剛體的平面運(yùn)動(dòng)

關(guān)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體的平面運(yùn)動(dòng)是工程機(jī)械中較常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。對(duì)它的研究是在研究剛體的平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)動(dòng)合成和分解的方法，將其分解為上述兩種基本運(yùn)動(dòng)。然后應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的理論，推導(dǎo)出平面運(yùn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)的速度和加速度的計(jì)算公式。§7.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的描述剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變。也就是說(shuō)，剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。具有這種特點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)。一．平面運(yùn)動(dòng)的定義

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以看作為平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，也可看作為繞不斷運(yùn)動(dòng)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。第2頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如:曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，因此，AB

桿的運(yùn)動(dòng)既不是平動(dòng)也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平面運(yùn)動(dòng)。第3頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

用一個(gè)平行于固定平面Ⅰ的平面Ⅱ截割剛體，得平面圖形S。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖形內(nèi)任意一點(diǎn)始終在自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

于是，平面圖形上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以代表剛體內(nèi)所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。因此，剛體的平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為平面圖形在它自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。即在研究平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運(yùn)動(dòng)，確定平面圖形上各點(diǎn)的速度和加速度。二．平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線A1A2作平移點(diǎn)A可代表直線A1A2的運(yùn)動(dòng)直線B1B2作平移點(diǎn)B可代表直線B1B2的運(yùn)動(dòng)B1BB2第4頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

為了確定代表平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面圖形的位置，只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置．三．平面運(yùn)動(dòng)方程平面運(yùn)動(dòng)方程對(duì)于每一瞬時(shí)t

，都可以求出對(duì)應(yīng)的，圖形S在該瞬時(shí)的位置也就確定了。任意線段

的位置可用

點(diǎn)的坐標(biāo)和

與x軸夾角表示。因此圖形S的位置決定于三個(gè)獨(dú)立的參變量。所以第5頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天四．平面運(yùn)動(dòng)分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)圖形S上

角不變時(shí)，則剛體作平移。當(dāng)圖形S上

點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。故剛體平面運(yùn)動(dòng)可以看成是平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng),即隨同

的平移和繞

點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。第6頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如車輪的運(yùn)動(dòng)．車輪的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是車輪隨同車廂（車軸）的平移和相對(duì)車廂（車軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。車輪對(duì)于定系的平面運(yùn)動(dòng)（絕對(duì)運(yùn)動(dòng)）車廂（動(dòng)系O‘

x

y

)相對(duì)定系的平移（牽連運(yùn)動(dòng)）車輪相對(duì)車廂（動(dòng)系O'

x

y

）的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）

我們稱動(dòng)系上的原點(diǎn)O'為基點(diǎn)。第7頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天繞基點(diǎn)O'的轉(zhuǎn)動(dòng)車輪的平面運(yùn)動(dòng)

剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。

結(jié)論：隨基點(diǎn)

的平移第8頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例如:

平面圖形Ｓ在

t時(shí)間內(nèi)從位置I運(yùn)動(dòng)到位置II以A為基點(diǎn):隨基點(diǎn)A平動(dòng)到A'B''后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'以B為基點(diǎn):隨基點(diǎn)B平動(dòng)到A''B'后,繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)角到A'B'因?yàn)椋篈B

A'B''

A''B'，所以：第9頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平移的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律與基點(diǎn)選取無(wú)關(guān)

(即在同一瞬間，圖形繞任一基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的a,都是相同的）?；c(diǎn)的選取是任意的

(通常選取運(yùn)動(dòng)情況已知的點(diǎn)作為基點(diǎn))。結(jié)論：第10頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)的分解A作圓周運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，若分別取兩點(diǎn)為基點(diǎn)，則牽連運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同，即平移的速度、加速度不同，但相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。第11頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天§7.2平面圖形上各點(diǎn)的速度根據(jù)速度合成定理則M點(diǎn)速度為：一、基點(diǎn)法

則動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)可視為隨同基點(diǎn)O’點(diǎn)的平移（牽連運(yùn)動(dòng)）和繞基點(diǎn)O’點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合成。指向與

轉(zhuǎn)向一致．

可取O'為基點(diǎn),將動(dòng)系固結(jié)于O'點(diǎn),動(dòng)系作平移。已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)O'的速度，圖形角速度

，求：vO'vMO'vM第12頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和。取點(diǎn)A為基點(diǎn)，則點(diǎn)B的速度為根據(jù)這個(gè)結(jié)論，平面圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)的速度必存在一定的關(guān)系。其中方向垂直AB。

這種求解速度的方法稱為基點(diǎn)法。它是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)速度的基本方法。vBAvBvA第13頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

同一平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影相等。速度投影定理：這種求解速度的方法稱為速度投影法．二．速度投影法由于A

，B點(diǎn)是任意的，因此表示了圖形上任意兩點(diǎn)速度間的關(guān)系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有vBAvBvA第14頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B作平動(dòng)。

研究AB，以A為基點(diǎn)，且方向如圖示。（）[例1]

已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)

=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度．根據(jù)在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。1.基點(diǎn)法vAvBvBAvA解：第15頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天vAvBvBAvA根據(jù)速度投影定理不能求出

研究AB,

,方向

OA,方向沿BO直線2.速度投影法第16頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：尺AB作平面運(yùn)動(dòng)1.基點(diǎn)法例2

橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，AB=l。試求B端的速度以及尺AB的角速度。設(shè)尺AB的角速度為w，則所以yABoxjvAwvAvBAvBj根據(jù)速度投影定理不能求出2.速度投影法

研究AB，以A為基點(diǎn)。所以則第17頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

如圖所示四連桿機(jī)構(gòu)OABO1中，,曲柄OA的角速度ω＝3rad/s。試求當(dāng)φ＝90°而曲柄O1B重合于O1O的延長(zhǎng)線上時(shí)，桿AB和曲柄O1B的角速度。機(jī)構(gòu)中,OA、O1B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)。

研究AB，以A為基點(diǎn)，速度分析如圖示。在Ｂ點(diǎn)做速度平行四邊形，如圖示。解：α

O1φABOωvAvBAvBαvA各方向如圖示（）（）第18頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4：曲柄OA長(zhǎng)100mm，以角速度ω=2rad/s轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿AB帶動(dòng)搖桿CD，并拖動(dòng)輪E沿水平面滾動(dòng)。已知CD=3CB，圖示位置時(shí)A，B，E三點(diǎn)恰在一水平線上，且CD⊥ED。求此瞬時(shí)點(diǎn)E的速度。第19頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天vDvBvAvE30o解：桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)由速度投影定理，得搖桿CD繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有由速度投影定理，得第20頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天如何解釋這種現(xiàn)象？三、速度瞬心法（2）若選取速度為零的點(diǎn)作為基點(diǎn)，求解速度問(wèn)題的計(jì)算會(huì)大大簡(jiǎn)化．那么，在某一瞬時(shí)圖形是否有一點(diǎn)速度等于零？如果存在的話，該點(diǎn)如何確定？1.問(wèn)題的提出（1）圖片第21頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天點(diǎn)C—稱為瞬時(shí)速度中心，簡(jiǎn)稱速度瞬心。2.

定理一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。vAAωMCvAvAvMAvCA證明：過(guò)點(diǎn)A作vA的垂線AN。N隨著點(diǎn)M在AN上的位置不同，vM的大小也不同。因此可找到一點(diǎn)C,該點(diǎn)的瞬時(shí)速度等于零。如令取點(diǎn)A為基點(diǎn)，則AN上點(diǎn)M的速度為第22頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度及其分布DACB點(diǎn)C為速度瞬心，即

vC=0。取點(diǎn)C為基點(diǎn)，則A,B,D各點(diǎn)的速度由此的結(jié)論：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)隨圖形繞速度瞬心瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度。vAvBvD

平面圖形在任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可以視為繞速度瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。第23頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.幾種確定速度瞬心位置的方法

（1）已知一平面圖形在固定面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng),則圖形與固定面的接觸點(diǎn)C為速度瞬心．(a)w(b)w（2）已知某瞬時(shí)A、B兩點(diǎn)速度大小,且，則瞬心必在AB的連線與兩速度矢的端點(diǎn)連線的交點(diǎn)上。第24頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）已知某瞬時(shí)平面圖形上A,B兩點(diǎn)速度的方向，且.過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作速度的垂線,交點(diǎn)C即為該瞬間的速度瞬心.Cw（4）已知某瞬時(shí)A,B兩點(diǎn)的速度相等，即。此時(shí),瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度

=0,圖形上各點(diǎn)速度相等,這種情況稱為瞬時(shí)平移.(此時(shí)各點(diǎn)的加速度不相等)第25頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如:

曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時(shí)，連桿BC的運(yùn)動(dòng)設(shè)勻角速度

，則而的方向沿AC，此時(shí)連桿BC的圖形角速度。為瞬時(shí)平移．vBvCaBBC桿上各點(diǎn)的速度都相等.但各點(diǎn)的加速度并不相等．a(chǎn)C第26頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時(shí)間不斷變化的。在任一瞬時(shí)是唯一存在的。（2）速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（3）剛體作瞬時(shí)平移時(shí)，雖然各點(diǎn)的速度相同，但各點(diǎn)的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平移。5.注意的問(wèn)題第27頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例5]

沿直線軌道作純滾動(dòng)的車輪已知:車輪半徑為R，輪心O點(diǎn)的速度為。求:輪緣上點(diǎn)B、C

、D的速度。解：車輪作平面運(yùn)動(dòng)。

接觸點(diǎn)A為速度瞬心。車輪的角速度為（1）計(jì)算簡(jiǎn)便（2）速度分布直觀瞬心法第28頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天現(xiàn)在，你能解釋這種現(xiàn)象了嗎？第29頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B作平動(dòng)。

[例6]

已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻

轉(zhuǎn)動(dòng)。求：當(dāng)

=45o時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度．解：vAvBCwAB

研究AB，已知的方向，因此可確定出C點(diǎn)為速度瞬心3.速度瞬心法2.速度投影法1.基點(diǎn)法第30頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：尺AB作平面運(yùn)動(dòng)1.基點(diǎn)法[例7]

橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)，如圖所示，AB=l。試求B端的速度以及尺AB的角速度。yABoxjvAvB2.速度瞬心法已知A、B兩點(diǎn)速度的方位，分別作A、B兩點(diǎn)的速度垂線，用瞬心法可以求圖形內(nèi)任意點(diǎn)的速度兩條直線交于點(diǎn)C，C點(diǎn)就是AB尺的速度瞬心。wCwDvD第31頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例8]

圖示平面機(jī)構(gòu)中，AB=BD=DE=l=300mm。在圖示位置時(shí)，BD//AE,桿AB角速度為w=5rad/s。試求此瞬時(shí)桿DE的角速度和桿BD中點(diǎn)C的速度。ABDEC60o60ow解：AB桿，DE桿分別繞A、E軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BD桿作平面運(yùn)動(dòng)。研究BD桿，其速度瞬心為PvBvDvCDE桿的角速度為：則BD桿的角速度為：P所以C點(diǎn)的速度為：wDEwBD第32頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例9]

曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時(shí),AB水平求該位置時(shí)的、及第33頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天第34頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD解：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB,BD均作平面運(yùn)動(dòng)根據(jù)題意：研究AB桿,P1為其速度瞬心vAvBP1P2vDwABwBD研究BD,P2為其速度瞬心,62第35頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天§7.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度于是,由牽連平動(dòng)時(shí)加速度合成定理

可得如下公式．取A為基點(diǎn)，將平動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)于A點(diǎn)取B動(dòng)點(diǎn)，則B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)．已知：圖形S內(nèi)一點(diǎn)A的加速度和圖形的

,α（某一瞬時(shí)）。求：該瞬時(shí)圖形上任一點(diǎn)B的加速度。α一、求各點(diǎn)加速度第36頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中：，方向

AB，指向與α

一致；，方向沿AB，指向A點(diǎn)。

即平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點(diǎn)法。是求解平面圖形內(nèi)一點(diǎn)加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個(gè)要素，方能求出其余兩個(gè)。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個(gè)要素，即可解出問(wèn)題的待求量。第37頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天38分析：

大??？√Ｒα

Ｒ

2

方向？√√√故應(yīng)先求出

α

．（）

[例10]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動(dòng),已知輪心O點(diǎn)的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點(diǎn)P的加速度。解：輪O作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心，（）第38頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天39

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動(dòng)時(shí)，其速度瞬心P的加速度指向輪心。

以O(shè)為基點(diǎn)，有（與等值反向）其中：做出加速度矢量圖，由圖中看出：第39頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：(a)AB作平動(dòng)，[例11]

已知O1A=O2B,圖示瞬時(shí)O1A/O2B

試問(wèn)(a),(b)兩種情況下

1和

2，α1和α2是否相等？第40頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天(b)AB作平面運(yùn)動(dòng),圖示瞬時(shí)作瞬時(shí)平動(dòng)以A為基點(diǎn)，作B點(diǎn)的加速度矢量圖如右向AB連線投影，注意到：Bφ并由此看出：AB作瞬時(shí)平移第41頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

滾子半徑R=15cm,n=60rpm求：當(dāng)

=60o時(shí)(OA

AB),滾輪的

Ｂ，αＢ．

[例12]曲柄滾輪機(jī)構(gòu)。第42頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AB桿和輪B作平面運(yùn)動(dòng)研究AB：（）P1為其速度瞬心分析:要想求出滾輪的

Ｂ,αＢ先要求出vB,

aBP2P1vB第43頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天取A為基點(diǎn)，指向O點(diǎn)大?。俊?？√方向

√√√√作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影）(）(研究輪B：P2為其速度瞬心第44頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例13]在橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，曲柄OD以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，OD=AD=BD=l。求當(dāng)φ=60o時(shí)，AB的角加速度和點(diǎn)A的加速度。第45頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天aDaDatADanADaACηξ解：桿OD定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB平面運(yùn)動(dòng)。研究AB桿，取點(diǎn)D為基點(diǎn)，求點(diǎn)A的加速度其中(1)vAvDωAB大?。俊?/p>

√？方向

√√√√第46頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天aDaDatADanADaACηξvAvDωAB將(1)式分別在ξ和η軸上投影(1)解得：則：第47頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

工程中的機(jī)構(gòu)都是由數(shù)個(gè)物體組成的，各物體間通過(guò)聯(lián)接點(diǎn)而傳遞運(yùn)動(dòng)。為分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，首先要分清各物體都作什么運(yùn)動(dòng)，要計(jì)算有關(guān)聯(lián)接點(diǎn)的速度和加速度。為分析某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，如能找出其位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則可直接建立運(yùn)動(dòng)方程，用解析方法求其運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的速度和加速度。當(dāng)難以建立點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程或只對(duì)機(jī)構(gòu)某些瞬時(shí)位置的運(yùn)動(dòng)參數(shù)感興趣時(shí)，可根據(jù)剛體各種不同運(yùn)動(dòng)的形式，確定此剛體的運(yùn)動(dòng)與其上一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，并常用合成運(yùn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)的理論來(lái)分析相關(guān)的兩個(gè)點(diǎn)在某瞬時(shí)的速度和加速度的聯(lián)系。二、運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例第48頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天

平面運(yùn)動(dòng)理論用來(lái)分析同一平面運(yùn)動(dòng)剛體上兩個(gè)不同點(diǎn)間的速度和加速度聯(lián)系。當(dāng)兩個(gè)剛體相接觸而有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，則需用合成運(yùn)動(dòng)的理論分析這兩個(gè)不同剛體上相重合一點(diǎn)的速度和加速度聯(lián)系。兩物體間有相互運(yùn)動(dòng)，雖不接觸，其重合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也符合合成運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。復(fù)雜的機(jī)構(gòu)中，可能同時(shí)有平面運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)注意分別分析、綜合應(yīng)用有關(guān)理論。第49頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：BE桿作平面運(yùn)動(dòng)，BD桿平移，點(diǎn)B連同滑塊在OA桿上滑動(dòng)，并帶動(dòng)桿OA轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊E平移。可先對(duì)BE桿用平面運(yùn)動(dòng)理論求出點(diǎn)B的速度和加速度，再按合成運(yùn)動(dòng)方法求解桿OA的角速度和角加速度。[例14]

如圖所示平面機(jī)構(gòu)，滑塊B可沿桿OA滑動(dòng)。桿BE與BD分別與滑塊B鉸接，BD桿可沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)?；瑝KE以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，桿BE長(zhǎng)為

。圖示瞬時(shí)桿OA鉛直，且與桿BE夾角為45?。求該瞬時(shí)桿OA的角速度與角加速度。v第50頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天BE桿作平面運(yùn)動(dòng)，由v及vB方向可知此瞬時(shí)點(diǎn)O為BE的速度瞬心，因此vvB解：（1）用平面運(yùn)動(dòng)理論求點(diǎn)B的速度和加速度以E為基點(diǎn)，點(diǎn)B的加速度為aEaBEtaBEnaBB大?。?0?√方向：√√√√加速度矢量圖如右，其中(a)將(a)式向ζ軸上投影得：ζ則得：第51頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)理論求OA桿的角速度和角加速度vvavrve取滑塊B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于OA桿上由速度合成定理各速度矢量如圖所示，顯然有：即：則OA桿的角速度為：作加速度矢量如圖所示，由加速度合成定理大?。篴B?√？0方向：√√√√√將(b)式向水平方向投影得：(b)即：故：方向如圖示方向如圖示B其中第52頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例15]桿AB以不變的速度v沿水平方向運(yùn)動(dòng)，套筒B與桿AB的端點(diǎn)鉸接，并套在繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿OC上,可沿該桿滑動(dòng)。已知AB和OE兩平行線間的距離為b。求在圖示位置(γ=60o，β=30o，OD=BD)時(shí)，桿OC的角速度和角加速度、滑塊E的速度和加速度。第53頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：(1)速度分析vevDωDEvavrvEC取桿AB上的點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于桿OC上。ωOC研究DE桿，點(diǎn)C為其速度瞬心由速度合成定理第54頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天αOCatearaneac(2)加速度分析取桿AB上的點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于桿OC上。其中:將上式在n軸上投影，得:n大?。骸?/p>

?√？√方向：√√√√√第55頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天αOCatearaneacatDanEDatEDaEanDatDanD桿DE作平面運(yùn)動(dòng)。取點(diǎn)D為基點(diǎn)，求點(diǎn)E的加速度其中：將上式在DE上投影，得大?。?√

√?√方向：√√

√√√第56頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天57第七章剛體平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題課1.剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上任一點(diǎn)到某固定平面的距離保持不變。

2.剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化可以用剛體上一個(gè)與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)代替剛體的整體運(yùn)動(dòng)。

3.剛體平面運(yùn)動(dòng)的分解分解為

4.基點(diǎn)

可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn),通常是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已知的點(diǎn)。隨基點(diǎn)的平移（平移規(guī)律與基點(diǎn)的選擇有關(guān)）繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)）一．概念與內(nèi)容第57頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天585.瞬心（速度瞬心）

（1）任一瞬時(shí),平面圖形或擴(kuò)大部分都唯一存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。

（2）瞬心位置隨時(shí)間改變。（3）每一瞬時(shí)平面圖形的運(yùn)動(dòng)可視為繞該瞬時(shí)瞬心的轉(zhuǎn)。這種繞瞬心的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同。（4）

=0,瞬心位于無(wú)窮遠(yuǎn)處,各點(diǎn)速度相同,剛體作瞬時(shí)平移,瞬時(shí)平移與平移不同。6.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面平動(dòng)是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特例。7.求平面圖形上任一點(diǎn)速度的方法（1）基點(diǎn)法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：其中，基點(diǎn)法是最基本的公式，瞬心法是基點(diǎn)法的特例。第58頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天59

8.求平面圖形上一點(diǎn)加速度的方法 基點(diǎn)法：，A為基點(diǎn),是最常用的方法9.平面運(yùn)動(dòng)方法與合成運(yùn)動(dòng)方法的應(yīng)用條件

（1）平面運(yùn)動(dòng)方法用于研究一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系。（2）合成運(yùn)動(dòng)方法常用來(lái)確定兩個(gè)相接觸的物體在接觸點(diǎn)處有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞。第59頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天601.根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動(dòng)的定義，判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動(dòng)形式。注意每一次的研究對(duì)象只是一個(gè)剛體。

2.對(duì)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(角速度)問(wèn)題的方法,用基點(diǎn)法求加速度(角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。

基點(diǎn)法:

恰當(dāng)選取基點(diǎn)，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；

速度投影法:

不能求出圖形

;

速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵。二．解題步驟和要點(diǎn)第60頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例1]行星齒輪機(jī)構(gòu)已知:R,r,

o

輪A作純滾動(dòng)，求第61頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng);輪A作平面運(yùn)動(dòng),瞬心P點(diǎn)）(第62頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例2]

平面機(jī)構(gòu)中,楔塊M:

=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無(wú)滑動(dòng)。求圓盤的

及軸O的速度和B點(diǎn)速度。第63頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：軸O,桿OC,楔塊M均作平動(dòng),

圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，P為速度瞬心）(第64頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）比較[例1]和[例2]可以看出,不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時(shí),

接觸點(diǎn)就是瞬心,只有在接觸面是固定面時(shí),圓輪上接觸點(diǎn)才是速度瞬心。

（2）

每個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體在每一瞬時(shí)都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在剛體或其擴(kuò)大部分上,不能認(rèn)為瞬心在其它剛體上。例如,[例9]中AB的瞬心在P1

點(diǎn),BD的瞬心在P2點(diǎn),而且P1也不是CB桿上的點(diǎn)。34第65頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng);AB,BC均作平面運(yùn)動(dòng),滑塊B和C均作平動(dòng)(1)求取AB桿為研究對(duì)象，[例3]

已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA=r,以等

o轉(zhuǎn)動(dòng),在某瞬時(shí)

=60o

AB

BC,AB=6r,BC=。求該瞬時(shí)滑塊C的速度和加速度。P1為其速度瞬心，方向如圖示方向如圖示第66頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天取BC桿為研究對(duì)象，P2為其速度瞬心，方向如圖示方向如圖示第67頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)求先以A為基點(diǎn)求B點(diǎn)加速度：作加速度矢量圖,

并將上式沿BA方向投影大?。海俊?？√方向：√√√√其中：方向如圖示第68頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天再以B為基點(diǎn),

求將上式向BC方向投影作加速度矢量圖,大小：？√？√方向：√√√√其中：方向如圖示第69頁(yè),共79頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例4]