中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)《828量子力學(xué)》歷年考研真題匯編（含部分答案）

目錄

2014年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)

考研真題

2013年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)

考研真題

2012年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)

考研真題

2011年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)809量子力學(xué)

考研真題

2010年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)809量子力學(xué)

考研真題

2009年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)量子力學(xué)考

研真題及詳解

2008年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)量子力學(xué)考

研真題及詳解

2007年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2006年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2005年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2004年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2003年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2001年中國(guó)科學(xué)院-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

量子力學(xué)考研真題及詳解

2014年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)考研真題

2013年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)考研真題

2012年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)828量子力學(xué)考研真題

1.（20分）質(zhì)量為μ的控子被限制在半徑為R的平面圓周上運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)

子）。已知開始時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)，A為常數(shù)。

（a）寫出t時(shí)刻系統(tǒng)的波函數(shù)g

（b）求出t時(shí)刻系統(tǒng)的平均能量。

2．（30分〉一個(gè)質(zhì)量為μ的粒子在下面的一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng):

其中a、A為常量。

（a）繪出此系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)能量g；

（b）已知此系統(tǒng)之基態(tài)能量非負(fù)，請(qǐng)問A要滿足什么條件?

3.（30分）計(jì)算一維諧振子基態(tài)中的不確定度乘積=？

4．（20分〉設(shè)有2維空間中的如下矩陣

（a）請(qǐng)考察A的厄米性；

（b）請(qǐng)寫出A用展開的表達(dá)式，其中為著名的Pauli矩

陣；

（c）請(qǐng)求解A的本征方程，得出本征值和相應(yīng)本征態(tài)。

5．（30分）假設(shè)自由空間中有兩個(gè)質(zhì)量為m、自旋為/2的粒子，它們

按如下自旋相關(guān)勢(shì)

相互作用，其中r為兩粒子之間的距離，g>0為常量，而（i=l，2）為

分別作用于第1個(gè)粒子自旋的Pauli矩陣。

（a）請(qǐng)寫出該兩粒子體系的一組可對(duì)易力學(xué)量完全集（CSCO）；

（b）請(qǐng)給出該體系各束縛定態(tài)的能級(jí)g；

（c）請(qǐng)寫出該體系的基態(tài)，并注明相應(yīng)的量子數(shù)。

6．（20分）有一個(gè)一維束縛體系（如一維諧振子），其Hamilton量為

束縛定態(tài)記為（均已歸一化），相應(yīng)的能量本征值為

..現(xiàn)體系受到微擾作用，微擾Hamilton量可以表示為

其中λ為小的實(shí)數(shù)常量，A為已知的厄米算符。請(qǐng)計(jì)算微擾修正后體系

的束縛定態(tài)（要求準(zhǔn)確到λ一階）和能級(jí)（要求準(zhǔn)確到λ二階）。

參考答案

1.（20分）質(zhì)量為μ的控子被限制在半徑為R的平面圓周上運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)

子）。已知開始時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)，A為常數(shù)。

（a）寫出t時(shí)刻系統(tǒng)的波函數(shù)，

（b）求出t時(shí)刻系統(tǒng)的平均能量。

解：（a）以所在平面為XOY平面，則系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為：

其中，為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。從而定態(tài)薛定諤方程為：

容易解得

相應(yīng)的能量本征值為：

可見，對(duì)于，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的；當(dāng)時(shí)，能級(jí)非簡(jiǎn)并。

對(duì)于態(tài)，先歸一化。利用，可得，從

而

我們已經(jīng)將按哈密頓量的本征矢展開，則t時(shí)刻系統(tǒng)的波函數(shù)可以直

接寫出：

（b）t時(shí)刻系統(tǒng)的平均能量為：

其中。

2．（30分〉一個(gè)質(zhì)量為μ的粒子在下面的一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng):

其中a、A為常量。

（a）繪出此系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)能量g；

（b）已知此系統(tǒng)之基態(tài)能量非負(fù)，請(qǐng)問A要滿足什么條件？

解：（a）由于勢(shì)與時(shí)間無關(guān)，所考慮的是定態(tài)問題。體系的定態(tài)薛定

諤方程可以寫為：

代入勢(shì)的具體形式，可知，在區(qū)域，方程可化為：

在附近對(duì)上式積分，得到

在區(qū)域其余位置，薛定諤方程為：，其中

。方程的解為：

在區(qū)域，，只有，薛定諤方程才能被滿足。

利用波函數(shù)的連續(xù)性條件，，以及a附近的躍

變關(guān)系，可以求得應(yīng)滿足

解得，利用，即可給出各級(jí)能量。

（b）若系統(tǒng)之基態(tài)能量非負(fù)，，將代入上式，可得

上述兩個(gè)方程將限制及。

3.（30分）計(jì)算一維諧振子基態(tài)中的不確定度乘積=？

解：對(duì)于一維諧振子，設(shè)能量的本征態(tài)為，相應(yīng)的能量本征值為

。算符，與升降算符之間的關(guān)系為：

其中。對(duì)于體系基態(tài)，相關(guān)的平均值為：

所以，，最終得到：

。

4．（20分〉設(shè)有2維空間中的如下矩陣

（a）請(qǐng)考察A的厄米性；

（b）請(qǐng)寫出A用展開的表達(dá)式，其中為著名的Pauli矩

陣；

（c）請(qǐng)求解A的本征方程，得出本征值和相應(yīng)本征態(tài)。

解：（a）矩陣A的轉(zhuǎn)置共軛為：

因此，矩陣A為厄米矩陣。

（b）Pauli矩陣分別為：

因此，可以得到

（c）矩陣A的本征方程為：

相應(yīng)的久期方程為：

容易解得，。將本征值代入本征方程，可以求得相應(yīng)的本征

態(tài)。

當(dāng)時(shí)，可得，所以歸一化的本征態(tài)可寫為：

當(dāng)，可得，所以歸一化的本征態(tài)可寫為：

。

5．（30分）假設(shè)自由空間中有兩個(gè)質(zhì)量為m、自旋為/2的粒子，它們

按如下自旋相關(guān)勢(shì)

相互作用，其中r為兩粒子之間的距離，g>0為常量，而（i=l，2）為

分別作用于第i個(gè)粒子自旋的Pauli矩陣。

（a）請(qǐng)寫出該兩粒子體系的一組可對(duì)易力學(xué)量完全集（CSCO）；

（b）請(qǐng)給出該體系各束縛定態(tài)的能級(jí)g；

（c）請(qǐng)寫出該體系的基態(tài)，并注明相應(yīng)的量子數(shù)。

解：（a）體系的哈密頓量可以寫為：

令，則，與哈密頓量對(duì)易。對(duì)于，此結(jié)果是顯然的。對(duì)

于，

體系的角動(dòng)量顯然也與哈密頓量及自旋對(duì)易。因此力學(xué)量組

即為體系的一組可對(duì)易力學(xué)量完全集。

（b）為考慮體系的束縛態(tài)，需要在質(zhì)心系中考查，哈密頓量可改寫

為：

其中為質(zhì)心動(dòng)量。由于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一自由粒子，體系的波函數(shù)

首先可分離為空間部分和自旋部分，空間部分可以進(jìn)一步分解為質(zhì)心部

分和與體系內(nèi)部結(jié)構(gòu)相關(guān)的部分。略去質(zhì)心部分，將波函數(shù)寫成力學(xué)量

完全集的本征函數(shù)：

由于，滿足：

其中，令，可知只有，才會(huì)出現(xiàn)束縛態(tài)。將

寫為，可知。將上述方程與氫原子情形時(shí)相

類比，可知束縛態(tài)能級(jí)為：

（c）對(duì)于體系的基態(tài)為：

相應(yīng)的量子數(shù)：。其中為玻爾半徑。

6．（20分）有一個(gè)一維束縛體系（如一維諧振子），其Hamilton量為

束縛定態(tài)記為（均已歸一化），相應(yīng)的能量本征值為

..現(xiàn)體系受到微擾作用，微擾Hamilton量可以表示為

其中λ為小的實(shí)數(shù)常量，A為已知的厄米算符。請(qǐng)計(jì)算微擾修正后體系

的束縛定態(tài)（要求準(zhǔn)確到λ一階）和能級(jí)（要求準(zhǔn)確到λ二階）。

解：能量的一級(jí)修正為：

能量的二級(jí)修正為：

下面計(jì)算：

因此，，考慮到A的厄米性，

以及求和中當(dāng)時(shí)為零

所以近似到二級(jí)，體系的能量為：

近似到一級(jí)，體系的量子態(tài)為：

2011年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)809量子力學(xué)考研真題

2010年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)809量子力學(xué)考研真題

2009年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)量子力學(xué)考研真題及詳解

2008年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)量子