第三章 線性方程組 習(xí)題課(7)總16

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第三章線性方程組習(xí)題課向量的線性關(guān)系本章的主要內(nèi)容回顧：一、本章的主要內(nèi)容回顧：線性方程組(一)向量及向量組的有關(guān)定義定義1:個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量定義：n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為維向量

α=(a1,a2,…,an)

b1b2=(b1,b2,L,bn)Tβ=Mbn

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定義2:定義：

L對于給定的n維向量β,α1,,αs,假如存在一組數(shù)k1,L,ks,使關(guān)系式β=k1α1+L+ksαs成立，L成立，那么稱向量β是向量組α1,,αs的L線性組合或稱向量β可由α1,,αs線性表示。表示。

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L對于向量組α1,,αs,假如存在一組不全為零的數(shù)k1,L,ks使得關(guān)系式k1α1+L+ksαs=0(a)L線性相關(guān)；成立,那么稱向量組α1,,αs線性相關(guān)；假如(a)當(dāng)且僅當(dāng)在k1=L=ks=0L時成立,那么稱向量組α1,,αs線性無關(guān).定義3:定義：

(A);β1,,βt(B)L假如組(A)中每個向量都可由組(B)線性表示，線性表示，那么稱向量組(A)可由向量組(B)線性表示

α1,,αsL

定義4:定義：設(shè)有兩個向量組:

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定義5:假如向量組()可由向量組()定義：假如向量組(A)可由向量組(B)線性表示，而向量組(B)也可由向量組(A)線性表示，而向量組()也可由向量組()線性表示，那么稱向量組()與向量組()那么稱向量組(A)與向量組(B)等價記作：記作：(A)∽(B)∽

L設(shè)αj,,αj(r≤s)是向量組α1,,αs的一個線性無關(guān)的部分組，LL的其余向量(假如再從α1,,αs的其余向量(假如還有的話)添加進(jìn)去，還有的話)中任取一個添加進(jìn)去，所得線性相關(guān)，的r+1個向量構(gòu)成的部分組均線性相關(guān)，那么稱αj,,αj為向量組α1,,αs的一LL個極大線性無關(guān)組,簡稱極大無關(guān)組.定義6:定義：1r1r

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稱為向量組的秩，量的個數(shù),稱為向量組的秩，記為r(α1,L,αs).1規(guī)定:零向量組的秩為0;)2矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩；的行秩；)3矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.)(二)向量線性關(guān)系的有關(guān)重要定理

定義7:定義：向量組α1,,αs的極大無關(guān)組所含向L

定理1:設(shè)β及向量組α1,,αn是同維L的列(行)向量，那么向量β可由列(行)向量組α1,,αn線性表示L矩陣(α1Lαn)與矩陣(α1Lαnβ)有相同的秩.

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mL定理2:維列向量組α1,,αn線性相關(guān)以α1,,αn為列向量的矩陣的秩小于L向量的個數(shù)n線性相關(guān),當(dāng)r(α1Lαn)n向量組α1Lαn線性無關(guān)，線性

無關(guān)，當(dāng)r(α1Lαn)=n

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推論1:設(shè)n個n維向量組αj=(a1j,L,anj)(j=1,L,n),a11La1n那么向量組線性相關(guān)MOM=0an1Lann

推論2:當(dāng)向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量的維數(shù)時，該向量組必線性相關(guān)

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定理3:假如向量組中有一部分向量組簡稱部分組)(簡稱部分組)線性相關(guān)，那么整個向量組必線性相關(guān)(部分相關(guān)整體相關(guān))

的等價命題：定理3的等價命題：線性無關(guān)的向量組任何部分無關(guān))一部分組都線性無關(guān)(整體無關(guān)

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補充定理：補充定理：設(shè)m個n維向量組αi=(ai1,ai2,L,ain),線性無關(guān)，i=1,L,m線性無關(guān)，那么在每個向量上個份量(添加k個份量(k≥1后得到的m個n+k)維的新的向量組αi′=(ai1,ai2,L,ain,ai(n+1),L,ai(n+k))i=1,L,m也線性無關(guān).

線性相關(guān)，推論:假設(shè)n維向量組α1,α2,L,αm線性相關(guān)，那么每個向量去掉k個份量(kn)后得到的nk維向量組也線性相關(guān).

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L定理4:向量組α1,,αm(m≥2)線性相關(guān)

α1,,αm中至少有一個向量是其余Lm1個向量的線性組合。個向量的線性組合。

L線性相關(guān)，定理5:假如向量組α1,,αm,β線性相關(guān)，而α1,,αm線性無關(guān)，那么向量β肯定可由L線性無關(guān)，L向量組α1,,αm線性表示且表示法唯一。定理6:假如向量組()可由向量組()線性表示，定理：假如向量組(A)可由向量組(B)線性表示，而向量組()又可由向量組()線性表示，而向量組(B)又可由向量組(C)線性表示，那么向量組()也可由向量組()那么向量組(A)也可由向量組(C)線性表示傳遞性)(傳遞性)

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定理7:設(shè)有兩個向量組LLα1,,αs(A)及β1,,βt(B),向量組(線性表示，向量組(B)可由向量組(A)線性表示，假如st,那么向量組(B)線性相關(guān)推論1:假如向量組(B)可由向量組(A)線性表示；推論1:假如向量組(B)可由向量組(A)線性表示；且向量組()線性無關(guān)，且向量組(B)線性無關(guān)，那么t≤s。。

推論2:假如向量組()推論：假如向量組(A)與(B)可相互線性表示且)可相互線性表示,向量組(A)(B)都線性無關(guān)，那么t=s。都線性無關(guān)，=。向量組都線性無關(guān)

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LL定理8:假如αj,,αj是α1,,αs的線性無關(guān)部分組，部分組，那么它是極大無關(guān)組LLα1,,αs中的每一個向量都可由αj,,αj線性表示。表示。1r1r

定理9:A為mn矩陣，r(A)=r矩陣，的列(A的列(行)秩為r的列秩，推論:矩陣A的行秩等于矩陣A的列秩，

即為矩陣A的秩.

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結(jié)論：結(jié)論：L假如αj1,L,αjr是向量組α1,,αs的極大無關(guān)組，關(guān)組，那么初等變換后相應(yīng)的αj1,L,αjr是向量組α1,L,αs的極大無關(guān)組。的極大無關(guān)組。

向量組的秩及極大無關(guān)組的求法：將向量組合成矩陣，進(jìn)行初等行變換得到階梯陣，非零行的行數(shù)為向量組的秩，主元所對應(yīng)的列向量組為極大線性無關(guān)組。

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(三)線性方程組的消元法三

a11*1+a12*2+L+a1n*n=b1a21*1+a22*2+L+a2n*n=b2LLLLam1*1+am2*2+L+amn*n=bm定理3.1r(A)=n有唯一解A*=B有解r(A)=r(AB)r(A)n有無窮多解。

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對齊次線性方程組a11*1+a12*2+L+a1n*n=0a*+a*+L+a*=02112222nn有:LLLLam1*1+am2*2+L+amn*n=0

定理3.2齊次線性方程組A*=0有非零解r(A)n,n為未知數(shù)的個數(shù)。

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解線性方程組的步驟：解線性方程組的步驟：用初等變換化方程組的增廣矩陣為階梯型矩陣，階梯型矩陣，依據(jù)dr+1≠0或dr+1=0判別方程組是否有解1那么方程組無解；()如dr+1≠0,那么方程組無解；(2如dr+1=0,那么方程組有解,且:)那么方程組有唯一解；如r(A)=r(AB)=n,那么方程組有唯一解；如r(A)n,那么方程組有無窮多解。

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(四)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)、

它的解有如下性質(zhì)：它的解有如下性質(zhì)：1假如v1,v2是線性方程組的兩個解)那么v1+v2也是它的解;2)假如v1是線性方程組的解那么kv1也是它的解,k∈R;3)假如v1,L,vs都是線性方程組的解那么其線性組合k1v1+L+ksvs也是它的解,ki∈R,i=1,L,s.

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假如v1,v2,L,vr是齊次線性方程組的解向量組定集合)性無關(guān)組，(集合)的一個極大線性無關(guān)組，那么稱義v1,v2,L,vr是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系

定理1:矩陣，定理：設(shè)A是mn矩陣，假如是矩陣r(A)=rn,那么齊次線性方程組那么齊次線性方程組A*=0那么齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系存