duì)于D：在AABC中，若b=3,2=60。,三角形面積S=3百,所以S=^bcs譏A=^x3xcx?=3>/3,

解得c=4,

ccc___ccaV132V39

所以a?=b2+c2-2bccos4=13,所以a=g,貝必氏=訴=苫=三一，故。錯(cuò)誤;

2

故選：ABC.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用判斷4、B、C、D的結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)

學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：BC

解析：解:設(shè)P(s,t),A(m,n),則B(-m,-n),

兩式相減可得號(hào)=字

a2b2

222

即有t-n__b

s2-m2a2

產(chǎn)一九2_眩_1

則k他t-nt+n

s-ms+ms2-m2a24,

雙曲線的漸近線方程為丫=±：x，故B正確;

若|4B|的最小值為4,即有2a=4,即a=2,

由b=：1a,可得b=l,則雙曲線的方程為2二—V=1,故C正確；

24,

由卜1k2=可得|七|+|/^2|>2，牝1左2|=1>而?<1,故不存在點(diǎn)P,使得|自I+%2I=故。

錯(cuò)誤.

故選：BC.

由點(diǎn)差法和直線的斜率公式，推得a,b的關(guān)系，可得雙曲線的離心率，可判斷4求得漸近線方程，

可判斷8；由|2B|的最小值，可得a=2,求得b,可判斷C；由基本不等式可判斷D.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬

于中檔題.

12.答案：AB

解析：解:根據(jù)題意，等比數(shù)列｛冊(cè)｝中,

對(duì)于4若a6=8&3，則有q3=渠=8,解可得q=2,A正確，

u3

ai(l-q6)

對(duì)于B,由q=2,則||=就勒=彳=9,8正確，

1-q

對(duì)于C,由q=2,則S3="式：]，)=7a、,S6=寫手=63a「S9=當(dāng)尹=511a「S3,S6,S9不

是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤，

n-1n-1

對(duì)于D,由q=2,貝!]S71a工；_：)=(2.-1)的,an=arxq=2a1,=2ci"+的不成立，D

錯(cuò)誤，

故選：AB.

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析4個(gè)選項(xiàng)，綜合即可得答案.

本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：￡

解析：W：???\V3a+b\=\a-V3b\，

3a2+K2+2V3a-K=a2+3K2-2V3a-K>

a=(cosa,sina),b=(—|,—),

***3+1+2V3五?b=1+3—2y/3五?b，?,?方?b=0,

--cosa+—sina=sinfcr--)=0,且0Wa<7i,-y<a—y<^-,

22k6y666

71

???a——冗=c0,???a=-

66

故答案為：?

o

根據(jù)條件對(duì)(g有+&2=@一百52進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出五葦=0,然后即可得出sin(a-

5=0,然后根據(jù)a的范圍即可求出a的大小.

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，兩角差的正弦公式，考查了計(jì)算能力，屬

于中檔題.

14.答案：2

Q

解析：解：如圖所示，由tang=3得tcmC=-^=[.

NN1-tan2-§

2

由題可知a”_LBC,以4"為焦點(diǎn)的雙曲線的離心率e=1a

AC—Ln

???A4HC為直角三角形，且tcmC=蕓=：,

Ln3

???可設(shè)/H=4a,CH=3a,貝！JAC=5a,所以離心率e="=工~—=2.

AC-CH5a-3a

故答案為2

先利用二倍角公式由tang=g得tcmC=震=g再設(shè)/"=4a,CH=3a,則AC=5a,最后利用

乙ZCn3

雙曲線定義知離心率為廠，，代入計(jì)算即可

AC—Cn

本題考察了雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，離心率的意義和求法，二倍角公式的運(yùn)用.

15.答案：|

解析：

本題考查三角形的正余弦定理的應(yīng)用，三角形面積相等的應(yīng)用，橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.

由正弦定理可得三角形的外接圓的半徑R的值，由余弦定理可得IP&IIPF2I的值，再由三角形的面積

相等可得內(nèi)切圓的半徑r的值，再由R與r的關(guān)系求出a,c的關(guān)系，求出離心率的值.

解：AfiPF2的外接圓的半徑R，由正弦定理2R=￡^第=施，

所以R=4^C,

3

又由于R=4r,所以7=3c,

6

2

在^^尸尸2中，由余弦定理可得|a尸2『=|PF1|2+\PF2\-2\PF1\\PF2\-cos乙F1PF2,

IT

而N&PF2=-)

2

所以4c2=4a-3\PF1\\PF2\,

22

所以可得：\PF1\\PF2\=^a-c),

由三角形的面積相等可得：*|PFi|+\PF2\+\FrF2\)-r=l\PF1\\PF2\sinAF1PF2,

所以(2a+2c)r=1(a2—c2)?今,

所以2(a+c)fc=g(a2—c2)?

整理可得：3?2-^-2=0,解得或e=-l,

故答案為：|.

16.答案：(-8,3)

解析：解：???數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式為%=層一加，

對(duì)于任意自然數(shù)縱n>1)都是遞增數(shù)歹U,

二根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得?<|,

解得4<3,

故答案為：(-8,3).

利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

本題主要考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)列的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

17.答案：解：(l)x=l時(shí)，所以y=2或3；

x=2時(shí)，［2+7所以好生

心3時(shí)，I；?；禽，無整數(shù)解；

所以所有可能的％,y為后二；，后二;或［；二；

(2)相的最大值為65,理由如下：

a

一'方面，注意到：。上+1+Qk-1>2aze=。上+1—G/c>Q/c-k-l?

對(duì)任意的1<i<n-1,令加=ai+1-a”則瓦GZ且瓦>bk_r(2<fc<n-1),故瓦>b”i+1對(duì)

任意的2WkWzi-l恒成立.(*)

當(dāng)％=1,an=2017時(shí),注意到瓦=a2-a1>1-1=0,得瓦=(瓦-瓦-)+(b1-瓦-2)T---卜

1+1+---+1

(。2—瓦)+瓦2i—1個(gè)+0=i—1(2WiWn-1)

a=

即加之i—1,止匕時(shí)a九一a1=(a九—dn-i)+(a九一］—dn-2)+…+(如—i)bn_1+bn_2+…+

>0+1+2+-+(n-2)=|(n-l)(n-2),(**)

即:(ri-1)(71—2)W2017—1,解得：—62WnW65,故nW65.

另一方面，為使(**)取到等號(hào)，所以取仇=?—1(1Wi<64),則對(duì)任意的2<kW64,bk>bk_1,

故數(shù)列｛%J為“U-數(shù)列”，

此時(shí)由(**)式得。65-%,=0+1+2+…+63=更尹=2016,

所以。65=2017,即幾=65符合題意.綜上，門的最大值為65.

(3)M的最小值為正爐，證明如下：

當(dāng)幾o(hù)=2m(m>2,mEN*)時(shí)，

一方面：由(*)式，瓦+i-bk>1,bm+k-bk=Qbm+k-6m+fc-i)+(bm+k-l~bm+k-2)----(瓦+1一

bk)>m.此時(shí)有：

(al+a2m)~(am+am+l)=(a2m-am+l)一(am一al)

b-b

=(%+l+m+2----12m-l)一(瓦+厲+…+6m-i)

=(%+1—瓦)+(%+2一》2)+…+(^2m+l—bm-l)

>m+m+—\-m=m(m—1).

即(由+a2m)>(am+am+1)+m(m-1)

故M>%+。2崔>=+=+1+皿徵-1)>l+l+mQ-l)

因?yàn)轲^=:，所以M>l+計(jì).既f=詬-2g+8,

另-.方面，當(dāng)瓦—1—TiTyb?=2—772,…，^rn-1=-1，=0，^m+1=1，^2m-l=血—1時(shí)，

以+i+ak_r-2ak=(以+i-/)-(縱一縱_1)=bk-bk_r=1>0

=1，貝U&n+1=1，>。2>。3>…，％?1+1<^m+2<…<。27?1，

a

且電=am-(瓦+與+…+6m-i)=-m(m-1)+la2m=m+l+(^m+1+bm+2+…+^2m-l)=

1m(m—1)+1

此時(shí)M=a=a=-m(m—1)+1=沏-2幾。+8.

r2m28

綜上，M的最小值為"Hno+8.

8

解析：(1)根據(jù)“u—數(shù)列”的定義可得：x=l時(shí)，［；：；］：”；x=2時(shí)，A：；；：”；xN3時(shí)，

g+7>2/解出即可得出.

(2)九的最大值為65,理由如下：一方面，注意到：%+i+以_1>2以=以+i-以>a上一對(duì)

任意的1<i<n-1,令氏=ai+1-at,可得加GZ且瓦>h/c_1(2<fc<n-1),故瓦>bk_r+1對(duì)

任意的2<k<n-1恒成立.當(dāng)電=1,an=2017時(shí)，注意到瓦=^-^>1-1=0,利用裂項(xiàng)

求和方法可得灰>i-1.(2<i<n-1).即瓦>i-1,此時(shí)即-ar=(an-an_x)+(a71T-an_2)+

11

aa

…+(2—i)=bn—+bn_2+…+瓦>-(n—l)(n—2),BP-(n—1)(n—2)<2017—1,解得n<

65.另一方面，取仇=i-1(1Wi<64),可得對(duì)任意的2</c<64,bk>bk_r,故數(shù)列｛即｝為“U—

數(shù)列”，進(jìn)而得出.

(3)M的最小值為暗一2"+8,分析如下：當(dāng)幾0=2m(m>2,meN*)時(shí)，一方面：由(*)式，瓦+1一員之1,

8

b

bm+k_bk=(bm+k-bm+k-i)+(bm+k-1-m+k-2)----(M+l-玩)>m.此時(shí)有：的+a2m-

(am+cim+1)2租(租—1)，即a+a2m)>(am+am+1)+m(m-1)可得M>之十一廠。.又m=y,

可得M>1+1+^T)=詬-2%+8,

~28

另'萬面，當(dāng)瓦=1-771fZ72=2—TTLf...jbm-1~-1，=0，^m+1=1，^2m-l=血一1時(shí)，

Qjc+i+Q/c-i—2耿=(耿+i—Q/c)—9k—。上-1)=bk—bk—i=1>0,取a7n=1,則a/n+i.=1，a]>

1

mm

a2>a3>…>am,am+1<am+2<???<a2m,且的=am-(瓦+歷■1----^m-i)=-(-D+L

此時(shí)M=%=a2m=-m(m—1)+1=迎衛(wèi)吐^即可得出.

28

本題考查了新定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理

能力與計(jì)算能力，屬于難題.

18.答案：（I）證明：由P—ABD,Q—BCD是相同正三棱錐，且

4APB=90°,

分另IJ過P、Q作PE1平面28。，QF1平面BCD,垂足分另U為E、F,

則E、F分別為底面正三角形28。與BCD的中心.

連接EF交BD于G,則G為BD的中點(diǎn)，連接PG、QG,貝l]PG1BD,

QG1BD,

又PGCQG=G,；.BD1平面PQG,則BD1PQ,

再由正三棱錐的性質(zhì)可得P21BD,

又PQnPA=P,BD_L平面4PQ；

（U）??,正三棱錐的底面邊長為1,且乙4PB=90。,

：.PQ=EF=2EG=2^AG=2X^^,

=J（￥）2_（q）2=]

PE

11V3V6.V2

則Vg_pQQ-x-X—X——X1

323636

△POQ底邊PQ上的高為j*-(/=等

1V3V15V5

-X-X—=

S〉PDQ—23612

設(shè)B到平面PQD的距離為％,貝壯x漁八=也，得八=叵.

312365

Vio廠

.??直線PB與平面PDQ所成角的正弦值為量=等.

2

解析：本題考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練

了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.

（I）由題意分另IJ過P、Q作平面ABD,QF1平面BCD,可得E、F分另U為底面正三角形4BD與BCD

的中心.連接EF交BD于G,可得PG1BD,QG1BD,由線面垂直的判定及性質(zhì)可得BD1PQ,再

由正三棱錐的性質(zhì)可得PA1BD,則8。，平面2PQ；

（II）由已知求得PQ,PE的長，求得四面體B—PQD的體積，利用等積法求出B到平面PQD的距離，

則直線PB與平面PDQ所成角的正弦值可求.

19.答案：解：（1）設(shè)數(shù)列｛即｝的公比為q,則由即＞0,%-as=81,所以退=81,

因?yàn)榧矗?,所以=9,

因?yàn)?2，a3，。4一S3成等差數(shù)列，所以2a3=$2+—S3,

即3a3=a4，所以q=,=3,所以的_=1,

所以a九=371T.

(2)選擇①：因?yàn)橥?53fon+1=^-bn(nGW*),

所用=\二￡N*),

/ZI7

bn3n+2、

llt、r匕211

所以丁=￡X鼻；

匕3_1*2

^-3X4；

^4_13

———X—?

匕335'

bn1n-lbbb12

?！獂___2____3x——■X???nX?！猒___x________

n_1

bn_13幾+1瓦b2bn_i3n(n+1)

1i

所以狐=布,訴p

當(dāng)九=1時(shí)也成立.

所以Cn=an?bn=/1、=------,

小八九nnn（n+i）nn+1

所以4=（1+（3_+）=1_右=公,

因?yàn)槠呤沁f增的，

所以七的最小值為Pi=1,

選擇②：由〃可知：

當(dāng)n=1時(shí)，b]=7\=1,

22

當(dāng)n>2時(shí)，bn=Tn-Tn-i=n-(n-l)=2n-1,驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)亦滿足此關(guān)系,

所以酊=2n-l

n-1

所以％=anbn=(2n-1)-3

所以6=1x1+3x3+5x32+.??+(2n-1)x311-1,

3/^=1X3+3X32+5X33+…+(2n-1)X3n,

所以匕=(n—1)-3.+1,

因?yàn)?是遞增的，所以發(fā)的最小值A(chǔ)=1,

選擇③：因?yàn)?〃—.=5(neN*),所

以67n一1—生_1=5(幾22),

兩式相減得6(〃-rn_j-(bn-bn_j=o,

即5b7+bn_1=0(n>2),

所以產(chǎn)=一式/122)

Dn-15

而6Tl—瓦=5,即瓦=1

所以數(shù)列｛,｝是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

所以g=(一｝nT,

所以“=anbn=(一|尸,

所以匕=三仁="1一(—6"]，

當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，由于(一|)九V0,

故心>

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由于(一|嚴(yán)>0,

故4<|，

由匕=I[1-(-|用在葭為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，

o5

所以當(dāng)71=2時(shí)，6的最小值為"號(hào)=|.

o255

解析：⑴利用等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）選①時(shí)，利用疊乘法的應(yīng)用和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果；選②時(shí)，利用乘公比錯(cuò)位相減法

求出結(jié)果.選③時(shí)，利用數(shù)列的單調(diào)性求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的

應(yīng)用，疊乘法，乘公比錯(cuò)位相減法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

20.答案：（1）證明：連接BD交4C于0,連接E0,

因?yàn)?。、E分別為BD、PD的中點(diǎn)，

所以E0〃P8,…（2分）

因?yàn)镋Ou平面E4C,PBC平面EAC,

所以PB〃平面E4C.…（4分）

（2）解：設(shè)N為4D中點(diǎn)，連接PN,BN,貝l]PN14D...（5分）

又面PAD_L底面ABCD,

所以PN_L底面4BCD…（6分）

所以NPBN為直線PB與平面ABCD所成的角，...（7分）

又AD=2AB=2,貝UPN=百,NB=五，…（8分）

所以tan/PBN=盤=乎，

即PB與平面2BCD所成角正切為值日...（9分）

（3）由（2）知，NB為PB在面4BCD上的射影，要使PB12C,需且只需NB，4C.（10分）

在矩形4BCD中，設(shè)4D=LAB=x,AN=|,

由N4NB=^BAC,得Rt△NAB?△CBA,...（11分）

ANAB.,-.7AKTr-?z-?71

AB2=AN'BC=>x2=-

一AB=—BC=2

解之得：久=芋，...（13分）

所以，當(dāng)胎=加時(shí)，PB1AC…,（14分）

解析：（1）要證PB〃平面E4C,根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明PB平行于平面區(qū)4c中的一條直

線.連接BD交4C于。，連接E。，因?yàn)椤?、E分別為BD、的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，

可知EO〃PB,從而問題得證；

（2）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN,BN,則PNJ.4D,從而可得NPBN為直線PB與平面4BCD所成的角，

進(jìn)而可求PB與平面4BCD所成角正切值；

(3)由(2)知，NB為PB在面ABC。上的射影，要使P8,4C,需且只需N8LAC,mRtANAB^RtA

CBA,可求得空=&時(shí)，PB_L4C.

AB

本題考查的重點(diǎn)是線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的

判定，正確作出線面角，有綜合性.

21.答案：(1)解：在橢圓中，由已知得02=￡12-匕2=手(1分)

過點(diǎn)4(0,-b)和B(a,0)的直線方程為，+[=1,即bx-ay-ab=0,

該直線與原點(diǎn)的距離為攻，由點(diǎn)到直線的距離公式得：點(diǎn)力=@(3分)

2y/a2+b22ky