2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷和北京卷）數(shù) 學(xué)（文史類）

絕密★啟用前

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）

數(shù)學(xué)（文史類）

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第I卷1

至2頁，第H卷3至5頁。

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí),

考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

祝各位考生考試順利

第I卷

注意事項(xiàng)：

L每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號(hào)。

2.本卷共8小題，每小題5分共40分。

參考公式：

?如果事件48互斥,那么果（AB）=P（A）+P（B）.

?圓柱的體積公式V=S〃，其中S表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高

?棱錐的體積公式V=』S/z,其中S表示棱錐的底面面積，力表示棱錐的高

3

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

⑴設(shè)集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x&R\l,x<3},則(AC)B=

(A){2}(B){2,3}(C){-1,2,3}(D){1,2,3,4}

x+y-2W0,

(2)設(shè)變量滿足約束條件%-y,+2N0,則目標(biāo)函數(shù)z=-4%+y的最大值為

x..—1,

y…—1,

(A)2(B)3(C)5(D)6

(3)設(shè)％ER,貝ij“0<XV5”是“卜一1|<1"的

(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

(4)閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的值為

(A)5(B)8(C)24(D)29

2

(5)已知a=log27,b=log38,c=0.3°-,則。，仇c的大小關(guān)系為

(A)c<b<a(B)a<b<c

(c)b<c<a(D)c<a<b

22

y

(6)已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/.若與雙曲線+=1(〃〉01〉0)的兩條漸近線分別

a

交于點(diǎn)/和點(diǎn)8且|A5|=4|?|(。為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為

(A)72(B)6(C)2(D)亞

(7)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+e)(A>0,o>0,|e|<二)是奇函數(shù)，且/(%)的最小正周期為萬，將

y=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x).若

(A)-2(B)-亞(C)42(D)2

硼1,

若關(guān)于x的方程/(x)=—；x+a

(8)已知函數(shù)/'(xhh(aeR)恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,

%>1.

1X

則。的取值范圍為

59595959

(A)(B)(C){1}(D){1}

4'44'44'444

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2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(文史類)

第n卷

注意事項(xiàng)：

i.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。

2.本卷共12小題，共110分。

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

(9)i是虛數(shù)單位，則的值上5-」7的值為.

1+z

(10)設(shè)xeH,使不等式3d+x—2<0成立的x的取值范圍為.

(11)曲線y=cosx—5在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

(12)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為0的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四

條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

(13)設(shè)x>0,y〉0,x+2y=4,則(x+D(21+D的最小值為.

孫

(14)在四邊形ABCD中，AD//BC,AB=26，AD=5,ZA=30°，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)

線上，且=]j[\\BDAE=.

三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(15)(本小題滿分13分)

2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利

息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分

層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

（I）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（II）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為D,E,b.享受情況如

右表，其中“表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.

員工

項(xiàng)目'\ABCDEF

子女教育OOXOXO

繼續(xù)教育XXOXOO

大病醫(yī)療XXXOXX

住房貸款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

贍養(yǎng)老人OOXXXO

（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

（ii）設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.

（16）（本小題滿分13分）

在ABC中，內(nèi)角A5,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知Z?+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求coyB的值;

(II)求sin23+彳的值.

(17)（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD為平行四邊形，PCD為等邊三角形,平面平面PCD,

PA±CD,CD=2,AD=3,

(I)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證：GH〃平面B4￡)；

(II)求證：平面PCD；

(III)求直線A。與平面PAC所成角的正弦值.

(18)(本小題滿分13分)

設(shè)｛《｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，公比大于0,己知6=4=3,4=%，優(yōu)=4g+3.

(I)求｛2｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

1,〃為奇數(shù)，

(II)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足％=匕〃為偶數(shù)，求qq+a2c2++44〃(〃eN)

、2

(19)(本小題滿分14分)

22

設(shè)橢圓二+3=1(?！?〉0)的左焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為8.已知61。41=21081(。為原點(diǎn)).

a"b"

(I)求橢圓的離心率；

3

(II)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸且斜率為士的直線/與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為尸，圓。同時(shí)與x軸和直線/相切，圓

4

心C在直線x=4上，且OC〃AP,求橢圓的方程.

(20)(本小題滿分14分

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-a(x-l)e”,其中aeR.

(1)若。W0,討論"％)的單調(diào)性；

(II)若0＜。＜一,

(i)證明了(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)

(ii)設(shè)x為了(%)的極值點(diǎn)，占為的零點(diǎn)，且石〉玉)，證明3玉)一%＞2.

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2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)

數(shù)學(xué)(文史類)參考解答

一.選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分40分

(1)D(2)C(3)B(4)B

(5)A(6)D(7)C(8)D

二.填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分30分

(9)由(10)(IDx+2y—2=0

719

(12)-(13)-(14)-1

42

三.解答題

(15)本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式

等基本知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，滿分13分.

解：(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因

此應(yīng)從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.

(II)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為

[A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F}{E,F

,共15種.

(ii)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為

所以，事件M發(fā)生的概率=

(16)本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.滿分13分.

hr

(1)解：在ABC中，由正弦定理-----=-----,得Z?sinC=csin5,又由3csinB=勿sin。，得

sinBsinC

42

3Z?sinC=4asinC,即35=4〃.又因?yàn)閆?+c=2a,得到6=—〃，。=一。.由余弦定理可得

33

242162

aH—a-----CL

cosJ+i99

lac2-a-2a4

3

(II)解:由(1)可得sin3=Jl-cos?B=

4

而sin2B=2sinBcosB=-2^-7

從cos2B=cos2B-sin2B=——,故

88

=sin23cos生+c°s2Bsi/”巫x3二xL?

66828216

(17)本小題主要考查直線與平面平行直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知

識(shí).考查空間想象能力和推理論證能力滿分13分.

(I)證明：連接易知ACBD=H,9=八”.又由BG=PG,故CH〃H),又因?yàn)镚HcZ

平面？AD,?Du平面？AD,所以GH〃平面BID.

(II)證明：取棱尸C的中點(diǎn)N,連接。N.依題意，得DN工PC,又因?yàn)槠矫鍽AC_L平面PCD,平

面PAC平面尸CD=PC,所以O(shè)N,平面PAC,交？Au平面PAC,故血JS.又已知K4LCD,

CDDN=D,所以平面PCD.

(Ill)解：連接AN,由(II)中加，平面上4。，可知NQAN為直線AD與平面尸AC所成的角，

因?yàn)槭珻D為等邊三角形，CD=2且N為PC的中點(diǎn)，柝以DN=6.又DN：LAN,

在RfA7VD中，sinZDAN=-=—

AD3

V3

所以,直線AD與平面PAC所成角的正弦值為

3

(18)本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前“項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)列求和的基

本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分.

(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為q依題意，得｛工_，解得_，

3q=15+4dq=3

故%=3+3(〃—1)=3〃，b〃=3x3“T=3〃.

所以，｛4｝的通項(xiàng)公式為4=3〃，｛么｝的通項(xiàng)公式為2=3〃.

(II)解：+42c2+…+a2nc2n

=(4+/+%+...+々2-J+(出4+a4b2+a力3++^2A)

=〃x3+"(；l)x6+(6x31+12x32+18x33+...+6nx3")

=3n2+6(lx31+2x32++nx3n)

12

Tn=lx3+2x3+,..+nx3".①

233+1

3Tn=1X3+2X3++/JX3,②

23nn+I

②-①得,21=333...3+nx3=3(1—3”)+nx3n+l=(21)3向+3.

“1-32

(2〃_])3〃+i+3

所以，qq+%02+…+。20c2〃=3〃2+61—3/+3x-------------

=(2f3：+6〃2+9g)

(19)本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲

線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，滿分14分.

(八丫

(I)解：設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知有&=26,又由片=〃+。2,消去/，得/=Ja+02,

[2J

解得上c=±1.

a2

所以，橢圓的離心率為

2

22

(II)解：由(I)知，a=2c,b=gc,故橢圓方程為二+三=1.由題意，F(xiàn)(-c,0),則直線/

22

x

,y1,

34c23c2

的方程為丁=1(%+0).點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足<,消去y并化簡(jiǎn)，得至iJ7x2+6cx—l3c2=0,

y=|(x+c),

13c3,%=-59。.因?yàn)辄c(diǎn)尸在不軸上方，所以尸］。,'|。).

解得玉=C,%2=-亍，代入到/的方程，解得

14

3

t-c

由圓心C在直線尤=4上，可設(shè)C(4,f).因?yàn)镺C〃AP,且由(I)知4(—2c,o),故彳=號(hào)一，解得

3

-(4+C)-2

?=2.因?yàn)閳A。與x軸相切，所以圓的半徑為2,又由圓。與/相切，得=2,可得c=2.

22

所以，橢圓的方程為土+匕=1.

1612

(20)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法，考查函數(shù)

思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

(I)解：由已知，的定義域?yàn)?0,+8),且

//、1rxzi、xi1—a-e”

f(x)=—ae+〃(%—l)c=----------

xLJx

因此當(dāng)a00時(shí)，1—依2e、>0,從而/'(x)〉0,所以/(%)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.

,1.ax2ex1

(II)證明：(i)由(I)知f(x)=----------.令g(%)=,由0<〃<一，

X

可知g(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,又g⑴=1—ae>0,且

22

111

In—|=1-Q|In—I—=1-|In—I<0.

aaaa

故g(x)=O在(0,+8)內(nèi)有唯一解，從而/'(x)=0在(0,+8)內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為則l<Xo<lnL.

當(dāng)xe(O,M)時(shí)，/'(x)=固也〉爐」=0,所以"工)在(0,%)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(x0,+8)時(shí),

XX

/'(X)=史也<他)=0,所以“X)在(%,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，因此為是〃%)的唯一極值點(diǎn).

XX

令/z(x)=lnx-x+l,則當(dāng)％>1時(shí)，/z(x)=--l<0,故/z(x)在(L+o。)內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)x>l時(shí)，

X

/z(x)</z(l)=O,所以/nxvx—l.從而

/fIn—1=InIn--d;fIn--11=InIn--In—+1=/zfIn—^<0,

a)a\a)aa<a)

又因?yàn)椤?)>八1)=0,所以在(l,+8)內(nèi)有唯零點(diǎn).又/(%)在(0,%)內(nèi)有唯一零點(diǎn)1,從而，

/(%))在(L+o))內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

(ii)由題意，W：)=°'即已°，=).，從而lnX]=，即e"f=x；lnxi,因?yàn)?/p>

/(%)=0,[111玉=xQ七一1

當(dāng)%>1時(shí)，lnx<x—1,又占〉%>1,故…l)=x；,兩邊取對(duì)數(shù)，得ln*/<lnx；,

%-1

于是

玉-xG<2]nx0<2(/-1),

整理得3%—石>2.

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2019年高考文科數(shù)學(xué)真題試卷及答案

(北京卷)

本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第I卷1

至2頁，第n卷3至5頁。

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí),

考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

祝各位考生考試順利

第I卷

注意事項(xiàng)：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號(hào)。

2.本卷共8小題，每小題5分共40分。

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.

1、(2019?北京)已知集合人=兇-1<乂<2},B={x|x>l},貝！JAUB=()

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+8)

【答案】C

【解析】【解答】因?yàn)锳={NT<X<2}，3={

所以AB={x\x>-1},

故答案為：C.

【分析】本題考查了集合的并運(yùn)算，根據(jù)集合A和B直接求出交集即可.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

2、（2019?北京）已知復(fù)數(shù)z=2+i,貝!J￡=（）

A.y/3B.75C.3D.5

【答案】D

【解析】【解答】根據(jù)z=2+i,得z=2-i,

所以z^=（2+i>（2-i）=4+l=5,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)z得到其共輒，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

3、（2019?北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞增的是（）

_1_

A.，=式B.y=2，

C.y=l°gjD.y」

2X

【答案】A

i=->0

【解析】【解答】A：尸產(chǎn)為幕函數(shù)，a“一萬,，所以該函數(shù)在似?。┥蠁握{(diào)遞增;

y=2x=―/、

B:指數(shù)函數(shù),其底數(shù)大于0小于1,故在（°，小）上單調(diào)遞減;

C：對(duì)數(shù)函數(shù),一0列二其底數(shù)大于0小于1,故在（Q+00）上單調(diào)遞減；

D：反比例函數(shù)"K其k=l>0,故在（Q+8）上單調(diào)遞減;

故答案為：A.

【分析】根據(jù)塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

4、（2019?北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

旦=2s=a^=2

【解析】【解答】k=l,S=l,s=3xl-2,k<3,故執(zhí)行循環(huán)體k=l+l=2,3x2-2；

2x220

s-----------2

此時(shí)k=2<3,故繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體k=3,3x2-2,此時(shí)k=3,結(jié)束循環(huán)，輸出

s=2.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)程序框圖，依次執(zhí)行循環(huán)體，直到k=3時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出s=2即可.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷(北京卷)

?2

5、(2019?北京)已知雙曲線9=1(a>0)的離心率是百，貝Ua=()

a

A.76B.4C.2D.-

2

【答案】D

e_c__非

【解析】【解答】雙曲線的離心率aa,

故5a2=/+i，解得a-4'”2,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示離心率，解方程，即可求出a的值.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷(北京卷)

6、(2019?北京)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，則"b=0"是"f(x)為偶函數(shù)"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】【解答】若b=o,則/⑴=cosx為偶函數(shù)，

若/(x)=cosx+加inx為偶函數(shù)，

則/(-%)=cos(-x)+bsin(一%)=cosx-bsinx=f(x)=cosx+Z?sinx

所以助sin%=。,B=0,

綜上，b=0是f(x)為偶函數(shù)的充要條件.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可確定充分、

必要性.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷(北京卷)

7、(2019?北京)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

5,回

L

mi-m2=-lg^,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=l,2).己知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是

Z乜2

-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.10101B.10.1C.IglO.lD.

【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)太陽的亮度為用，天狼星的亮度為紇，

-1.45-(-26.7)=-1g

根據(jù)題意2Ei,

p2

/g'=25.25x—=10.1

故E25

互=1/

所以生；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可求出相應(yīng)的比值.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

8、（2019?北京）如圖，A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，zAPB是銳角，大小為0.

圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（）

A.40+4cos0B.4p+4sinpC.2（3+2cos[3D.2p+2sinp

【答案】B

【解析】【解答】設(shè)圓心為0,根據(jù)乙針打二民可知AB所對(duì)圓心角

故扇形A03的面積為2萬"由題意，要使陰影部分面積最大，則P到AB

的距離最大，此時(shí)P0與AB垂直，

故陰影部分面積最大值s=%-SRB+SW，

02sin^x2x2cos/?」八八

kSA.=——----------=4sin尸cos（3

而2,

2si

SPAB=^x2x（2+2cos^=4sin+4sincosp

故陰影部分面積最大值S=4萬-S.B+”AB=M+4si”,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)圓周角得到圓心角，由題意，要使陰影部分面積最大，則P到AB的

距離最大，此時(shí)P0與AB垂直，結(jié)合三角函數(shù)的定義，表示相應(yīng)三角形的面積,

即可求出陰影部分面積的最大值.

【題型】單選題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分，

9、（2019?北京）已知向量a=（-4.3）,6=（6,01）,且。，。，則m=.

【答案】8

【解析】【解答】根據(jù)兩向量垂直，則數(shù)量積為0,得（T）X6+3帆=0,

解得m=8.

故答案為8.

【分析】根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0,結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

x<2

10、（2019?北京）若x,y滿足卜2-1.則y-x的最小值為,最大值為.

4x-3y+l>0

【答案】-3|1

【解析n解答】作出可行域及目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，可知在經(jīng)過（2,-1）

時(shí)取最小值-3,過（2,3）時(shí)取最大值1.

故答案為-3；1.

【分析】作出可行域和目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的直線，平移該直線，即可求出相應(yīng)的最大值

和最小值.

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

11/2019?北京股拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F準(zhǔn)線為I.則以F為圓心且與I相切的圓的方程為.

【答案】GT+丁=4

【解析】【解答】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1,0）,準(zhǔn)線方程：x=-l,

焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線I的距離為2,

故圓心為（1,0）,半徑為2,

所以圓的方程為（xT）2+y=4；

故答案為（“T）2+y2=4.

【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，即可得到圓心和半徑，寫出圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

12、（2019?北京）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方

形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為.

【答案】40

【解析】【解答】根據(jù)三視圖，可知正方體體積匕=4,=64

（2+4）x2

V=A----Lx4=24

去掉的四棱柱體積22-

故該幾何體的體積V=64-24=40.

故答案為40.

【分析】根據(jù)三視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出相應(yīng)的體積即可.

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

13、（2019?北京）已知I,m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①l_i_m;②mlla;③l_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

【答案】若②③，則①

【解析】【解答】若則/垂直于。內(nèi)任意一條直線，

若根?,則/，加；

故答案為若②③，則①.

【分析】

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

14、（2019?北京）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)

格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水

果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值

為.

【答案】130|15

【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，總價(jià)60+80=140元，

140>120,故顧客可少付10元，此時(shí)需要支付140-10=130元；

②要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則最低消費(fèi)滿足條件

即可，

根據(jù)題意，買草莓兩盒，消費(fèi)最低，此時(shí)消費(fèi)120元，

故實(shí)際付款（120-x）元，此時(shí)李明得到（12。-%）x80%,

故（120-x）x80%?120x0.7,解得

故最大值為15.

故答案為①130；②15.

【分析】①根據(jù)已知，直接計(jì)算即可；

②根據(jù)題意，要保證每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則最低消

費(fèi)滿足條件即可，因此選最低消費(fèi)求解，即可求出相應(yīng)的最大值.

【題型】填空題

【分值】5

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

三、解答題共6小題，共80分.

15、（2019?北京）在SBC中，a=3,b-c=2,cosB=-1.

（I）求b,c的值：

（H）求sin（B+C）的值

【答案】角翠：（I）根據(jù)余弦定理"="+。2—2accosB,

（2+c『

故

解得c=5,B=7；

1,A/3

cosBR=——sm3R=——

（II）根據(jù)2,得2,

b_c

根據(jù)正弦定理，磊=碇，

7_5

耳一.尸5百

——sinC=-----cosC=—

得2,解得14,所以14

]]115A/336

sin（B+c\=sinBcosC+cosBsinC=——x---F

所以2142）14—14

【解析】【分析】（I）根據(jù)余弦定理，解方程即可求出C和b；

（II）根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，求出sinB,結(jié)合正弦定理，求出sinC和cosC,

即可依據(jù)兩角和的正弦公式，求出sin（B+C）.

【題型】解答題

【分值】13

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

16、（2019?北京）設(shè)｛a（是等差數(shù)列,ai=-10,Ha2+10,a3+8,a4+6成等比數(shù)列.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

（II）記｛a）的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn的最小值.

【答案】解：（I）根據(jù)三者成等比數(shù)列,

故(-10+21+8)2=(-10+d+10)(-10+3d+6)

解得d=2,

cin-—10+2(/z-1)=2〃-12

(-10+2n-12)-n

92

s二----------------」=n-lln

(II)由⑴知"2

該二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為n=5.5,

故n=5或6時(shí)，S.取最小值一30.

【解析】【分析】（I）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出d,即可求出乙；

（II）由（1）,求出s〃，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出相應(yīng)的最小值.

【題型】解答題

【分值】13

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

17、（2019?北京）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式

之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取

了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付

金額分布情況如下：

支付金額不大于2000元大于2000元

支付方式

僅使用A27人3人

僅使用B24人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（II）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率;

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中，隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)

他本月的支付金額大于2000元，結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000

元的人數(shù)有變化？說明理由.

【答案】解：（I）據(jù)估計(jì)，100人中上個(gè)月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為

100-5-27-3-24-1=40人，故該校學(xué)生中上個(gè)月A、B兩種支付方式都使用的人數(shù)為

400人；

（II）該校學(xué)生上個(gè)月僅使用B支付的共25人，其中支付金額大于2000的有一

1

人，故概率為石；

（III）不能確定人數(shù)有變化，因?yàn)樵诔槿颖緯r(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到法機(jī)會(huì)是均等

的，也許抽取的樣本恰為上個(gè)月支付抄過2000的個(gè)體，因此不能從抽取的一個(gè)

個(gè)體來確定本月的情況有變化.

【解析】【分析】（I）根據(jù)題意，結(jié)合支付方式的分類直接計(jì)算，再根據(jù)樣本估計(jì)總

體即可；

（II）根據(jù)古典概型，求出基本事件總數(shù)和符合題意的基本事件數(shù)，即可求出相

應(yīng)的概率；

（III）從統(tǒng)計(jì)的角度，對(duì)事件發(fā)生的不確定性進(jìn)行分析即可.

【題型】解答題

【分值】13

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷（北京卷）

18、（2019?北京）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA,平面ABCD,底面ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).

（n）若NABC=60°,求證：平面PAB,平面PAE;

（ID）棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CFII平面PAE?說明理由.

【答案】（I）證明：因?yàn)锳BCD為菱形，所以

又因?yàn)镻AJ_平面ABC。，所以皮〃R4,而叢AC=A,

故8。，平面B4C；

（H）因?yàn)閆ABC=60。,所以ZAZ）C=60。，故的。為等邊三角形,

而E為CD的中點(diǎn)，故所以

又因?yàn)镻AJ_平面ABC。，所以

因?yàn)镻AAE=A,所以ABJ_平面PAE,

又因?yàn)锳Bu平面所以平面平面PAE；

（川）存在這樣的F,當(dāng)F為PB的中點(diǎn)時(shí)，CF平面出生

取AB的中點(diǎn)G,連接CF、CG和FG,

因?yàn)镚為AB中點(diǎn)，所以AE與GC平行且相等，

故四邊形AGCE為平行四邊形，所以鉆GC,故GC平面PAE

在三角形BAP中，F(xiàn)、G分別為BP、BA的中點(diǎn)，所以尸G如，

故FG平面PA%因?yàn)镚C和FG均在平面CFG內(nèi)，且GCFG=G,

所以平面CG尸平面PAE,故CF平面P4E.

【解析】【分析】(I)根據(jù)線面垂直的判定定理，證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂

直即可；

(n)根據(jù)面面垂直的判定定理，證明直線與平面垂直，即可得到面面垂直；

(m)根據(jù)面面平行的判定定理，證明面面平行，即可說明兩平面沒有公共點(diǎn)，

因此，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線與另一平面均無公共點(diǎn)，即可說明線面平行.

【題型】解答題

【分值】14

【考查類型】中考真題

【試題級(jí)別】高三

【試題地區(qū)】北京

【試題來源】2019年高考文數(shù)真題試卷(北京卷)

22

19、(2019?北京)已知橢圓C:三+4=1的右焦點(diǎn)為(1.0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,1).

ab

(I)求橢圓C的方程；

(n)設(shè)O為原點(diǎn)，直線I:y=kx+t(忤±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M,

直線AQ與x軸交于點(diǎn)N,|OM|-|ON|=2,求證：直線I經(jīng)過定點(diǎn).

【答案】解：⑴根據(jù)焦點(diǎn)為(1,0),可知c=l,

根據(jù)橢圓經(jīng)過(0,1