中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《四邊形中的線段最值問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷-附帶答案

第頁(yè)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《四邊形中的線段最值問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷-附帶答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為（

）A．2 B．2 C．3 D．52．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若AC=22，則EF的長(zhǎng)的最小值為（

A．2 B．1 C．2 D．23．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（）A．4 B．25 C．4334．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，DM=1，點(diǎn)N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么DN+MN的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．如上圖所示，矩形ABCD，AB=6，BC=63，點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，EF，則BE+EF的最小值是（

A．6 B．63 C．12 D．6．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、AD、CD上，AB=3，AE=1，DG>AE，BF=EG，BF與EG交于點(diǎn)P．連接DP，則DP的最小值為（

）

A．13?1 B．213 C．13 7．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是（

）

A．33 B．3+33 C．6+38．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，當(dāng)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的長(zhǎng)為（

）A．0 B．3 C．4 D．6二、填空題9．矩形ABCD中，AB=2，BC=6，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足∠PBC=∠PCD，則線段PD的最小值為．10．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，點(diǎn)E在BC上，且CE=4BE，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得∠CME=45°，連接AM，則線段AM的最小值為．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝20，點(diǎn)E在AD上且DE＝4.點(diǎn)G在AE上且GE＝8，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為EP的中點(diǎn)，則GF＋EF的最小值為．12．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P為對(duì)角線AC（不含A點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則DP+12AP13．如圖，在正方形ABCD中，AB=12，E為BC邊上一點(diǎn)，CE=7．F為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），過(guò)點(diǎn)F分別作FM⊥BC于點(diǎn)M、FN⊥CD于點(diǎn)N，連接EF、MN，則EF+MN的最小值為．14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是菱形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足MN=1，連接CN，則CN的最小值為．

15．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段EF的中點(diǎn)，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H為垂足，連接GH．若AB=8，AD=6，EF=5，則GH的最小值是．16．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，E、F分別是AB和DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，則（1）DE+EF+FM的最小值是；（2）若∠EFD=45°，則DE+EF+FM的最小值為．三、解答題17．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連AE，點(diǎn)F在線段AE上，連BF，連AC．(1)如圖1，已知AB⊥AC，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，BF⊥AE．若AE=5，BF=26(2)如圖2，已知AB=AE，∠BFE=∠BAC，將射線AE沿AC翻折交CD于H，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交AH于點(diǎn)G．若∠ACB=45°，求證：(3)如圖3，已知AB⊥AC，若∠ACB=30°，AB=2，直接寫(xiě)出18．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥CE于點(diǎn)P，連接DE交AP于點(diǎn)F，點(diǎn)P恰好為CE的中點(diǎn)．

(1)求證：△DEP∽△CEB；(2)如圖1，若BEBC=3(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)G、Q分別為DP、DE上的動(dòng)點(diǎn)，若CP=5，請(qǐng)直接寫(xiě)出GF+GQ的最小值．19．如圖1，將矩形ABOC放置于第一象限，使其頂點(diǎn)O位于原點(diǎn)，且點(diǎn)B，C分別位于x軸，y軸上．若A(m,n)滿足m?20+(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)取AC中點(diǎn)M，連接MO，△CMO與△NMO關(guān)于MO所在直線對(duì)稱(chēng)，連接AN并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)P．①求AP的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)D位于線段AC上，且CD=16．點(diǎn)E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足DE⊥OE，連接PE．請(qǐng)你求出線段PE長(zhǎng)度的最大值．20．問(wèn)題提出（1）如圖1，點(diǎn)P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為D，若PD=2，則點(diǎn)P到邊OB的距離是；問(wèn)題探究（2）如圖2，已知矩形ABCD的一邊AB長(zhǎng)為6，點(diǎn)P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP、CP，且滿足∠BPC=60°，求BC的最小值；（結(jié)果保留根號(hào)）問(wèn)題解決（3）如圖3，正方形ABCD是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中AB=400米，三條觀光小路BM、BN和MN（小路寬度不計(jì)，M在AD邊上，N在CD邊上）擬將這個(gè)展示區(qū)分成四個(gè)區(qū)域，用來(lái)展示不同的花卉，根據(jù)實(shí)際需要，MB平分∠AMN，并且要求△BMN的面積盡可能小，那么是否存在滿足條件的面積最小的△BMN？若存在，請(qǐng)求出△BMN的面積的最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）參考答案1．B解：如圖所示，連接AE，∵M(jìn)，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，∴MN是△AEF的中位線，∴MN=1∵四邊形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AE=A∴當(dāng)BE最大時(shí)，AE最大，此時(shí)MN最大，∵點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，BE最大，即BC的長(zhǎng)度，∴此時(shí)AE=4+∴MN=1∴MN的最大值為2．故選B．2．解：如圖，連接OP、EF，∵正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，∴四邊形OEPF為矩形，∴EF=OP，∴EF最小時(shí)OP最小，當(dāng)OP⊥BC于P的時(shí)候OP最小，而當(dāng)OP⊥BC時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，∴OP=12BC∵AC=22則BC=2，∴OP=1，∴EF的長(zhǎng)的最小值為1．故選：B．3．解：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P1落在線段連接P∴PK=∴PK+QK=∴當(dāng)P1,Q,K在同一直線并且P1過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交CD于點(diǎn)E∵∠BAD=120°,AB∴∠ADC=180°?120°=60°∵AB=4∴AD=4∴AE=∴PK+QK最小為2故選D．4．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，連接BD，BN，BM交AC于N′則DN=BN，∵DN+MN=BN+MN≥BM，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，DN+MN取得最小值，則N′則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC是線段BD的垂直平分線，又CM=CD?DM=4?1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：C．5．解：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′G⊥BD于點(diǎn)G，交

由對(duì)稱(chēng)性可得B′∴BE+EF≥B∴當(dāng)B′，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且B′F⊥BD時(shí)，即點(diǎn)E在點(diǎn)H處，點(diǎn)F在點(diǎn)G∵AB=6，BC=63∴BB′=12∴∠ADB=30°，∵∠ABD+∠BB∴∠BB∴B故選：B．6．解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于點(diǎn)M，取BE的中點(diǎn)Q，連接QP、QD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=∠ADC=∠DME=90°，AB∥∴四邊形ADME是矩形，∴EM=AD=AB，在Rt△BAF和RtBF=EGAB=ME∴Rt△BAF≌∴∠ABF=∠MEG，∠AFB=∠EGM，∵AB∥∴∠MGE=∠BEG=∠AFB，∵∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ABF+∠BEG=90°，∴∠EPF=90°，∴BF⊥EG，∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中點(diǎn)，∴QP=1∵AB=3，AE=1，∴BE=3?1=2，∴QB=QE=1，∵QD?QP≤DP，∴當(dāng)Q、D、P共線時(shí)，DP有最小值，∵QP=12BE=1∴QD=A∴PD=13∴PD的最小值為13?1故選A．7．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BD，

∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，∴△ADB是等邊三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵M(jìn)D=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據(jù)垂線段最短，此時(shí)DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∴DE=A∴2DE=63∴MA+MB+MD的最小值是63故選：D．8．解：如圖，在AD上截取線段AF＝PQ＝2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，∠D=90°，∠QCE＝90°，∵PQ=2，∴DF=AD?AF=6,∵點(diǎn)F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，∴FG⊥AD∴∠DFG=90°∴四邊形FGHD是矩形，∴GH＝DF＝6，∠H＝90°,∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，∴CE=2，∴EH＝2+4＝6，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，設(shè)BP＝x，則CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故選：C．9．解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=2，∠BCD=90°，∴∠PCD+∠PCB=90°，∵∠PBC=∠PCD，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴∠BPC=90°，∴點(diǎn)P在以BC為直徑的⊙O上，在Rt△OCD中，OC=12由勾股定理得，OD=O∵PD≥OD?OP，∴當(dāng)P，D，O三點(diǎn)共線時(shí)，PD最小，∴PD的最小值為OD?OP=13故答案為：13?210．解：∵BC=5，CE=4BE∴CE=4，如圖，作△ECM的外接圓⊙O，點(diǎn)M的軌跡是矩形內(nèi)以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，連接OA、OE、OC，OA交⊙O于M′當(dāng)M與M′重合時(shí)，AM過(guò)點(diǎn)O作OH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠CME=45°∴∠EOC=90°，∴OM′=OE=OC=2過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，∴BG=OH=2，OG=BH=BE+EH=3，AG=6-2=4，∴OA=A則AM故答案為：5?2211．解：作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'E，交，BC于點(diǎn)P，連接AP，∵AD=20，DE=4，∴AE=16，∵GE=8，∴G是AE的中點(diǎn)，∵F是EP的中點(diǎn)，∴AP=2GF，∴GF+EF=12AP+1=12此時(shí)，GF+EF取得最小值，∵AB=6，∴AA`=12，在Rt?AA`E中，A′∴GF+EF的最小值為10．故答案為：10．12．解：∵四邊形ABCD為菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，如圖所示，以AB為一邊，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE，∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=12∴DP+12當(dāng)D、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小即為DH長(zhǎng)度，在Rt?DHA中，∠DAH=45°，∴DH=故答案為：2213．解：連接CF、AF，如圖：∵FM⊥BC，F(xiàn)N⊥CD，∠BCD=90°，∴四邊形CNFM為矩形，∴CF=MN，∵四邊形ABCD是正方形，∴由正方形的對(duì)稱(chēng)性可得AF=CF，∴MN=AF，∴EF+MN=EF+AF，當(dāng)EF+MN最小時(shí)，EF+AF最小，此時(shí)A、F、E共線，EF+MN的最小值即為AE的長(zhǎng)，如圖：∵AB=12，CE=7，∴BE=BC?CE=AB?CE=5，∴AE=A∴EF+MN的最小值為13，故答案為：13．14．解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴AB∥CD，∴∠HDM=∠A=60°，∴∠HMD=30°，∵點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，∴DM=1∴DH=1根據(jù)勾股定理，得：HM=D∵CD=2，∴CH=CD+DH=2+1根據(jù)勾股定理，得：CM=H∵M(jìn)N=1，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到線段CM上的點(diǎn)N'時(shí)，CNCN∴CN的最小值為7?1故答案為：7?115．解：連接AC、AP、CP，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°，∴AC=A∵P是線段EF的中點(diǎn)，EF=5∴AP=1∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC=∠PHC=90°，∴四邊形PGCH是矩形，∴GH=CP，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP∴GH的最小值是7.5，故答案為：7.5．16．解：（1）如下圖所示，延長(zhǎng)DA作點(diǎn)D的關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，延長(zhǎng)MC作點(diǎn)M的關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作DN∥CM可得DE=D∴DE+EF+FM=D∴D′E+EF+FM∵DN∥CM′，且DN=CM∴四邊形DNM∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴NM′=DC=AB=6∴D′（2）過(guò)點(diǎn)E作EP⊥CD于P，∵∠EFD=45°，∴EP=PF=BC=2，∴EF=22則DE+EF+FM=DE+FM+22∴求DE+FM+22的最小值即先求DE+FM過(guò)點(diǎn)E作EM′=EM∴DE+FM=DE+EM∴當(dāng)D，E，M′三點(diǎn)共線時(shí)，DE+E此時(shí)DE∥∴∠EDP=∠MFC，∴△DEP∽△FMC，∴EPMC設(shè)CF=x，則DP=DC?PF?CF=6?2?x=4?x．∴21解得x=4∴CF=43，DE=DP2∴DE+EM∴DE+EF+FM的最小值為5+22故答案為：5+2217．（1）解：∵AB⊥AC，如圖1，∴∠BAC=90°，E為BC的中點(diǎn)，AE=5，∴AE=BE=EC=5，∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°，在Rt△BEF中，EF=∴AF=AE?EF=4；（2）證明：如圖2，設(shè)射線AE與射線GC交于點(diǎn)M，由題可設(shè)∠CAM=∠CAG=α，∵AC⊥CG，∴∠ACM=∠ACG=90°，∴∠AMG=∠AGM=90°?α，∴AM=AG，∵∠BFE=∠BAC，∴∠ABF+∠BAE=∠CAM+∠BAE，∴∠ABF=∠CAM=α，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABF+∠FBE=∠ACB+∠CAM，∵∠ABF=∠CAM=α，∴∠FBE=∠ACB=45°，延長(zhǎng)BF交AC于N，∴BN=CN，過(guò)E作EP⊥AC于P，則∠APE=∠BNA=90°，在△ABN與△EAP中，

∠BNA=∠APE∠ABN=∠EAP∴△ABN≌△EAPAAS∴AN=EP，過(guò)E作EQ⊥CM于Q，∴∠EQC=∠ACM=∠EPC=90°，∴四邊形EQCP為矩形，∵∠BCM=90°?∠ACB=45°，∴∠BCM=∠ACB，∴EP=EQ=AN，∴矩形EQCP為正方形，∴EQ∥AC，∴∠MEQ=∠FAN，在△MEQ與△FAN中，∠MEQ=∠FANEQ=AN∠EQM=∠ANF=90°∴△EQM≌△ANFASA∴AF=EM，∵AM=AE+EM，∴AG=AE+AF；（3）解：如圖3，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AN，得到等邊△ACN，同理以AF為邊構(gòu)造等邊△AFM，∴AF=AM=FM，AC=AN=CN，∴∠FAM?∠MAC=∠CAN?∠MAC，∴∠CAF=∠NAM，在△AFC與△AMN中，AF=AM∠CAF=∠NAM∴△AFC≌△AMNSAS，∴CF=MN，∴AF+BF+CF=BF+FM+MN，當(dāng)B，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共線時(shí)，AF+BF+CF最小，即為線段BN的長(zhǎng)度，如圖4，過(guò)N作NT⊥BA交其延長(zhǎng)線于T，∴∠BTN=90°，∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=2，∴BC=2AB=4，∴AC=B∴AN=AC=23∵∠BAN=∠BAC+∠CAN=150°，∴∠TAN=180°?∠BAN=30°，在Rt△TAN中，TN=∴AT=A∴TB=TA+AB=3+2=5，∴BN=T∴AF+BF+CF的最小值為2718．（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BEC=∠DCE，∵DP⊥CE，點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，∴CD=DE，∠DPE=90°，∴∠DCE=∠DEP，∴∠DPE=∠B，∠DEP=∠BEC，∴△DEP∽△CEB；（2）如圖1，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠H=∠PAE，∵點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，∴PC=PE，在△PCH和△PEA中，∠H=∠PAE∠CPH=∠EPA∴△PCH≌△PEA(AAS∴CH=AE，PH=PA，∵BEBC=34，設(shè)BE=3k(k>0)，則∴EC=B∴PE=PC=12∵△DEP∽△CEB，∴DEEC=DP∴DE=256k由（1）知：CD=DE，∴CD=AB=25∴AE=CH=AB?BE=25∴DH=CD+CH=25∵AB∥∴△AEF∽△HDF，∴EFDF（3）∵DP是線段CE的垂直平分線，∴直線DP是△DCE的對(duì)稱(chēng)軸，作點(diǎn)Q關(guān)于DP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，點(diǎn)Q′在DC上，且DQ′=DQ，連接GQ

當(dāng)F、G、Q′三點(diǎn)在同一條直線上，且FQ′由（2）知：PE=PC=5∵CP=5，∴52解得：k=2，∴DE=256k=253∵EFDF∴DF=32∵FQ∴∠DQ∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠DQ∴FQ′∴△FDQ∴FQ′AD∴FQ∴GF+GQ的最小值為2563919．（1）解：∵m?20+∴m?20=0，n?12=0，解得m=20，n=12，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(20,12)；（2）①∵△CMO與△NMO關(guān)于MO所在直線對(duì)稱(chēng)，∴ON=OC=12，MN=CM=AM=10，CN⊥OM，如圖，連接NC，∵M(jìn)N=AM=MC，∴∠MAN=∠MNA，∠MNC=∠MCN，設(shè)∠MAN=∠MNA=α，∠MNC=∠MCN=β，在△ACN中，∠ACN+∠CAN+∠ANM+∠MNC=180°，∴2α+2β=180°，∴α+β=90°，∴∠CNA=90°，∴∠NCA+∠CAN=90°，∵∠NCA+∠OMC=90°，∴∠CAN=∠OMC