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橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程觀察生活中有關(guān)橢圓的實物和圖片什么樣的圖形叫橢圓,橢圓都有哪些特征呢?橢圓的實際背景與概念一【新知學(xué)習(xí)合作探究】橢圓的實際背景與概念一觀察橢圓的形成過程,并思考下列問題:(1)點M運動時,三點F1,F(xiàn)2,M的等量關(guān)系是什么,即點M按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓?(2)若線段F1M與線段F2M的距離之和小于或等于線段F1F2的距離時,還能形成軌跡嗎?軌跡是什么?總結(jié):當(dāng)|MF1|+|MF2|>|
F1F2|時,M點的軌跡為橢圓;當(dāng)|MF1|+|MF2|=|
F1F2|時,M點的軌跡為線段F1F2;當(dāng)|MF1|+|MF2|<|
F1F2|時,M點的軌跡不存在.一橢圓的實際背景與概念橢圓定義二橢圓定義:在平面內(nèi),到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|
F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.注意:“和”,“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍(常數(shù)大于|
F1F2|)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)三【探究1】如何建系,才能使求出的方程最簡呢?方案一:把F1,F(xiàn)2建在x軸上,以F1,F(xiàn)2的中點為原點;方案二:把F1,F(xiàn)2建在x軸上,以F1為原點;方案三:把F1,F(xiàn)2建在x軸上,以橢圓與x軸的左交點為原點;方案四:把F1,F(xiàn)2建在y軸上,以F1,F(xiàn)2的中點為原點;寫點的集合建系設(shè)點列式以所在直線為x軸,以線段的垂直平分線為y軸,建系.設(shè).
橢圓就是集合 .橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)三化簡證明【探究2】化簡:我們怎么化簡兩個帶根式的式子?對于本式是直接平方好還是移項后再平方好呢?橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)三橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
三橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)【探究4】如果以F1,F(xiàn)2所在直線為y軸,
線段F1F2的垂直平分線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,焦點是F1(0,-c,),
F2(0,c),橢圓的方程又如何呢?
三【辨析概念·例題互動】
解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由橢圓定義知: .
所以:.
又因為c=2,
所以b2=a2-c2=10-4=6,因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .【辨析概念·例題互動】你是否還有其它方法解決此類問題?
因為橢圓經(jīng)過點,
所以:
又因為:
b2=a2-c2=a2-4,
所以解方程得:,
因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【辨析概念·例題互動】另解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為yxODMP【辨析概念·例題互動】思考:從例2中你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?yxODMP圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.【辨析概念·例題互動】【辨析概念·例題互動】【辨析概念·例題互動】思考:例3給出了生成橢圓的另一種方法,你知道是什么嗎?一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù),這個動點的軌跡就是去掉兩個頂點的橢圓.【辨析概念·例題互動】【歸納小結(jié)·提高認識】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形關(guān)系焦點位置在x軸上在y軸上焦點坐標(biāo)教材(1)P115
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